（2）P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}
=115+215+315=25;
（3）P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.
习题3
已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.
解答：
依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得
c=3716=2.3125.
由条件概率知 P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}
=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.
习题4
一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.
解答：
随机变量X的可能取值为3,4,5.
P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,
所以X的分布律为
X
3
4
5
pk
1/10
3/10
3/5
习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：
X
10
20
30
40
pi
0.15
0.25
0.45
0.15
求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.
解答：
因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：
P{3X>60}, 即P{X>20},
P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.
就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.
习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：
（1）X的概率分布；
（2）P{X≥5};
（3）在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?
解答：
（1）P{X=k}=（1-p）kp=（0.9）k×0.1,k=0,1,2,⋯;
（2）P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞（0.9）k×0.1=（0.9）5;
（3）设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足
P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4.由于
P{X≤m-1}=∑k=0m-1（0.9）k（0.1）=1-（0.9）m,
故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得 m≈4.85≈5,
因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.
习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.
解答：
此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1.
X=0表示未投中，其概率为 p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,
X=1表示投中一次，其概率为 p2=P{X=1}=0.6.
则随机变量的分布律为
X
0
1
P
0.4
0.6
习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布.
解答：
设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为
P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,
P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.
X的分布律为
X
0123
P
3512036120211201120
习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.
解答：
由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.
设第k次才取到正品（前k-1次都取到次品）, 则随机变量X的分布律为
P{X=k}=310×310×⋯×310×710=（310）k-1×710,k=1,2,⋯.
习题10设随机变量X∼b（2,p）,Y∼b（3,p）, 若P{X≥1}=59, 求P{Y≥1}.
解答：
因为X∼b（2,p）,
P{X=0}=（1-p）2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.
因为Y∼b（3,p）, 所以 P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-（2/3）3=19/27.
习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.
解答：
以X记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4,
应用泊松定理，所求概率为：
P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b（k;800,0.005）
≈∑k=02P（k;4）=e-4（1+41!
+422!
）≈0.2381.
习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.
解答：
\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即
λ11!
e-λ=λ22!
e-λ⇒λ=2,
∴P{X=0}=e-2,
∴p=（e-2）4=e-8.
2.3随机变量的分布函数
习题1F（X）={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0, 是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.
解答：
离散.
由于F（x）是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.
习题2设F（x）={0x<0x20≤1,1x≥1 问F（x）是否为某随机变量的分布函数.
解答：
首先，因为0≤F（x）≤1,∀x∈（-∞,+∞）.
其次，F（x）单调不减且右连续，即
F（0+0）=F（0）=0, F（1+0）=F
（1）=1,
且 F（-∞）=0,F（+∞）=1,
所以F（x）是随机变量的分布函数.
习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,
试写出X的分布函数F（x），并画出图形.
解答：
由题意知X的分布律为：
X
135
Pk
0.30.50.2
所以其分布函数F（x）=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.
F（x）的图形见图.
习题4设离散型随机变量X的分布函数为 F（x）={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,
试求：
（1）X的概率分布；
（2）P{X<2∣X≠1}.
解答：
（1）
X
-113
pk
0.40.40.2
（2）P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.
习题5设X的分布函数为
F（x）={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,
求P{0.40.5},P{1.7解答：
P{0.4P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F（0.5）=1-0.5/2=0.75,
P{1.7（2）-F（1.7）=1-1=0.
习题6设随机变量X的分布函数为
F（x）=A+Barctanx（-∞试求：
（1）系数A与B;
（2）X落在（-1,1]内的概率.
解答：
（1）由于F（-∞）=0,F（+∞）=1, 可知
{A+B（-π2）A+B（π2）=1=0⇒A=12,B=1π,
于是 F（x）=12+1πarctanx, -∞（2）P{-1（1）-F（-1）
=（12+1πarctan1）-[12+1πarctanx（-1）]
=12+1π⋅π4-12-1π（-π4）=12.
习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.
解答：
F（x）=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x 2.4连续型随机变量及其概率密度
习题1设随机变量X的概率密度为
f（x）=12πe-（x+3）24（-∞解答：
应填3+X2.
由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N（0,1）, 所以Y=3+X2∼N（0,1）.
习题2已知X∼f（x）={2x,0解答：
P{X≤0.5}=∫-∞0.5f（x）dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,
P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f（x）dx-∫-∞0.5f（x）dx=0.
当X≤0时，F（x）=0;
当0当X≥1时，F（x）=∫-∞xf（t）dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故
F（x）={0,x≤0x2,0习题3设连续型随机变量X的分布函数为
F（x）={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：
（1）A,B的值；
（2）P{-1解答：
（1）\becauseF（+∞）=limx→+∞（A+Be-2x）=1, ∴A=1;
又 \becauselimx→0+（A+Be-2x）=F（0）=0, ∴B=-1.
（2） P{-1（1）-F（-1）=1-e-2.
（3）f（x）=F′（x）={2e-x,x>00,x≤0.
习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f（x）=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F（x）.
解答：
由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f（x）dx=1, 即
∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,
而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx
=Aex∣-∞0+（-Ae-x∣0+∞）=A+A=2A
或 ∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A, 所以2A=1, 即A=1/2.
从而f（x）=12e-∣x∣,-∞当x<0时，F（x）=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;
当x≥0时，F（x）=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt
=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,
从而F（x）={12ex,x<01-12e-x,x≥0.
习题5某型号电子管，其寿命（以小时计）为一随机变量，概率密度
f（x）={100x2,x≥1000,其它,
某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.
解答：
设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为
P{X>150}=∫150+∞f（x）dx=∫150+∞100x2dx
=-100x∣150+∞=100150=23,
从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为 p=（2/3）3=8/27.
习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.
解答：
设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布.设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数.由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数
n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,
所以 P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.
习题7
设X∼N（3,22）.
（1）确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};
（2）设d满足P{X>d}≥0.9, 问d至多为多少?
解答：
因为X∼N（3,22）, 所以X-32=Z∼N（0,1）.
（1）欲使P{X>c}=P{X≤c}, 必有1-P{X≤c}=P{X≤c}, 即 P{X≤c}=1/2,
亦即Φ（c-32）=12, 所以 c-32=0, 故c=3.
（2）由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9, 即 P{X≤d}≤0.1.
于是Φ（d-32）≤0.1,Φ（3-d2）≥0.9.查表得3-d2≥1.282, 所以d≤0.436.
习题8
设测量误差X∼N（0,102）, 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.
解答：
先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,
p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}
=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ（1.96）-Φ（-1.96）]
=1-[2Φ（1.96）-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.
设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b（100,0.05）.
因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ, 所以
P{Y≥3}≈1-50e-50!
-51e-51!
-52e-52!
=1-3722-5≈0.87.
习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定.根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N（4000,3600）.假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：
工人每月需完成多少件产品才能获奖？
解答：
用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N（4000,3600）.
设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1, 即
1-P{X所以1-F（x）=0.1, 即 1-Φ（x-400060）=0.1, 所以Φ（x-400060）=0.9.
查标准正态人分布表得Φ（1.28）=0.8997, 因此 x-400060≈1.28, 即x=4077件，
就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.
习题10某地区18岁女青年的血压（收缩压，以mm-HG计）服从N（110,122）. 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.
（1）求P{X≤105},P{100（2）确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.
解答：
已知血压X∼N（110,122）.
（1）P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ（0.42）=0.3372,
P{100 =Φ（0.833）-Φ（-0.833）=2Φ（0.833）-1≈0.595.
（2）使P{X>x}≤0.05, 求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即 Φ（x-11012）≥0.95,
查表得x-10012≥1.645, 从而x≥129.74.
习题11设某城市男子身高X∼N（170,36）, 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.
解答：
X∼N（170,36）, 则X-1706∼N（0,1）.
设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而
P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ（x-1706）<0.01,
即Φ（x-1706）>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.
因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.
习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走.第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：
分钟）服从正态分布N（40,102）; 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N（50,42）, 求：
（1）若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？
（2）若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？
解答：
设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则 X∼N（40,102）,Y∼N（50,42）.
哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.
（1）因为P{X<60}=Φ（60-4010）=Φ
（2）=0.97725, P{Y<60}=Φ（60-504）=Φ（2.5）=0.99379,
所以有60分钟时应走第二条路.
（2）因为P{X<45}=Φ（45-4010）=Φ（0.5）=0.6915,
P{X<45}=Φ（45-504）=Φ（-1.25）=1-Φ（1.25）=1-0.8925=0.1075
所以只有45分钟应走第一条路.
2.5随机变量函数的分布
习题1已知X的概率分布为
X
-2
-1
0
1
2
3
pi
2a
1/10
3a
a
a
2a
试求：
（1）a;
（2）Y=X2-1的概率分布.
解答：
（1）\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,
∴a=1/10.
（2）
Y
-1
0
3
8
pi
3/10
1/5
3/10
1/5
习题2设X的分布律为P{X=k}=12k,k=1,2,⋯, 求Y=sinπ2X的分布律.
解答：
因为 sinxnπ2={1,当n=4k-10,当n=2k-1,当n=4k-3,
所以Y=sin（π2X）只有三个可能值-1,0,1. 容易求得 P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815
故Y的分布律列表表示为
Y
-101
P
21513815
习题3
设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令Y=cX+d（c≠0）, 试求随机变量Y的密度函数.
解答：
fY（y）={fX（y-dc）⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,
当c>0时，fY（y）={1c（b-a）,ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY（y）={-1c（b-a）,cb+d≤y≤ca+d0,其它.
习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY（y）.
解答：
f（x）={1,0≤x≤10,其它,
f=ex,x∈（0,1）是单调可导函数，y∈（1,e）, 其反函数为x=lny, 可得
f（x）={fX（lny）∣ln′y,1习题5设X∼N（0,1），求Y=2X2+1的概率密度.
解答：
因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY（y）.
FY（y）=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}（当y>1时）
=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,
所以fY（y）=F′Y（y）=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是
fY（y）={12π（y-1）e-y-14,y>10,y≤1.
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