《线性代数》同济大学第四版课后答案.docx
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《线性代数》同济大学第四版课后答案
线性代数同济大学第四版
课后答案
习题一
习题一1-5
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:
201
（1）1-4-1；
-183
abc
（2）bca\
cab
1111
（3）abc\
\a7b1c3]
xv:
v+y
（4）y.¥+>'x-
卞+VXV
（1）
—201解1—4—1
Pl83|
=2x（-4）x3+0x（-1）x（-1）+1x1x8
-Ox1x3-2x（-l）x8—1x（—4）x（—1）
=-24+8+16-4=-4*
（2）
□be解bcacab
-cicb十bac+cb（i—bbb—cici（i—ccc—3cibc~€^~护—启
（3）
111
解abc
a1b2c2
=加2十材十血2_@2_加2_肋2
-（a-b\b-c）（c-a）t
（4）
AV：
V十V
J■/
解VX十TJ
t+jvxy
333
二M工土y”土\呱工土v）十（十屮））％-.y-（5+.y）-x
=3.Ttr（.v+jJ—13-Vv-^-i‘一二‘
=-2（x3+y^）,
~2按白然数从小到大为标准次序.求下列各排列的逆序
数：
（1）1234;
（2）4132;
（3）342I;
（4）2413;
（5）13…（2«-1）24…伽）;
（6）13•…（2/f-l）（2h）（2h-2）…匕
（1）
解逆序数为0
（2）
解逆序数为4;4L4^42,32.
（3）
解逆序数为5F-32.31,42,41；
（4）
解逆序数为3:
21.41.43.
（5）
解逆序数为咛
32（1个）
52,54（2个）
72,74,76（3个）
（”1）2,0-1）4,0-1）&…，（加-1）（”2）（n-1个）
（6）
解逆序数为:
32（1个）
U54（2个）
（2/l1）2,（2?
l1）4?
（2/l1）6厂…，⑺（plI个）
42（1个）
62.64（2个）
（2n）29（2n）4,（刼）6,…,（2町（”2）（n-1个）
3.写出四阶行列式中含有因子G1O23的项.
網含医子如伽的项的一般形式为
（~1）乞11“2第3/如9
其中”是2和4构成的排列―这种排列共有两个.即24和42.所以含因子如他的项分别是
（一1）"。
1旳2的3刃44二（一1）咕11化刃说。
44二一"11门曲皿44，
（—1）0110尹如4尸（一1）咕11他护％。
4尸。
11他如如42・
3
4+
1
（-
X
O4
121
_-
-123
41110
--
O4—
-12IO
2021
O
--
O24
9017
工下列各行列式:
-7
11
100
2141
3-121
1232
5062
-123O
41100
11
4207
2021
19-51
411100
90117
10714
23
0200
4234
1-121
2
0202
4236
1-120
2315
1122
解
O
--
OFTOO42301-12O2310
⑴
（2）
ool^1±C-1ft-O（7-IOO
\17
1
-abacqq
-bee
解
bd-cdde
-acIf
b-ce
bfcf-ef
bc-e
—1
1
oolrf
0l+aba
—1
-1O
oo
oolrf
O1Q-1
11一o-
d-loo
-adfbcd1-11=^cibcdef
|11-1
（4）
[+aba0|G十帀G|l+如aad
=f?
Z>ce!
+eib+ce^d+1.
=（-n（-1）3+3
£
--o
2
da
--o也〃cl一一q丁一芦
/_v^+\cib-cP
（_1）b-a
b^-a1
2b-2a
二a）®—硏鉴。
=（1[
ax+bvciv+bzc/z+bx
■rUr
■7-44
XVz
C）
av+bzaz+bxctx+bv
rv
■J■>T
=0+胪）
\yzx
ifz+bxm+bym+bz
匚.Ty
证明
Vt\+byay+bzaz+bxr/v+fca二十bxctx+bv
JJ
r/s4-Zzxax-^bym*4-bz
ay+bz二
yzaz+bx
az+bxx
二xcvc+bv
■
ax+bvv
xyav+bz
xav+bzctz+b^
yav+bzaz+by
••
二a
vciz+bxcix+bv
ai
+b
—
ciz+bxax+bv
■
二ax+bvav+bz
V9F
X
cix+byciv+bz
XVz
■
VZX
-a3
■
VZX
•
+03
ZXV
zxy
xyz
•
XVz
xyz
-a3
VZ.X
1
+b3
yzx
r
二XV
二XV
•
*
=（^3+Z>3）vr.Y
二Xv
ci1（6/+1）2（Q+2）2（a+3）2
Z0+1）20+2）2@+3）2-1c2（c+l）2（c+2）2（c+3）2
©+o+g+D）—0_q）（。
_沖—"）
（1）@一口）二
芒PW0
iPd田（*）
pjqd■'7
IIIT
乙乙乙乙
一一
O
-C-L-c-C
\+PliP
【+兀戶二l+QZiQ~【+%田
£+Pc
（劃S3切七）苴義
$+4
£+兀£+兀£+広£+呢
1+兀
1+兀
【+%【+%
（母吃;?
一肋）
心P）壮+2）乙（£+0乙（£+功
&+P）
Q"）
4+P）山+2）点+g）盘+Q）
iP
乙Q
IIaa01OO142、
沁0i
1
II1
C—Qd—a
c（cla）dQ—A
C2（c2la2）d2（d2la2）
H（0—a）（c—Q）（Q—Q）
dca
B2（0+a）C2（c4-a）Q2（Q+a）
An—s（c—a）（67—a）
c—bd—b
c（clb）（c+0+a）d（dl3（d+b+d）
"（y）（！
）Q—a）（I）（d—9c（？
k+a）QQ+ra）
={xt-0）（67-c）（xt-3（0—c）（b—3（c—Q-（67+0+c+3
oo
oo
证明用数学归纳法证明.
当斫2时9Q二：
、二71二・W+"“+"29命题成立.
假设对于（》-1）阶行列式命题成立，即Dn~\—^1十5V32十….十a幷_2丫十為_[,
则2按第一列展开，有
-10…00
2=・丫2“+“（一1严1壬-1:
;;.°.°・
11•…*-1
=xE>”_i+a尸…-\-cin-\x+an.
因此.对于72阶行列式命题成立.
6・设”阶行列式Z）-det（6/v）?
把Q_L下翻转、或逆时针旋转
90。
、或依副对角线翻转.依次得
賓—1）
证明Z）.=Z）2=（-1）2D•Ds=D.
证明因为D=det（^）,所以
為•…岛
D严
尙•…心
"11…爲=（一iy-®i•…q二
rm
51
…%
…5
…G”
…轴
=（—1严（一1）_2
=（-]）l+2+W+dQ二（—1）2D・同理可证
n（n-l）
2二（TL
旳一1）
二（-l）h/7=（-1）^-D.
2=（—1）=%（T）F（TH-Q=（—1）如）D=Q・
7・计算下列各行列式为什阶行刃式）：
a1
（1）2二•・.,其中对角线上元素都是a、未写出的元素
1er
都是0;
a
0
0…
1
0
a
0•…
0
0
0
a•…
0
0
0
0•…
a
0
1
0
0•…
0
a
（按第77彳丁展开）
2
二（一1严
000…a0
a
十（一1）加・口・・.
a
（”一1）心一1）
3一1）心一1）
（”一2心一2）
aoo
000x-a
⑵2=
.ya・aax・・・a
■
•>
aa・・・x
二（一1严・（一1尸
解将第一行乘（-1）分别加到其余各行.得
再将各列都加到第一列上.得
丫+（〃_1）67a
二k+Oi）“e—加.
cf（a—1）”•…（c—呼厂严i（a—1严•…（c—“严
⑶％+i二
•••••••aa-\…a-n
11・・・1
1
此行列式为范德蒙德行列式.
刀（刀+1）
解根据第6题结果，有
11
…1
aa-1
••••••
…a-fi
•■••■•
tf*-1（a-1）M1
・・•（a-ri）n~[
ef
…（a-fi}1
M（"l）
g（-1）F
几1=（T）F口[@-Z十1）-@-丿十1）]
«±1＞2＞；＞1
Mh+1）
力（"1〉M十（n-M+J
=（—i）f・（一1）「—・no-7）
二口°一力・
（4）2二
a.S
°\d\
gbn
••
••
••
D沪兽；（按第1行展开）
%】b“\0
••
•■
0%乩
••
••
••
4b\
••
qA
qd、
••
•■
+（-严a
q4
••
■■
••
qi比-io
■■
••
4-i
oo4
6°
再按最后一行展开得递推公式
Z）沪％么7）加_2一必02«-2，即巧二（2皿-力佑）Z>2”_2于是刀2”二n（如一九）Q・
r=2
而2二£2二q%-也，
所以必二冇（如-如）.
/-I
（5）D=det（q从其中a^\i-j\,
0
1
1
0
2
1
•••n—l
…2
2二det©）二
2
3
1
2
0
1
…比一3
•••72—4
•••
n-1
•••
n-2
•••
n-3
•••
n-4
••••••
…0
—
-1
1
-1
-1
-1
1
—1
-1
-1
-1
•••
n-\
•・・•••・■・n-2az-3zz-4
11
1
1
1
1
■
0
"一12«~3
OO-2-2
000-2
2/z-42/7-5
0
0
0
0
•••
71-1
二（_iyT（4i）严◎
1+q1•…1
（6心
11+$•…1
其中口炖…禺工0・
••••••••••••
11•…1+q
0
«2
0
0a
…0
…0
…0
0
0
0
0
…一J
…0
1
0
0
…0
0
-1
1
0
…0
0
0
-1
1
…0
0
0
0
0
——1
1
0
0
0
…0
-1
1
0
0
…0
0
-1
1
0
…0
0
0
-1
1
…0
0
0
0
0
——1
1
000•••00
8.用克莱姆法则解下列方程组:
飞+乜+屯+"二5
再+22_屯+4*二一2■
2壬一3山一屯一5嘉二一2、
、3m+出+2乜+11"=0
^-2-3-1鸟二T42,
31211
5111
Q二M3=4二-142,D2=
01211
42
n
=
2-2
-1-12
1123
5-2-2O
12JI
23
=
2
3==
2,=込D
=
1A
=
DID
=
5.千+6.丫2=1
询+5^2+6.勺=0
（2）-.v2+5.v3+6.x4=0.
v3+5.i4+6.y5=0
l.r4+5x5=1
=-1145,
00065
00651
06510
IL
51000
25
16
26
-
5
6
6
II
00065
00651
06510
65100
51000
--
-
A
07
5
=1
00065
00651
06510
65100
ooo
mA鼻•
5
9
3
65100
5
1刀4=0
0
（）
=703,
00065
0065
un
65100
5100o
-
A
9
2
11
2
l=
CO
006510651065100
51000
=
A
3
70
5
6
6
-
4565
n6
075
15066
-
曲
9•问凡“取何值时.齐次线性方程组《
几"十・丫2十卞3二0卡+2“勺+・丫3=°
零解？
解系数行列式为
R11
D-1“1二“一“久・
12“1
令80,得
牛0或為1.
于是，当尸0或扫1时该齐次线性方程统有非零解.
I（1—几）甬一2x2—4占—0
10.问2取何值时.齐次线性方程组•站十（3-&）.y+—0再4-p+（l-z）.v3=0
有非零解?
（2
故
3
n
5
3丿
*
-7-49
63-7
32-4
解系数行列式为
=（1—沟'+（^-3）—4（1—沟―2〔1—咼〔一3—羽
-（1-疔一2（1-咼莓兄一3・
令Z得
社0,心2或社玉
于悬当^05^2或狂3吋，该齐次线性方程组有非零解.
习题二
求从21,Z2,Z3到XI.X2,X3的线性变换.
I-A-241-A-3+24
23-A1二21-几1
111一刀101-A
解由已知:
工已知两个线性变换
人必丿
X二_7召_化+9坷比二碍+3冷_7屯,已=女1+加2一处
（v\3i
bJ
E已知线性变换：
，屯二3”+乃+5旳,
"二切十：
旳十3耳
求从变量mm斗到变員八户」；的线性变换.
（221、
㈤
315
“3丿
W
Oirc
iO|
Trio
J丿
Izr
omi
g
ri
ri
■<
i
、
1<
o
x
IIg
r
r-K
―<
、
r-i
―i
・4
J
EZ9I+zlbr0Ilb
・l）6+n寸—AlIHF•耙弐也lrrn+n+n9—“疔
V.
fnY9二—0【丄
rl寸
V>
II
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II
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00\OO
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ClOZriri|
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77-
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7
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009O
To
<>
<>
f—HT—|
T"p
7」f4X7+3X2+1X1
L"5X7+7X2+0X1
彌（」23）2A1X3+2乂2+3xlY（ls・
2」f2x（—D2X21（—12V7（—1）X2
3、Ux（—D3x2
、
II
/
6
、
3
5
•
¥
AAA
32i
34
4-O
_J丿—
4iOi
解
\a\3a23他3人屯丿
二（口11*1十。
12弋十口1亦3。
12卞1十他宾2十化软36尹1十"2芬2十殆芬3）E
H丿
5.设4=（；]}鸟二（；另，问：
（1）溉B4吗？
（2）U+5）W+14£+£2吗刁
G）（4+B）C4-閔二才-护吗？
（1）
解AB^BA
因为AB-?
f4BA=1q\所以ABmB/L
（46/（38/
（2）
解（A+By^£+2AB+B\
因为5
2}_（8⑷
—1429丿
疋+2血+於二卩
811
O5
--■
xhljz
64
所以（?
1七3）a4+2/lff+5.
解（4+^）
因为4-肛月,
（E）（Z）电訓i用而4叫汁H；沪筒故（4eB）（4-b）H且2_炉.
6.举反列说明下列命题是错误的：
⑴若屮二0,则.4二0:
解取4二（$J1贝'J^O,但冷0・
（2）若才二儿则月二0或缶忌
解取月二qq,贝fJA^—A^但月工0且月工£
（3）若A^=AK且缶0,则-壮卩・
则.4X=AY.且月工0、但“炉八
7.设吗；n求曲臺龙
O1
1A
O1
12
/\
--
2
解
--月
2
--
3
月
1触
zrI
-
12
‘2
0、
0
2
1
Zz
丿
1求屮.
解首先观察
（X1OVA1
A2=
v00久八00
p322
a3=a^a=0/
I00
p423
左=才•力二0Z4
00
5z4
A5
0
o）p2
3石
3力，弟丿
6鬥
4/39
才）
/
10鬥
5力,
25
2z
22
0
22
/尢斥严1石（'一1）老-2
0才协T
00才
9.设.4』为〃阶矩阵，巨丄为对称矩阵，证明B?
AB也是对称矩阵.
证明已知:
“4匚4则（B^y二M（Ma）t二㈣朋二Mae・从而於d也是对称矩阵.I
10.设4B都是〃阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必耍条件是也-氏1・
证明由已知:
At=A9bt=b.
充分性:
A5二B4ms二B少J也二（/*）,即曲是对称矩阵.
必要性:
（拡）匚血二＞鸟?
4jPnB44B・
7UI
11・求下列矩阵的逆矩阵:
A-\\打・円|-19故才1存在.因为
C3丿
（2）
cos/9一wm〃'sin〃cos".
解P鴛j-円十°,故『存在•因为
cogOsmO'
-smOco©
所以
（cos/7smO'
~^-smOcosO
12-1
（3）34-2、5—417
（41為］禺］（-420、
"=血血A32=-136-1
U13A23堆JI一3214-2）
所以
—210、
C7
1-167-1,
、
0
（W2…m工0）・
%
解、由对角矩阵的性质知
0・
IG丿
a-[=
12.解下列矩阵方程:
20
fV
一一
\—7
3O-
-13
11
丿
O11
42
rfl
-101
11-1
2）
-13
-13
2-3
1-
r1H
--
14
zr\\
1-3
--
28一3
--
--
3
--
3
11
—1
-
—1
-
I
1L
-
310
0-2
MVoly
loo
1o
--
--
31』
loo
3-1
-40
loo
⑷
roio、
100
fl00、
001
—
厂1-43、
20-1
■
Io01,
<010丿
、1-207
13.利用逆矩阵解下列线性方程组:
韦+2丫2+3七二1
（1）-2半+生+5七二2;
、3工1+九+・丫3二3
解方程组可表示为
225
_一
n2巧
5v
225
lo.o
一一-=
（[）•2.y-工2-3-\彳=1・
3A|+2.x2-5.x3=0
方程组可表示为
<1213
210zzrLx
35
14.设才=O彷为正整数）.证明（£-月尸二E+丄七」2+…七4卜〔证明因为才=O,所以E-屆E・又因为
E-Ak=（E~A）（E+A+^+--•+4^1）,所以0-七4牛.・+才-1）=呂由定理2推论知（E-4）可逆，且
（E—A）1=£+/1+才+*••~L4上\
—15.设方阵/满足A2-A-2E=a证明/及AV2E都可逆，并求屮及（月十2矿・
证明由^-A-2ErO得
^-A=2E,即A（A-E）=2E,
或A^（A-E）=E,
由定理2推论知/可逆，且屮二加-£）・
a
由才-Z-2民O得
才-A~6£^-4E9即3+2_£）（/4-3£）二—4艮
或（A+2£）^（3E-A）=£
由定理2推论知（A+2E）可逆，且3+2QT二衣3£-力）・
4
16.设.4为3阶矩阵、L华'求|（24尸-5屮|・
因为二
|（24尸-5X*冃昇—-5M匸時"—討】|=|—24-乍（—2）*T|=—8«1二—8x2=—16.
—17.设矩阵』可逆，证明其伴随阵也可逆.且（,4*）丄（f严
证明
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