第6章 几何造型Word文档下载推荐.docx

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为提高曲线和曲面的输出精度,在型值点之间插入的点。

一维空间中的点用一元组{t}表示;

二维空间中的点用二元组{x,y}表示;

三维空间中的点用三元组{x,y,z}表示。

用计算机存储、管理、输出形体的实质就是对点集及其连接关系的处理。

2.边

一维几何元素,两个邻面（正则形体或多个邻面（非正则形体的交界。

直线边由端点定界;

曲线边由型值点或控制点表示。

3.面

二维几何元素,形体上一个有限、非零区域,范围由一个外环和若干个内环界定。

可以无内环,必须有且只有一个外环。

有方向性,面的正向定义为外法矢量方向。

正向:

外法矢量向外;

反向:

外法矢量向内。

区分面的方向在面面求交、交线分类、真实感图形显示等方面很重要。

4.环

有序、有向边组成的面的封闭边界。

环中的边不能相交,相邻两条边共享一个端点。

内环:

确定面的最大外边界的环,边按逆时针方向排序。

外环:

确定面的中内孔的环,边按顺时针方向排序。

在面上沿一个环前进,左侧总是面内,右侧总是面外。

5.体

三维几何元素,由封闭表面围成的空间,欧氏空间R3中非空、有界的封闭子集,边界是有限面的并集。

为了保证几何造型的可靠性和可加工性要求定义的形体是正则形体。

正则形体:

形体上任意一点的足够小的领域在拓扑上应是一个等价的封闭圆,即围绕该点的形体邻域在二维空间中可构成一个单连通域。

非正则形体举例:

悬面、悬边、一条边有两个以上邻面、点的小邻域不是单连通域,如图6.1所示。

图6.1非正则形体举例

表6.1基于点、边、面几何元素的正则形体和非正则形体的区别

几何元素正则形体非正则形体

面是形体表面的一部分可以是形体表面的一部分,也可以是形体内的一部分,也可以与形体分离。

边只有两个邻面可以有多个邻面、一个邻面或没有邻面。

点至少和三个面（或三条边邻接可以与多个面（或边邻接,也可以是聚集体、聚集面、聚集边或孤立点。

6.体素

可以用有限个尺寸参数定位和定形的体。

定义形式:

（1从实际形体中选择出来,可用确定的尺寸参数控制其最终位置和形状的单元实体,如长方体、圆柱体、圆锥体、圆环体、球体等。

（2由参数定义的一条（或一组截面轮廓线沿一条（或一组空间参数曲线作扫描运动产生的形体。

（3用代数半空间定义的形体,{（x,y,z|f（x,y,z≤0},只能定义正则形体。

几何元素间有两类信息:

几何信息和拓扑信息。

几何信息:

表示几何元素性质和度量关系,如位置、大小、方向等。

拓扑信息:

表示几何元素之间的连接关系。

形体=几何信息+拓扑信息

7.定义形体的层次结构

形体在计算机中用几何元素按六个层次表示,如图6.2所示:

图6.2形体定义层次结构

6.1.2几何模型

在几何造型系统中,描述物体的三维模型通常有三种,即线框模型、表面模型和实体模型。

1.线框模型

线框模型是计算机图形学和CAD/CAM领域最早用来表示物体的模型,计算机绘图是这种模型的一个重要应用。

线框模型用顶点和棱边来表示物体,如图6.3所示的立方体。

图6.3立方体

若给出其8个顶点v1,v2,…,v8的坐标,则此立方体的形状和位置在几何上就被确定了,再用e1,e2,…,e12共12条棱就可以把立方体表示出来。

其立方体棱边和顶点的关系如图6.4所示。

图6.4立方体棱边和顶点的关系

通过给出的顶点坐标、顶点与棱边之间的关系表实现物体的表示。

图6.5线框模型各顶点坐标和端点与线段之间的关系表

优点:

模型简单、实现方便、运算量小。

缺点:

没有面的信息,不能表示表面含有曲面的物体;

不能明确定义给定点于物体之间的关系,不能处理剖切图、消隐图等。

2.

表面模型

表面模型在线框模型的基础上增加了物体中面的信息,用棱边所围成的封闭区域定义实体表面,用面的集合来表示物体。

物体中面的信息一般采用单链面边表数据结构表示,对应于图6.1的立方体的单链面边表数据结构如图6.6所示。

图6.6立方体的单链面边表数据结构

由于增加了面的信息,因此表面模型扩大了线框模型的应用范围,能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。

但在该模型中,除了边点表外,只有面的信息,物体究竟存在于表面的哪一侧,并没有给出明确的定义,无法计算和分析物体的整体性质,如物体的表面积、体积和重心等,也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质,如是否相交等。

3.

实体模型

实体模型是在表面模型的基础上,通过对表面的那一侧存在实体给出明确定义,由表面直接构造实体的一种几何模型。

确定实体存在侧的方法通常有三种（如图6.7所示:

（1

在定义表面的同时,给出实体存在侧一个点;

（2直接用一向量指明实体存在侧;

（3用有关棱边隐含表示外法向量方向,有向棱边按右手法则取向。

图6.7确定实体存在侧的方法

可以明确点与物体的关系。

只能表示正则形体、抽象形体的层次较低。

4.三种模型的功能比较

表6.2三种模型功能比较

模型应用范围局限性

二维线框画二维线框图（工程图无观察参数变化;

不可能产生有实际意义的形体。

三维线框画二、三维线框图不能表示实体;

图形会有二义性。

表面模型艺术图形;

形体表面显示;

数控加工。

不能表示实体。

实体模型物性计算;

有限元分析;

用集合运算构造形体。

只能产生正则形体;

抽象形体的层次较低。

为了克服某种模型的局限性,在实用化的几何造型系统中常统一使用线框、表面和实体模型。

6.1.3常见形体表示方法

1.分解表示

分解表示是将形体按某种规则分解为小的更易于描述的部分,每一小部分又可分为更小的部分,

这种分解过程直至每一小部分都能够直接描述为止。

简单,容易实现形体的交、并、差计算。

占用的存储空间大,物体的边界面没有直接表示。

一般把形体空间细分每一小部分都是一种固定形状的单元。

图6.8八叉树表示形体的一个实例

构造表示

构造表示是按照生成过程来定义形体的方法,通常有扫描表示、构造实体几何表示和特征表示三种方法。

（1扫描表示

扫描表示是一种基于图元（如一个点、一条线或一个面,沿某一个给定轨迹移动而形成特定几何体的方法。

如图6.7所示,图形B是梯形A绕z轴作旋转扫描后形成的形体。

图6.9图形B是梯形A绕Z轴作旋转扫描后形成的形体

两个要素:

被移动的形体和移动轨迹。

易于理解、易于执行。

（2构造实体几何表示（CSG

构造实体几何是通过对体素定义运算而得到新形体的一种表示方法。

体素表示的有效性决定了形体表示的有效性,必须细致定义各种体素。

图6.10定义形体的CGS树优点：

（1数据结构简单，数据量小，数据管理容易；

（2每个CGS表示都和一个实际有效的形体相对应；

（3可方便的转换为边表示，支持广泛的应用；

（4形状容易修改。

缺点：

（1对形体的局部操作不易实现；

（2边界元素隐含表示，不易绘制形体。

3.边界表示边界表示（BoundaryRepresentation也称为BR表示或BRep表示，是以物体边界为基础，定义和描述几何形体的方法。

物体的边界通常由面的并集来表示，而每个面又由它所在的曲面的定义加上其边界来表示，面的边界是边的并集，而边又是由点来表示的。

最基本的几何元素点（V、边（E、面（F，三种几何元素一共有九种连接关系，如图6.11所示。

图6.11点、边、面之间的连接关系6

长方体：

六个面围成，对应六个环，每个环由四条边界定，每条边又由两个端点定义。

优点：

（1表示形体的点、边、面等几何元素是显式表示的，绘制形体速度较快，较容易确定几何元素间的连接关系；

（2可有多种操作和运算。

（1数据结构复杂，需要大量的存储空间，维护内部数据结构的程序比较复杂；

（2修改形体的操作比较难以实现；

（3边界表示并不一定对应一个有效形体，即需要有专门的程序来保证边界表示形体的有效性、正则性等。

6.2边界表示的数据结构与欧拉操作6.2.1翼边结构翼边数据结构：

出发点为形体的边，从边出发查找该边的邻面、邻边、端点及其属性。

图6.12翼边数据结构举例：

边e1起点v1终点v2左上边e2右上边e10左下边e4右下边e9左外环s1右外环s4优点：

能很好的表示多面体。

不能表示曲面边界实体。

6.2.2欧拉操作对于正则形体,其面（f、边（e、顶点（v的数目满足欧拉公式：

v-e+f=2例如，长方体8个顶点，12条边，6个面。

满足公式8-12+6=2。

　　这就是著名的欧拉公式。

对于任意的正则形体，引入形体的其它几个参数：

形体所有面上的内孔总数（r、穿透形体的孔洞数（h和形体非连通部分总数（s，则形体满足公式v-e+f=2（s-h+r例如，中间有长方体孔洞的长方体，16个顶点，24条边，10个面，2个内孔，1个孔洞，1个形体。

满足公式16-24+10=2（1-1+2。

由此构造一套操作，对几何元素进行修改，修改过程中始终满足欧拉公式，这套操作就称作欧拉操作。

6.3常用的其他造型方法6.3.1参数化造型7

用几何约束关系说明产品模型的形状特征。

6.3.2特征造型形体描述信息的集合。

6.3.3分数维造型生成复杂图形。

6.3.4粒子系统模拟火焰动态效果。

6.3.5从二维正投影图构造三维形体由正投影自动生成形体。

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