简单数学建模100例.docx
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简单数学建模100例
真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。
如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连
小草也长不出来的。
“学”以致用
-----简单数学建模应用问题100例
数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量的应用题，通过训练来加深理解所
学公式。
但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢？
理想状态下的公式直接
运用，在生产及生活中的实例是少之又少。
为此学生总感到学了数学没有什么实际用处，所
以对学习数学少有兴趣。
数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能
力开辟了一条有效的途径，让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的.
数学建模是一种思维方式，它是一个动态的过程，通过此过程可以将一个实际的问题，经过模型准备、模型假设、模型构成、模型解析、模型检验与应用等五个具体步骤，转变为可以用数学方法（公式）来解决的，在理想状态下的数学问题，上述的整个流程统称为建模
数学
如果想解决某个实际问题（也许它和数学没有直接的关系），可以按下面流程对问题进行
数学建模。
一．模型准备先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪
一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建
模做准备.由于人们所掌握的专业知识是有限的，而实际问题往往是多样和复杂的，模型准
备对做好数学建模问题是非常重要的.
二．模型假设有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必
要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素.以主要矛盾
为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。
模型假设不太可能一蹴而就，
可以在模型的不断修改中得到逐步完善.
三．模型构成
在模型假设的基础上，选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜
1人生的磨难是很多的，所以我们不可对于每一件轻微的伤害都过于敏感。
在生活磨难面前，精神上的坚强和无动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。
如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连
小草也长不出来的。
集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）.做模型构
成时可以使用各种各样的数学理论和方法，但要注意的是在保证精度的条件下尽量用简单的
数学方法是建模时要遵循的一个原则.
四．模型解析在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机
模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机
软件来做这些工作。
五．模型检验与应用把模型解析得到的结果与实际情况对比，以检验其合理和有效性，
检验后获取的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释，以供
决策者参考称为.
不难发现，在上述的五个步骤中，关键的是第三步“模型构成”——由数字、字母或其
它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。
所以说模型构成是数学建模的核心，它和数学的关系最密切。
所得出的数学公式、图形或算法称之为数学模型（即解决实际问题的数学描述）。
通常所说的数学建模实际上就是：
寻找有用的数学模型的过程
为了避免作业书写中不必要的繁琐，通常用“分析”，“假设”，“模型”，“解析”，“检验”
来表示数学建模的五个不同步骤，虽然每题不一定面面俱到，但假设，模型，解析三个步骤要求明确
2人生的磨难是很多的，所以我们不可对于每一件轻微的伤害都过于敏感。
在生活磨难面前，精神上的坚强和无动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。
如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连
小草也长不出来的。
第一关：
接触数学建模
3人生的磨难是很多的，所以我们不可对于每一件轻微的伤害都过于敏感。
在生活磨难面前，精神上的坚强和无动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。
如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连
小草也长不出来的。
【1】一副扑克牌有54张，从中任取多少张，可以保证一定有5张牌的花色是一样的？
分析
除去大、小鬼还有52张牌，其中
4种
花色各13张.运气最好的情况下所取
的5张牌都是同一花色的，哪运气不
佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有
5张牌的花色是一样的呢？
假设
假定至少要取N张，才能保证一定有
5张牌的花色是一样的.
模型
逆向地思维
解析
在运气最不好的情况下，每种花色各
4
张，再加大、小鬼2张，共取
18张是
保证一定没有5张牌的花色一样的最大可能。
所以N4
42119张就可以保证一定有5张牌的花色是一样的.
检验
在很多情况下采用
逆向地思维，可以使解题思路清晰、便捷.
练习题
公园里准备对300棵珍稀树木依次从1—300进行编号，问所有的编号中“1”共会出现的几次？
4人生的磨难是很多的，所以我们不可对于每一件轻微的伤害都过于敏感。
在生活磨难面前，精神上的坚强和无动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。
如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连
小草也长不出来的。
【2】一只猫发现离它10步远的前方有一只老鼠在奔跑，猫便紧追。
猫的步子大，它跑
5
步的路程，老鼠要跑9步。
但是老鼠的动作频率快，猫跑2步的时间，老鼠能跑
3步。
请问：
按照这种速度，猫能追得上老鼠吗？
如果能，它要跑多少步才能追到。
假设此题两问可归结为一个问题：
假定猫跑x步就能追上老鼠
模型猫与老鼠之间频率的最小公倍数
解析由频率关系可知，老鼠跑339步时，猫跑了236步.
根据路程关系知，猫跑6步其中有1步是追上老鼠的路程
x
可得本题的数学模型为100
6
解得x60（步）
检验由此可见，按照现有速度，猫要跑60步才能追得上老鼠.
练习题
现有玩具模型元，未完成的不得不扣
20个，交给小黄加工，规定加工合格一个可得5元，不合格一个扣
.最后小黄共得到56元.问小黄在加工玩具模型中不合格的共有几
2
个？
5人生的磨难是很多的，所以我们不可对于每一件轻微的伤害都过于敏感。
在生活磨难面前，精神上的坚强和无动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。
如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连
小草也长不出来的。
【3】在小傅家门口有一个十字型的交通路口（如图所示），小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？
分析此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.
假设
（1）每条线路都有往返双向线
（2）设4条路分别为A,B,C,D；
（3）以A为起始，
①如允许原路调头，则有
②如不允许原路调头，则有
AA,AB,AC,AD,
AB,AC,AD,
模型分步乘法计数原理
解析第一步：
始线路条数；第二步：
终线路条数。
①如允许原路调头：
则N=4?
4=16（种可能）
②如不允许原路调头，则N=4?
3=12（种可能）
检验如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况；如果
不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况。
练习题
铁路京广线（北京—广州）共有36个大站，问用电脑上购票时需要有多少种不同的火车票？
6人生的磨难是很多的，所以我们不可对于每一件轻微的伤害都过于敏感。
在生活磨难面前，精神上的坚强和无动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。
如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连
小草也长不出来的。
【4】杭州市车辆管理所的工作人员为汽车牌照的事弄得焦头烂额，现在有个问题要请教一
下，数字号码为浙AB5的汽车牌照共有多少块？
分析由条件知，问题为三个中各可以填入多少种数字或字母
假设
假定按要求的汽车牌照共有
N种可能，且在第i个
中共有ni
（i=1,2,3）种
字符可以填写.
根据汽车牌照的特点，在每个
中可以填入1~0共10个阿
拉伯数字和A,B,C,D，26个英语字母，即ni=
36（i=1,2,3）
模型
分步乘法计数原理.
解析
因为各
中填入的字符数符合
N=n1创n2n3
故N=36创3636=46656
检验数字号码为浙AB5的汽车牌照共有46656块。
不难发现，无论B和
5在何位置，所得结论不变.
练习题
出租车在开始
多少钱?
10千米以内收费
10.4元，以后每走
1千米，收费
1.6元，问走
20千米需收
7人生的磨难是很多的，所以我们不可对于每一件轻微的伤害都过于敏感。
在生活磨难面前，精神上的坚强和无动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。
如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连
小草也长不出来的。
【5】把
20个苹果全部分给小明、小惠、小曼三人，要求每人最少分
3个，可以有多少种
不同的分法？
假设
先取9个苹果，平均每人
3个，剩下的
11个再按不同情况讨论
.
模型
排列数公式
解析
可以有：
（11,0,0）,（10,1,0）,（9,
2,0）,（9,1,1）,（8,3,0）,（8,
2,1）,（7,
4,0）,（7,3,1）,
（7,2,2）,（6,5,0）,（6,
4,1）,（6,3,
2）,（5,5,1）,
（5,4,2）,（5,3,3）,
15种不同种类，对每一种类再考虑
小明、小惠、小曼的不同次序，用排列
数公式Amn即可求解.
①对（11,0,0），（9,1,1
），（7,2,2
），（5,5,1
），（5,3,3）五类，各类可以有3
种次序排法，故共有
15种分发法.
②对其余的10类，各类可以有
6（A33）种次序排法，故共有
60种分发法
检验
所以按要求可以有75种不同的分法.
练习题
一个立方体随意翻动，每次翻动朝上一面的颜色与翻动前都不同，那么这个立方体的颜色至少有几种？
8人生的磨难是很多的，所以我们不可对于每一件轻微的伤害都过于敏感。
在生活磨难面前，精神上的坚强和无动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。
如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连
小草也长不出来的。
【6】有243颗外形一模一样的珠子，
少称几次才能找出这颗珠子来?
其中有一颗稍重一点。
用一架没有砝码的天平，至
分析与假设
①将243颗珠子平均分成3份，每份81颗，任取其2份放置在天平两
边，若平衡则稍重的一颗在另1份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的
份中.
1
②在找出含有稍重珠子的一份中（含81颗），再将其81颗珠子平均分成3份，每份27颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另1份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1份中.
③在找出含有稍重珠子的一份中（含27颗），再将其27颗珠子平均分
成3份，每份3颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另
1份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1份中.
④在找出含有稍重珠子的一份中（含1颗），再将其
3份，每份1颗，任取其2颗放置在天平两边，若平衡则另
3颗珠子平均分成
1颗稍重的一颗；
若不平衡则稍重的一颗为天平下沉的
1颗.
模型“三分法”
解析按“分析与假设”所述可知，至少称4次才能找出这颗珠子来.
检验
此题的关键是珠子的颗数243，可以平均分成3份，每份81颗，而81又可以
平均分成3份，每份27颗，而27又可以平均分成3份，每份3颗，而3可以
平均分成3份，每份1颗，最后找出异样的珠子.
9人生的磨难是很多的，所以我们不可对于每一件轻微的伤害都过于敏感。
在生活磨难面前，精神上的坚强和无动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。
如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连
小草也长不出来的。
练习题
小敏把100只彩色小灯泡串联起彩灯，用来布置教室，可是其中有只小灯泡坏了，这可
急坏了小敏。
你能用最速捷的方法很快地找出了那只损坏的小灯泡吗？
【7】水果店进了十筐苹果，每筐
10个，共100个，每筐里的苹果重
量都一样，其中有九筐每个苹果的
重量都是1斤，另一筐中每个苹果
的重量都是0.9斤，但是外表完全
一样，用眼看或用手摸无法分辨。
现在要你用一台普通的大秤一次把
这筐重量轻的找出来。
你可以办到么？
分析与假设普通的大秤上是有刻度，可以称得具体重量.从这点考虑不妨将十筐苹果进
行标号Ai（i1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）
模型
解析
并取与标号对应的苹果数——1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共计55个，再用所给的
大枰称得这55个苹果的总重量
若此55个苹果重量均为1斤（理想状态），则总重量应为55斤，由题目条
件知其中某一框苹果重量均为0.9斤，假定为第j框时，那么所取苹果数为j
个，大枰称得总重量就要比55斤少j两.
等差数列的求和
利用框数与所取苹果数的对应关系，考虑大枰称得总重量与理想状态55个苹果
的总重量之间的差
按“分析与假设”所述可解得.若大枰称得总重量为54斤3两，比55斤差7
两，即得框号为
A7
的这框苹果重量为
0.9斤.
练习题
某单位某月1～12日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班4天.要求三个人各自值班日
910
值夜班之间，最多有几天不用值夜班？
10人生的磨难是很多的，所以我们不可对于每一件轻微的伤害都过于敏感。
在生活磨难面前，精神上的坚强和无动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。
如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连
小草也长不出来的。
【8】甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人
4天的食物和水。
如果允许将部分食物存放于途中，其中1人最远可深入沙漠多少千米？
（要求最后两人返回出发点）
分析与假设
要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下
食物和水给另一
位，所以必须分头行动
.问题是在何处留下食物和水？
①经过商议让甲走得更远
（最远走44080千米，但回程就没有食物和水了），
需要乙在适当的地点留小足够的
食物和水.
②第1天乙在10千米处留下
1份食物和水，到
20千米处吃
1份留下1份，第2
天走到
30千米处留下
1份食物和水后马上往回返，到
20千米处再吃1份，第3
天走20千米回出发点.
③第1天甲20千米处吃1份，第2天走到40千米处吃
1份，第3天走到60千
米处吃
1份，第4天走到65
千米处然后往回返，到50
千米处吃1份（到此为止
甲自带的食物和水已吃完），第5天走到30千米处吃1
份（此处食物和水是乙留
下的），第6天走到10
千米处吃1份，然后回出发点
模型
错位推进法
解析
所谓“错位推进法”对于本题来说，关键点为“乙在
30千米和10千米处给甲留
下食物和水”，根据分析与假设推知结论——其中的
1位沙漠探险家最多可深入沙
漠65千米.
检验
从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米可以
走，但已经回出发点了.考虑一下甲是否还可以再往前推进5千米呢？
练习题
在一排
10个花盆中种植
3种不同的花卉，要求每
3个相邻的花盆中所种的花的品种各
不相同，问共可有多少种不同的种植方法？
11人生的磨难是很多的，所以我们不可对于每一件轻微的伤害都过于敏感。
在生活磨难面前，精神上的坚强和无动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。
如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连
小草也长不出来的。
【9】家里有两个容积分别为5升和6升的空水壶.问大明怎样用这两个水壶得到3升的水.
分析从5升的满水壶倒出2升即可得到3升的水，问题是如何使6升的水壶空出2
升的空间（即得到4升水），问题是如何使5升的水壶空出1升的空间（即得到
4升水），问题是如何使6升的水壶空出1升的空间（即得到5升水），此问题
假设
不难解决.
由上分析可以如下操作：
模型
解析
检验
①将5升的满水壶的水全部倒出6升的空水壶中，在6升的水壶中得到1升
的空间.
②用5升水壶取满水，倒满6升水壶中的1升空间，此时的5升水壶空出了
1升的空间.
③将5升水壶中的4升水倒进6升的空水壶，在6升水壶中的得到2升的空
间.
④用5升水壶取满水，倒满6升水壶中的2升空间,.
此时在5升的水壶里剩下的就是3升的水了.
逆向推理综合法
按分析及假设即可将问题解决，得到3升的水.
逆向推理综合法是一种非常有用的数学思维方法，用途非常广泛.
练习题
某盐溶液的浓度为20%，加水后溶液的浓度稀释为15%.如果再加同样多的水，问溶液的浓度为多少？
12人生的磨难是很多的，所以我们不可对于每一件轻微的伤害都过于敏感。
在生活磨难面前，精神上的坚强和无动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。
如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连
小草也长不出来的。
【10】箱子里放着一箱梨，
第一个人拿了梨总数的一半又多半只，
第二个人拿了剩下梨的
一半又多半只，第三个人拿了第二次剩下的一半又多半只，
第四个人
3拿了第三次剩下的一
半又多半只，第五个人拿了第四次剩下的一半又多半只。
这时箱子里的梨正好拿完，
而且每
人手里的梨都没有半只的，请问箱子里原来有多少只梨?
假设
假定箱子里原来有
x只梨，则有条件
①第一个人拿梨数：
x
1
x
1
2
2
；
2
②第二个人拿梨数：
（x
x
1）1
1
x
1
2
2
2
4
③第三个人拿梨数：
（x
x
1
x
11
1
x
1
2
4
）
2
8
2
④第四个人拿梨数：
（x
x
1
x
1
x
1）1
1
x1
2
4
8
2
2
16
⑤第五个人拿梨数：
（x
x
1
x
1
x
1
x
1）1
1
x1
2
4
8
16
2
2
32
模型
解一元一次方程
升级会员 