电大经济数学基础形成性考核册参考答案.docx
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电大经济数学基础形成性考核册参考答案
、填空题
1.lim
x0x
2.设f（x）
电大【经济数学基础】形成性考核册参考答案
《经济数学基础》形成性考核册
（一）
.答案：
1
k,1,x0,在x0处连续,则k
.答案1
3.曲线y
、,x+1在（1,1）的切线方程是
答案:
y=1/2X+3/2
4.设函数
f（x1）
x22x5,则f（x）
.答案2x
5.设f（x）
xsinx,
.答案:
单项选择题
1.
F列变量为无穷小量的是（
4.
ln（1
x）B
x
.x1
下列极限计算正确的是
（B
lim-
<
1B.
lim
凶1
C
x0x
x0
x
设
y
lg2x,
则dy
（
B）
1
dx
B
1
dx
C
2
C
A.
2.
A.
3.
A.
2x
xln10
若函数f（X）在点xo处可导,
）
lim
x0
sinx
x
A.函数f（x）在点X。
处有定义
C.函数f（x）在点xo处连续
5.若fj）x,则f（x）（B）.
x
.1
xsin
x
ln10
dx
x
D.
1
—dx
x
lim沁1
xx
）是错误的.
.limf（x）A,但Af（x0）
xx0
.函数f（X）在点xo处可微
三、解答题
1.计算极限
本类题考核的知识点是求简单极限的常见方法。
它包括
⑴利用极限的四则运算法则；⑵利用两个重要极限；
⑶利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量
⑷利用连续函数的定义。
X23x2
分析：
这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。
限进行计算解：
原式=lim^如习=lim「=—
x1（x1）（x1）x1x111
分析：
这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。
进行计算
解：
原式=lim（X2）（x3）=血g口
x2（x2）（x4）x2x424
分析：
这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。
（4）
2x23x5lim厂x3x2x4
分析：
这道题考核的知识点主要是函数的连线性。
解：
原式=lim-
x
3
35
200j4300
x
（5）lim沁
x0sin5x
分析：
这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。
算法则和重要极限进行计算
分析：
这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。
具体方法是：
对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重
要极限进行计算
解：
原式=02（爲丁2）2）^（x2）代孟九414
分析：
本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。
即函数在某
点极限存在的充分必要条件是该点左右极限均存在且相等。
二是函数在某点连续的概念解:
（1）因为f（x）在x0处有极限存在，则有
limf（x）limf（x）
x0x0
lim0f（x）
x0
limf（x）
x0
1--lim（xsinb）bX0x
「sinx
lim1
x0x
f（0）
limf（x）limf（x）
x0x0
又f（0）a,结合
（1）可知ab1
3.计算下列函数的导数或微分：
本题考核的知识点主要是求导数或（全）微分的方法，具体有以下三种
⑴利用导数（或微分）的基本公式
⑵利用导数（或微分）的四则运算法则
⑶利用复合函数微分法
（1）yx22xlog2x22,求y
分析：
直接利用导数的基本公式计算即可。
解:
y2x2xln2—xln2
axb
（2）y，求y
cxd
（axb）（cxd）（axb）（cxd）_a（cxd）（axb）c_adbe
（cxd）2
（cxd）2
（cxd）2
（3）y
分析：
利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。
3（3x5）^
2
i」i
11
解：
y[（3x5）2]-（3x5）2（3x5）
2
（4）yxxex,求y
分析：
利用导数的基本公式计算即可。
11
解：
y（x2）（xex）丄x2exxex
2
分析：
利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。
（5）yeaxsinbx,求dy
解:
y（eax）sinbxeax（sinbx）eax（ax）sinbxeaxcosbx（bx）=aeaxsinbxbeaxcosbx
dyydx
（aeaxsinbxbeaxcosbx）dx
1
（6）yex
x.x,求dy
分析：
利用微分的基本公式和微分的运算法则计算即可
解：
y
1
（ex）
3
（X2）
e；（-）
X
2
1
e亍3f
2异
x2
dy
ydx
1（t
X
3-
3x2）dx
2
（7）
y
cos
、xex2
求dy
分析：
利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算
2xex2
解:
y（cosjx）（e）sinTX（VX）e（x2）sinf
2jx
（8）ysinnxsinnx,求y
分析：
利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算
1
cosxncosnx
解:
y[（sinx）n]（sinnx）n（sinx）n1（sinx）cosnx（nx）n（sinx）
（9）yIn（X.1X2）,求y
分析：
利用复合函数的求导法则计算
4.下列各方程中y是x的隐函数，试求y或dy本题考核的知识点是隐函数求导法则。
（1）Xy2xy3x1,求dy
解：
方程两边同时对X求导得:
（x2）（y2）（xy）（3x）
（1）
2x2yyyxy30
y2x3
2yx
dyydx
y2x
2y
dx
（2）sin（xy）exy4x,求y
解：
方程两边同时对x求导得:
y（cos（xy）xe®）4cos（xy）yexy
4cos（xy）ye^
'cos（xy）xexy
5.求下列函数的二阶导数
6.
本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数
（2）
y
1
（x2）
1-
2x2）
2（
lx1）
1（
2）x
"=1
4
（一）填空题
《经济数学基础》形成性考核册
（二）
1.若f（x）dx2x2xc,贝Sf（x）
x
2In2
2.（sinx）dxsinxc^
3.若f（x）dxF（x）c,贝Sxf（1
x2）dx
iF（1x2）c
4.设函数dx；，n（1"x0
5.
若P（x）I,严，贝U
P（x）
二）单项选择题
1.
F列函数中，（D）
是xsinx2的原函数.
-cosx2
2
.2cosx2
.-2cosx2D
--cosx2
2
2.
F列等式成立的是
.sinxdxd（cosx）
B.lnxdx
d（-）
x
2xdx
l>x）
D.
3.
F列不定积分中，
常见分部积分法计算的是（
A.
cos（2x1）dx,B
x.1x2dx
xsin2xdx
2dx
x
4.
F列定积分中积分值为
0的是（D
1
2xdx2B
1
5.下列无穷积分中收敛的是
16
dx15
1
（B）
cosxdx
sinxdx0
1
A.2dxB
1x
gdxC
x
xdxD
sinxdx
（三）解答题
1.计算下列不定积分
（1）
4
e
（2）
解：
原式
（3）xdxe
ln31（e）
c
解：
原式
（x
1
2x2
3
x2）dx
1
2x2
4x3
3
2x2c
5
（3）
—dx
2
（4）
原式
（x2）（x
2）dx
!
x2
2
2xc
解：
原式
訓1
（5）
x.2x2dx
（6）
原式
12
x2d（2
x2）
（7）
3（2
3
X2）2
xsinxdx
2
（8）
原式2xdcos|
x
2xcos—
2
cOsfd（f）
cx
2cos-
dx
2x
2xx2dx
1dx
2x
—d（1-2x）
12x
sinix,dx
解：
原式
2sinxdx
jf
2cos..x
In（x
1）dx
解：
原式
x
xln（x1）dx
x1
xln（x
1）
1
（1）dx
x1
xln（x
1）x
ln（x1）c
2.计算下列定积分
（1）
原式
xdx
（2）
2e二
2dx
x
（3）
e3
1
1（1
x）dx
2
1（x
1）dx
解：
原式
皆d（丄）
|x
1
2（1
1
2-
2
x）2
1
12（x
1）
ex
1
1
ee2
1xdInx
原式
e3
2
12dInx
d（lnx
1）
e3
Inx
（4）
2xcos2xdx
0
解：
原式-
2xdsin2x
o
1
xsin2x
2
1-
2sin2xd（2x）
dos2x
4
（5）
e
xInxdx
1
（6）
4
0（1
解：
原式1e
Inxdx2
解：
原式
21
12
e
1e
—x
Inx
d
—xdx
x
2
1
21
4
xe
12
1
2
1
4
„4
-e
-e
—
4e
2
4
4
1“
2八
5
5e4
-（e
-1）
2
4
e
2
0
4
0
4
dx
0
xex）dx
（一）填空题
《经济数学基础》形成性考核册（三）
4
xdex
0
xd（x）
.答案：
3
1045
1.设矩阵A3232,则A的元素a23
2161
2.设代B均为3阶矩阵，且AB3,贝S2ABt=.答案：
72
3.设代B均为n阶矩阵，则等式（AB）2A22ABB2成立的充分必要条件
是.答案：
ABBA
4.设A,B均为n阶矩阵，（IB）可逆，则矩阵ABXX的解XL答案:
（IB）1A
100100
5.设矩阵A020，则A1.答案：
010
20031
00-3
（二）单项选择题
1.以下结论或等式正确的是（C）.
A.若A,B均为零矩阵，则有AB
B.若ABAC,且AO,贝卩BC
C.对角矩阵是对称矩阵
D.若AO,BO,贝卩ABO
2.设A为34矩阵，B为52矩阵，且乘积矩阵ACBT有意义，则CT为（A）矩
阵.
A.24B.42C.35D.53
3.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C）
D.ABBA
A.（AB）1A1B1,B.（AB）1A1B1C.ABBA
4.下列矩阵可逆的是（A）
5.矩阵A
222
333的秩是（
444
A.0B.1C
三、解答题
1.计算
2
1
0
1=
1
2
（1）
5
3
1
0
3
5
0
2
1
1
0
0
（2）
0
3
0
0
0
0
3
（3）1
2
5
0
4
1
=
0
2
1
2
3
1
2
4
2
4
5
2.计算
1
2
2
1
4
3
6
1
0
1
3
2
2
3
1
3
2
7
1
2
3
1
2
4
2
4
5
7
解1
2
2
1
4
3
6
1
0
7
1
3
2
2
3
1
3
2
7
0
19
7
2
4
5
5
15
2
12
0
6
1
0=
:
1
11
0
4
7
3
2
7
3
2
14
3.设矩阵A
123
112,求AB。
011
解因为AB|A||B
232
23..
22
112
（1）
（1）
12
010
1
1
1
2
123
0-1-10
011011
因此ABAB200
（注意：
因为符号输入方面的原因，在题4—题7的矩阵初等行变换中，书
写时应把
（1）写成①；
（2）写成②；（3）写成③；…）
/.r（A）2。
6.求下列矩阵的逆矩阵
132
（1）A301
111
132100
043101
1363
（2）A=421
211
1363100
421010
211001
214
312
1
0
11
0
2
01
0130
14130
1261
61
231
71
7．设矩阵A3125,B
12
23
求解矩阵方程XAB．
解:
AI
1210
3501
213
122
211052
0131
52
31
1125210
…XBA1=
233111
四、证明题
1•试证：
若Bi,B2都与A可交换，则BiB2,B1B2也与A可交换。
证:
丁BiAABi,B2AAB2
…BiB2ABiAB2AABiAB2ABiB2
即BiB2也与A可交换。
BiB2ABiB2ABiAB2BiAB2ABiB2
即BiB2也与A可交换.
2.试证：
对于任意方阵a,aat,aat,ata是对称矩阵。
证：
TAATTAtAtTAtAAAt
二AAT是对称矩阵。
T（AAT）T=ATTATAAT
二AAt是对称矩阵。
TATATATATTATA
ATA是对称矩阵.
BA。
3.设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：
AB
证：
必要性：
TATA,BTB
若AB是对称矩阵,即ABTAB
而ABBTATBA因此ABBA
充分性：
若ABBA,贝卩ABTBtAtBAAB
二AB是对称矩阵.
4.设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B1BT,证明B1AB是对称矩阵
证：
TAtAB1BT
B1ABTABTB1TBtAtBtTB1AB
二B1AB是对称矩阵.证毕.
《经济数学基础》形成性考核册（四）
（一）填空题
2.函数y3（x1）2的驻点是,极值点是,它是极值点。
答案：
Ep=
答案：
t1.
（二）单项选择题
X
A.sinxB.eC
2.
1
设f（x）-,贝yf（f（x））
x
（
C）
A.1B.12
C
.xD.x2
xx
3.
下列积分计算正确的是
（
A
）.
xx
A.eedx0B
1
xee
x1
—dx0C.xsinxdx0
1
D.（x2x3）dx0
12
1
2
-1
-1
4.
设线性方程组AmnX
b有无穷多解的充分必要条件是（
D）.
A.
r（A）r（A）mB.
r（A）
n
C.mnD.r（A）
r（A）n
x1x2a1
5.设线性方程组xX3a2,则方程组有解的充分必要条件是（C）
6.
xi2x2X3a3
1.求解下列可分离变量的微分方程
（1）
2.求解下列一阶线性微分方程
（1）y二y（x1）3
x1
-dx32dx
解:
yexx1ex1dx
2lne
x13e
2ln
x1
dx
1dxc
x1
21,2
x1c
2
（2）
y1
x
2xsin2x
解:
y
e
11
_dx_dx
x2xsin2xexdx
c
InxInxi
e2xsin2xedxc
3.求解下列微分方程的初值问题
（1）ye2xy,y（0）0
eydye2xdx
1xInx|
eedxc
e0
1e
0c,
解得c-
2
2
特解为:
ey
1
2x1
e
2
2
⑵xy
y
ex
0
y
（1）0
解：
y
1
1y_
xe
x
x
1dx
xe
1dx
y
e
x
exdxc
x
用x0,y0代入上式得
Inx
1exdxc丄exc
xx
用x1,y0代入上式得
解得：
c
•••特解为：
ex
（注意：
因为符号输入方面的原因，在题4—题7的矩阵初等行变换中，书
写时应把
（1）写成①；
（2）写成②；（3）写成③；…）
4.求解下列线性方程组的一般解
X1
2x3
x40
（1）
X
：
1X2
3x3
2x40
2x1
X2
5X3
3x40
1
0
2
12
111021
解:
A=
11
3
231
20111
2
1
5
3
0111
因此一
•般解
:
为
X1
2X3
x-
其中
X3,X4是自由未知量。
1
0
2
1
321
0
1
1
1
0
0
0
0
x1
2
x2
x4
XI
x4
4
-5
2
1
4
2
1
7
1
4
1
11
1
5
1
0
0
2
1
0
1
3
5
0
4
7
5
0
2
3
5
0
2
2
3_
6-57-
4-53-
因为秩A秩A=2,因此方程组有解
般解为
4
1
6
X-
—
X3
X-
5
5
5
3
3
7
X2
—
X3
X-
5
5
5
其中Xa.X-是自由未知量
5.当为何值时，线性方程组
Xi
X2
5X3
4x42
2为
X2
3x3
x41
3x1
2x2
2x3
3x43
7x1
5x2
9x3
10x4
有解，并求一般解
1
1
5
42
212
解:
A2
1
3
11
31
41
3
3
3
2
2
33
7
5
9
10
1
1
54
2
321
422
0
1
139
3
1
0
0
00
0
0
0
00
8
可见当
8时，
方程组有解，
其
X11
8X3
5x4
其中X3
x23
T3x3
9x4
6.a,b为何值时
方程组
X1X2X3
1
x1x22x（
32
x13x2ax
3b
有唯解、
无穷多解或无解。
1
1
1
121
1
1
解：
A1
1
2
31
2
1
0
1
3
a
b
0
根据万程组解旳判定定理可知
:
当a3,
且b
3时
秩A
<秩
A,
当a3,
且b
3时
秩A
=秩
A=
1
1
5
4
2
0
1
13
9
3
0
1
13
9
3
0
2
26
18
14
1
0
8
5
1
21
0
1
13
9
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
一般解为
X4是自由未知量
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
322
0
2
1
1
4
a1
b1
0
0
a3
b3
方程组无解；
<3,方程组有无穷多解
当a3时，秩A=秩A
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