江苏省南京市六校联合体届高三上学期联考数学Word版.docx

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江苏省南京市六校联合体届高三上学期联考数学Word版

南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷

数学

注意事项：

1.本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.

2•答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题的答案写在答.纸.上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.

参考公式：

nn

样本数据X1,X2,…，Xn的方差S=-刀（Xi-X）2，其中X=-刀Xi；ni=1''ni=1

1

锥体的体积公式：

V=§Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；

圆锥的侧面积公式：

S=..rl，其中r为底面半径，1为母线长.

-、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1•已知集合M=b,1,2,3l，集合N，则Mp|N=▲.

22

2•双曲线Xy1的渐近线方程是▲.

925

3.复数z满足一z3i，其中i是虚数单位，则复数z的模是

1+i

4.

开始

a「5,S11

若一组样本数据3,4,8,9,a的平均数为6,则该组数据的

方差s2=▲.

5•从1,2,3,4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取

2个数的乘积为奇数的概率是▲.

6•如图所示的流程图的运行结果是—▲—.

7.若圆锥底面半径为1,侧面积为二,则该圆锥的体积

是▲.

兀1

9.已知tan（：

_4）__7,

8.设直线I是曲线y=2x2•Inx的切线，则直线I的斜率的最小值是▲.

ae0,—［，则sin（a+—）的值是

I2丿6

2

10.已知函数f（X）是定义在R上的奇函数，且当X>0时，f（x）二X-X.若

f（a）v4+f（—a）,则实数a的取值范围是

01

11.」ABC中，AC=4,BC=3,._ACB=60,E为边AC中点，AD=—AB一AC,

33

则CDBE的值为▲.

12.已知圆C:

x2（y-2）2=2，直线I:

kx-y-2=0与y轴交于点A，过l上一点P作圆

C的切线，切点为T，若PA-.2PT，则实数k的取值范围是▲.

13.已知n€N*,an=2n,bn=2n-1,q=max｛bj-印n®_a?

b^ann｝，其中max｛X1,X2,…,Xs｝表示为兀，…,x$这s个数中最大的数.数列｛©｝的前n项和为Tn,若an•F-0对任意的n€N*恒成立，则实数■的最大值是▲.

14.已知函数f（x）=x2-2ax2a-1.若对任意的a（0,3）,存在x0•[0,4]，使得t日f（X°）|成立，则实数t的取值范围是▲_.

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步

骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）

15.（本小题满分14分）

在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且J3bsinA=acosB.

（1）求角B;

（2）若b=3,sinC=时3sinA，求a,c.

16.（本小题满分14分）

P

题16图

A

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O,

PC丄底面ABCD,点E为侧棱PB的中点.

求证：

（1）PD//平面ACE;

（2）平面FAC丄平面PBD.

17.（本小题满分14分）

已知椭圆C:

22

x2y2=1（ab■0）上一点与两焦点构成的三角形的周长为4+2..3,

a2b2

离心率为

2

（1）求椭圆C的方程；

1

（2）设椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B，斜率为一的直线I与椭圆C交于P、

2

Q两点（点P在第一象限）•若四边形APBQ面积为.7，求直线I的方程.

18.（本小题满分16分）

2n

如图，某公园内有一个以0为圆心，半径为5百米，圆心角为~3■的扇形人工湖OAB,

0M、ON是分别由0A、0B延伸而成的两条观光道.为便于游客观光，公园的主管部门准

备在公园内增建三条观光道，其中一条与AB相切点F,且与0M、ON分别相交于C、D,

另两条是分别和湖岸0A、0B垂直的FG、FH（垂足均不与0重合）.

（1）求新增观光道FG、FH长度之和的最大值；

（2）在观光道0N段上距离0为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为

了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD的延长线不能进入以E为圆心，2.5

百米为半径的圆形E的区域内.则点D应选择在0与E之间的什么位置？

请说明理由.

19.（本小题满分16分）

已知数列｛an｝各项均不相同，ai=1,定义bn（k）"n•（-1）kan.k，其中n,

（1）若b

（1）=n，求a5;

（2）若bn+1（k）=2bn（k）对k=1,2均成立，数列｛an｝的前n项和为Sn.

（i）求数列｛an｝的通项公式；

（ii）若k,t€N*，且S,Sk—S1,St-Sk成等比数列，求k和t的值.

20.（本小题满分16分）

xInx

已知函数f（x）x,g（x）.

ex

（1）求f（x）的极大值；

K

⑵当a0时，不等式xg（x）乞ax恒成立，求一的最小值；

a

⑶是否存在实数kN，使得方程f（x）=（xT）g（x）在（k,k，1）上有唯一的根,

k€N*.

若存在,

求出所有k的值，若不存在，说明理由.

南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷

说明:

容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;

如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

所以、3sinB=cosB.

法一：

因为0：

：

：

B：

：

：

二，所以sinB=0，因而cosB=0.

所以tanB=

cosB

所以B=—

6

法二：

.3sinB-cosB=0即2sin（B）=0

6

所以Bk二（k•Z），因为0：

：

：

B：

：

：

-：

6

所以B.

6

（2）由正弦定理得-^―二

sinAsinC

而sinC=.3sinA,

12分

14分

由余弦定理b2=a2•c2—2accosB，得9二a2•c2-2accos—,

6

16.【解析】证明：

（1）连接0E.

因为O为正方形ABCD的对角线的交点，所以O为BD中点.

因为E为PB的中点，所以PD//OE.

又因为OE?

面ACE,PB/平面ACE,所以PD//平面ACE.

（2）在四棱锥P—ABCD中，

因为PC丄底面ABCD,BD?

面ABCD,所以BD丄PC.

因为O为正方形ABCD的对角线的交点，所以BD丄AC.

又PC、AC?

平面PAC,PCAAC=C,所以BD丄平面PAC.

因为BD?

平面PBD,

所以平面PAC丄平面PBD.

10分

12分

14分

6分

2分

4分

即a2•c2-3ac=9,②

把①代入②得a=3,c=3、.3.

解得a=2,c=■■、3,•••b=1•…2分

17.【解析】

（1）由题设得4+2■■一3，又

2

故椭圆C的方程为—y2=1.

1

（2）设直线|方程为：

y=—

m弋入椭圆C：

—y^1并整理得：

4

4

22

x2mx2m—2=0，

%+x2=-2m

设昭心（“），则］x1X2=2m2—2

2n

则FG+FH=5sin（"3-0）+5sin0

=5^^3cos0+*sin0+sin0）=5（|sin0+"^cos0）=5,3sin（9+才因为6<

（FG+FH）max=5,3.……

（2）以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.由

6分

题意，可知直线CD是以O为圆心，5为半径的圆O的切线，直线CD与圆E相离，且点O在直线CD下方，点E在直线CD上方.由OF=5,圆E的半径为2.5，因为圆O的方程为x2+y2=25,

圆E的方程为（x—15）2+y2=6.25,

设直线CD的方程为y=kx+1（—,30）,

代入②得

—15k—5k2+1

13分

>2.5,解得

即kx—y+1=0,设点D（xd,0）

又由一3

33k

tk2+1/11^3

在y=kx+t中，令y=0，解得xd=—=一—=5:

1+k2,所以一

15分

答：

（1）新增观光道FG、FH长度之和的最大值是53百米；10血

（2）点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间（二,10）（单位：

百米）内的

任何一点处.16分

19•解：

（1）因为bn

（1）=an-an1二n,

所以a1-a^1234=10,

所以a5=—9.4分

（2）（i）因为bn+1（k）=2bn（k）,

得an「（-1）kan「k=2（an•（-1）kank），

令k=1,an+-an七=2（an—an』,①

k=2,an1■an3=2（an■an2）,②6分

由①得an2-an3=2（an1-an2）,③

②+③得an2■an1=2（an1'an）,④

①+④得an1=2an,

又ai=1=0，所以数列和是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以an=2n」.10分

（ii）由（i）可知Sn=2n—1.

因为S1,Sk—S1,St—Sk成等比数列,

所以（Sk_S『=S1（St—Sk）,即（2^—2）2=2—2,12分

所以2t=（2k）2—32k+4，即2t—2=Q1）2-32k—2+1（*）.

由于Sk—S1^0,所以kz1,即k>2.

当k=2时，2t=8,得t=3.14分

当k>3时，由（*），得（2k—1）2—32k—2+1为奇数，

所以t—2=0，即t=2,代入（*）得22k—2—32k—2=0,即2k=3，此时k无正整数解.

综上，k=2,t=3.16分

1—X

20.

（1）f（x）—，令f（X）=0,得X=1.2分

e

当x1时，f（x）0,则f（x）在（-：

：

1）上单调递增，当x1时，f（x）■0，则f（x）

1

在（1,七）上单调递减，故当X=1时，f（x）的极大值为1.4分

e

（2）不等式xg（x）_axb恒成立，即Inx-ax-b_0恒成立，

1—ax

记m（x）=lnx-ax-b（x0），则m（x）（x0）,

X

1

当a0时，令m（x）=0，得x,6分

a

11

当x・（0,—）时，m（x）・0，此时m（x）单调递增，当x，（—，=）时，m（x）：

：

：

0，此

aa

、1

时m（x）单调递减，则m（x）max二m（-）=TnaT-b_0,即卩b$：

TnaT，…8分

a

blna1-lna1“lna

则，记n（a），则n（a）7（a0），令n（a0，得a=1

aaaa

当a（0,1）时，n（a）O此时n（a）单调递减，当a（1,：

：

）时，n（a）0,此时n（a）

单调递增，n（a）min=n

（1）=_1,故-的最小值为_1.10分

a

x（x1）lnx丄123ln2八

（3）记s（x）x，由s

（1）0,S2）2110,……12分

exee2

故存在k=1，使f（x）=（x1）g（x）在（1,2）上有零点，下面证明唯一性：

①当0：

：

x_1时，f（x）.0,（x1）g（x）:

:

:

0，故s（x）.0，s（x）=0在（0,1］上无解

14分

②当x1时，S（x）=_x二阮，而与：

：

0,x1_|nx0丄0,exex

此时s（x）：

：

：

0,s（x）单调递减,

16分

所以当k=1符合题意.

南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷

数学H（附加题）

注意事项：

1•附加题供选修物理的考生使用.

2.本试卷共40分，考试时间30分钟.

3.答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡•••上对应题

目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.

21.【选做题】本题A、B、C三小题，请选定其中两小题,.并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.［来源:

学

A.［选修4—2:

矩阵与变换］（本小题满分10分）

_a-11

已知矩阵a=」，其中a,b^R，若点P（1,1）在矩阵A的变换下得到的点R（1,4）

］b1一

（1）求实数a,b的值；

（2）求矩阵A的逆矩阵.

B.［选修4—4:

坐标系与参数方程］（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程是y=（t是参数），若以0为极

X=t

点，X轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线C的

极坐标方程为p二2.2（sin••-）•求直线I被曲线C截得的弦长.

4

C.［选修4—5:

不等式选讲］（本小题满分10分）

若x,y,z为实数，且x+2y+2z=6，求x2y2z2的最小值.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）

将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习.

（1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；

2）随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和数学期望E（X）.

23.（本小题满分10分）

设N*且n_4,集合M=「1,2,3」l|,J的所有3个元素的子集记为人,九,川，代「

（1）当n=4时，求集合a,A」H,AC3中所有元素之和S；

C2018

3Zm

（2）记mi为A（i=1,2」||,C3）中最小元素与最大元素之和，求丄_的值.

C3

2018

南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷

数学附加题参考答案

21.【选做题】本题A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答

p二2十；）即

p=2（sinJcos^）,两边同乘以「得肿=2（：

：

sinv「cos'）,

所以（X_1）2-（x-1）2=2,

圆心C到直线I的距离d」2二1—11=

J22+125

10分

所以弦长为AB=2,2-（2」5）2二2^0.

\55

C•解：

由柯西不等式，得

2222222

（xyz）（122）_（x2y2z）.

因为x2y2z=6，所以x2y2z2_4,

所以x2y2z2的最小值为4.10分

22.解：

（1）将4人安排四个公司中，共有44=256种不同放法.

记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A,

事件A共包含A^=24个基本事件，

所以pa24-,

25632

（2）方法1:

X的可能取值为0,1,2,3,4,

3481c!

^<33

px"乡唱,PX-1二上厂

42564

34

’、C4缰3『kC4

PX=3/石,PX二

464

』、8127丄27

EX=012

25664

方法2:

每个同学分到B

根据题意X〜B4,4,

L3丄1

十3汉一十4疋=1

12864256

公司的概率为P（B）#,P（B）=1#=3.

444

k44

所以P（X=k）=c4（^）（3）,k=0,1,2,34,

44

10分

所以X的分布列为：

X

0

1

2

3

4

P

81

27

27

3

1

256

64

128

64

256

所以X的数学期望为：

所以X的分布列为:

X|0

1

2

3

4

P

81

256

27

64

27

128

3

64

1

256

8分

所以X的数学期望为eX=41=1.10分

23.

（1）因为含元素1的子集有C3个，同理含2,3,4的子集也各有C3个，于是所求

元素之和为（1234）C；=30；3分

（2）集合M—1,2,3川|,n?

的所有3个元素的子集中：

以1为最小元素的子集有C2二个，以n为最大元素的子集有C2j个；

以2为最小元素的子集有C爲个，以n-1为最大元素的子集有C爲个；

以n-2为最小元素的子集有C；个，以3为最大元素的子集有C；个.5分

二Zmi=m+m2+川+mC3

i4n

222

=（n1）（CnACnN川C2）

-（n1）（cn」C爲川cfC；）

=（n1）（C：

1C：

2川C42C：

）

c3

二mi

i壬

10分

TH=（nTC；,

C2018

vmi

120181=2019.

C2018