数学建模实例分析.docx
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数学建模实例分析
数学建模
说明：
以下问题主要使用LINGO帮助解决.
[具体问题]
1、某银行经理计划用一笔资金进行证券投资业务，可供购进的证券及其相应信息如下表所示，且有如下规定和限制：
（1）市政证券的收益可以免税，其它证券的收益需要按50%的税率纳税；
（2）政府及代办机构的证券总共至少购进400万元；
（3）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级越小，信用程度越高）；
（4）所购证券的平均到期年限不超过5年；
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益率（%）
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
请回答下列问题：
（1）若该经理有1000万资金，应如何投资？
（2）如果能以2.75%的利率借到不超过100万元，该经理应该如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？
若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
解：
为简化问题起见，题中的税前收益率和利率都与年限无关，即都为固定值。
分析：
设每种证券的投资额分别为X1,X2,X3,X4，X5。
由题意可知，可获得收益即目标函为：
W=0.043*X1+0.027*X2+0.025*X3+0.022*X4+0.045*X5
约束条件：
1所购证券的平均到期年限不超过5年，则：
9*X1+15*X2+4*X3+3*X4+2*X5≤5*5，即：
4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5≤0
②所购证券的平均信用等级不超过1.4，则：
2*X1+2*X2+1*X3+1*X4+5*X5≤1.4*5，
即：
6*X1+6*X2x2-4*X3-4*X4+36*X5≤0
③政府及代办机构证券总共至少购进400万元，所以：
X2+X3+X4≥4；问题
（1）：
该经理有1000万资金，应如何投资？
此时：
有约束条件④：
X1+X2+X3+X4+X5≤1000。
于是，模型可求解如下：
MODEL:
MAX=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5；
x2+x3+x4>=4;
x1+x2+x3+x4+x5<=1000;
6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;
4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
END
所以投资形式为：
X1为218.1818万元，X3为736.3636万元，X5为45.45455万元。
即：
A为218.1818为万元，C为736.3636万元，E为45.45455万元。
总收益为29.83636万元。
问题
（2）：
如果能:
以2.75%的利率借到不超过100万元，该经理该如何操作？
设借贷数目为X6，那么目标函数改为：
0.043*X1+0.027*X2+0.025*X3+0.022*X4+0.045*X5-X6*0.0275
约束条件④改为：
X1+X2+X3+X4+X5≤1000+X6
于是，模型求解为：
所以投资形式为：
X1为336.3万元，X4为648.6万元，X5为16.01万元。
即：
借贷100万，A为336.3为万元，C为648.6万元，E为16.01万元。
总收益为29.4259万元。
问题（3）：
在1000万元资金下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？
若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
同样，只需更改目标函数即可。
①若证券A的税前收益增加为4.5%，
目标函数为：
0.045*X1+0.027*X2+0.024*X3+0.022*X4+0.045*X5
所以投资形式为：
X1为218.4万元，X3为737.1万元，X5为45.5万元。
即：
A为218.4为万元，C为737.1万元，E为45.5万元。
总收益为29.8387万元。
②若证券C的税前收益减少为4.8%
目标函数为：
0.043*X1+0.027*X2+0.024*X3+0.022*X4+0.045*X5
所以投资形式为：
X1为336万元，X4为648万元，X5为16万元。
即：
A为336万元，D为648万元，E为16万元。
总收益为29.424万元。
[具体问题]
2.某公司有三个加工厂，某月公司接到4份分别来自于A，B，C，D客户的订单依次为15,17,22,12件，三个加工厂开工费用（固定值，与生产量无关）和生产量及各加工厂的至各个客户的每件运输费用如下面两个表格所示，请制定生产和运输费用，使得总费用最小。
开工费用（元）
生产量
第一加工厂
91
39
第二加工厂
70
35
第三加工厂
24
31
单件运输费用（元）
客户A
客户B
客户C
客户D
第一加工厂
6
2
6
7
第二加工厂
4
9
5
3
第三加工厂
8
8
1
5
模型分析：
由题意，不妨设：
A
B
C
C
第一
X11
X12
X13
X14
第二
X21
X22
X23
X24
第三
X31
X32
X33
X34
约束条件：
A，B，C，D客户的订单依次为15,17,22,12件
于是有：
同时考虑到三工厂的生产能力，有：
为便于表达，不妨令：
所以，目标函数可表示为：
F=M+N+Z+91+24（X11+X12+X13+X14=0）
F=M+N+Z+70+24（X21+X22+X23+X24=0）
F=M+N+Z+91+70（X31+X32+X33+X34=0）
F=M+N+Z+91+70+24（各加工厂都生产）
于是模型求解为：
通过lingo的Globalsolver，可得到全局最优解为：
A
B
C
C
第一
15
17
0
3
第二
0
0
0
0
第三
0
0
22
9
此时，总费用最小，为327元。
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