曾谨言量子力学习题解答第八章.docx
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曾谨言量子力学习题解答第八章
曾谨言量子力学习题解答第八章
曾谨言量子力学习题解答
第八章：
自旋
x表象中，求x的本征态在
（解）设泡利算符，x，的共同本征函数组是：
x1sz和x
2
1
2
2
sz
（1）
x的本征函数，但它们构成一个完整或者简单地记作和，因为这两个波函数并不是
x的本征函数可表系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），
示：
c1c2
（2）
x的本征值，则x的本征方程式是：
c1,c2待定常数，又设
x（3）
将
（2）代入（3）：
xc1c2c1c2（4）
z表象基矢的运算法则是：
x对根据本章问题6（P．264），
xx
x的本征矢
（2）是归一花的，将（5）代入（4）此外又假设：
c1c1c1c2
比较,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：
c1c2（6a）
c2c1（6b）
c2c21（6c）
21
前二式得1，即1，或1
当时1，代入（6a）得c1c2,再代入（6c），得：
c1
2
12
eic2
12
ei
曾谨言量子力学习题解答
是任意的相位因子。
当时1，代入（6a）得
c1c2
代入（6c），得：
c1
12
eic2
12
ei
x的本征函数：
最后得
x1
ei2ei（）对应本征值1
x2
（）对应本征值-1
2
x共同表象中，采用sz作自变量时，既是坐标表以上是利用寻常的波函数表示法，但在
象，同时又是角动量表象。
可用矩阵表示算符和本征矢。
c110
（7）
01c2
x的矩阵已证明是
01x
10
x的矩阵式本征方程式是：
因此
c101c1c（8）c0122
x本征矢的矩阵形式是：
其余步骤与坐标表象的方法相同，ei1ei1
x11x21
22
在z表象中，求n的本征态，n（sin
cos,sinsin,cos）是（,）
方向的单位矢。
（解）方法类似前题，设n算符的本征矢是：
xc1c2
（1）
曾谨言量子力学习题解答
它的本征值是。
又将题给的算符展开：
xsinsinycosz
（2）nsincos
ycoszc1c2c1c2（3）sinsin
2
写出本征方程式：
sincos
x
y对z的共同本征矢，，运算法则是x,根据问题（6）的结论，x
x，yi，，
z，z（4）yi，
将这些代入（3），集项后，对此两边，的系数：
cosc1（sincosisinsin）c1
（5）
（sincosisinsin）cosc2c2
（cos）c1sineic20
或（6）i
sinec1（cos）c20
（6）具有非平凡解（平凡解c10，c20）条件是久期方程式为零，即
cossinei
sinei
cos
0它的解21（7）
1时，代入（6）得：
c2tg
2
eic1（8）
2
2
（1）的归一化条件是：
c1将（8）代入（9），得：
c1e
i（）
c2
1
cosc2eisin
22
归一化本征函数是：
1eieicossin（10）
2
2
1时，c1,c2的关系是：
c2ctg
2
eic1
归一化本征函数是：
曾谨言量子力学习题解答
2eieisincos（11）
2
2
是任意的相位因子。
本题用矩阵方程式求解：
运用矩阵算符：
010i10
x，yi0，z01（12）
10
cosni
sine
本征方程式是：
sinei
（13）
cos
cossineic2c2（14）i
esincosc2c2
n的本征矢是：
i（）i（）
ecossin2e21,（15）2iisinecose
22
补白：
本征矢包含一个不定的相位因式e，由于可以取任意值，因此1,2的形
式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。
在自旋态下1（sz），求sx和sy
22
2
i
10
22
x的均方偏差（解）sx是s
sxsx（sx）
22
y是，s的均方偏差sy
2
2
2
sysy（sy）
222
2
1（sz）s1（sz）
422
2
x
2
1（sz）s1（sz）s
422
2
x
2x
曾谨言量子力学习题解答
x1（sz）1（sz）1（sz）sx1（sz）s
22
222
1（sz）1（sz）0
22
2
2
y对称，因而x,s在1（sz）态下，s因此s
42
2
x
2
s
4
2y
j2和jz的可能测值。
求在下列状态下
（1）1
1（sz）11（,）
（1）
2
（2）2
12（s）（,）（s）（,）
（2）1z101z11
22
1
（3）31（sz）11（,）21（sz）10（,）（3）
22
（4）4
1（sz）11（,）（4）
2
（解）依§8.2总角动量理论，若电子的轨道运动的态用量子数l,m表示，在考虑到自
2,j2,jz）共同表象，则电子的态可有四种；若lm，有以下二态：
旋的情形下，若用（l
lm1
l,m（,）121l（5）jl,（,,sz）
2lm
（,）l,m12l1lm
l,m（,）1l21（6）jl,（,,sz）
2lm1
（,）l,m12l1
若lm，有以下的二态：
l,l（,）1
jl,（,,sz）（7）
02
jl
01
（,,sz）（8）
（,）2l,l
曾谨言量子力学习题解答
将题给的态和一般公式对照，发现
（1）
（2）（3）式与（7）（5）（6）（8）式相当，总角动量
jz可能测值如下：
j2，总角动量分量算符平方算符
状态
数值算符
（1）
（2）
（3）
（4）
的量子数3/2的量子数1/2
3/2-1/2
3/2-3/2
ll
（1），l1l，1令llll
2l12l1
证明：
lljmj
ljmj00ljmj
lljmj
1
（jl21
（jl）
21
（jl21
（jl）
2
是两个带有相加的常数分子的算符,（证明）本题的ll
xlxylyzlzl
根据总角动量理论内，前两算符可变形如下：
111l1222s（）
（1）ljll***-*****llll1111
（2）2）（lj2l2sl
2l12l12l12l1
2,j2共同本征态），首先，假设lm，试将
（1）式运算于合成角动量的本征态ljmj（l
对于jl
1
有：
2
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al,ml*****jls（）lljmj
ll2121bl,m13aljjll
（1）
（1）
（1）l,m
14
32l1
b（l1）j（j1）l（l1）l,m14
331
allllll
（1）（）
（1）l,m1224（3）
1332l1
b（l1）l（l）（ll（l1）l,m12241（2l1）al,m
2l1（2l1）bl,m1ljmj
式中a
lm1
；b2l1lm
。
2l1
其次，可对于jl
1
的本征态计算：
2
bYl,m1l1222）}（jlsll,j,m,j{
2l12l1aYl,m1
113
{1（）
（1）blllllYl,m122401132l1a{l1（lll（l1）Y
l,m1
224
又因为ll1，所以
ll,j,m,j（1l）l,j,m,j
1
（jj）02
1l,j,m,j（jl）2
一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。
证明自旋轨道耦合作用（）s。
L对
能量无贡献。
[解]、整个原子的角动量看作每一个电子角动量矢量和，此外每一电子角动量又包括轨道运动和自旋。
（1）Jj1j2,Ll1l2,Ss1s2,j1l1s1,j2l2s2
整个体系的哈氏算符是：
HH0（）LS（此式中r是电子相对位矢）
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将自旋轨道相互作用算符用角动量算符表示，由于：
JLS
222J（LS）（LS）LS2LS2）H1（）（J2L2SH0
2
（2）
J,J）的共同本征函数原子的状态可以用（L，运算于这个ZL,J,JZ表示，将算符
（2）
2
2
本征函数，可以求的能量贡献（修正量）
2}}1（）{J2L2S{HH0L,J,JZL,J,JZ
2
1H（）{J（J1）2L（L1）2S（S1）2}L,J,JZ
0L,J,JZ
2
（3）
但当原子处在自旋的单重态时，
S1S2,S0
总自旋量子数s=0，有从
（1）式的关系看出
Jj1j2l1s1l2s2l1l2L
因此J=L，（3）式成为：
HL,J,JZH0L,J,JZ
所以，轨道自旋的耦合作用对能量本征值没有影响，因H0不含SL
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设两个自旋为
1
的粒子的相互作用为：
2
V（r）VO（r）VT（r）S12第一项为中心力，第二项为张量力的证明：
2
不2和S2及总的z向分角动量J均为守恒量，但L
（1）宇称л、总自旋S、总角动量J
是守恒量。
（2）在自旋单态下，张量力为零。
（解）题中张量力（本章中问题13.P283）如下：
2
3（1r1）（2r2）6（Sr）2
（1）S12（）2S12
r2r2
但rr1r2。
（前一公式的来源不在本题中讨论）
（1）（a）宇称：
体系的哈密顿算符包括两粒子的能量和势能
6SrppHVO（r）VTr22S2
（2）
2122
r
2
1
22
按§5．3（P。
176）一体系若具有空间反射不交性，则其宇称是守恒的，即
*
]0（3）,H[
在本题的情形，这条件是成立的，注意，粒子的动能可能梯度表示。
（2）式用坐标显示为：
222
1（H
21x12y12z12
6[S（r1r2）]2
2}2SVO（r1r2）VT（r1r22
r1r2
当参考系发生空间反射时，
x1x1,x2x2,y1y1,y2y2,z1z1,z2z2,r1r2r2r1。
但
222（222
22x2y2z2
1
（4）
r1r2不变，此外总的自旋角动量S依赖与自旋坐标sz1和sz2，与空间坐标r1,r2无关，因
2
而S,[S（r1r2）]也不随空间反射而变更，又因为22
22
x1（x1）
等，所以动能部分也不随反射而变化，所以（4）式整个不随反射变化，若（r1,r2,sz1,sz2）是
曾谨言量子力学习题解答
任意函数，我们有：
HH
]0,,H是守恒量即[
：
（b）总自旋平方算符S
2
2
2自旋和一切轨道运动的量都能对易，只需检验S与（Sr）的对易性：
2
2（xx）S2（yy）S2（zz）（Sr）Sx12y12z12
S2Sxy（x1x2）（y1y2）S2Syz（y1y2）（z1z2）S2SZX（z1z2）（x1x2）
S]0等，因此有：
S]0等，又[S因[SxX
2
2
2
2,H]0（6）[S：
（c）总角动量分量JZ
与轨道运动部分的诸力学算符相对易，总角动量分量J这在第六章中心力场和第四章§Z与H的势能部分的对易性就足够。
4.1都有过讨论，只需证明JZ
ls1zs2z又JzLzSzl1z2z
与一切与r有关的算符对易只与角度有关，与相对矢径rr1r2无关，所以JZ
H][J,V（r）][JZZ
],V（r）V（r）S[JZoT12
],V（r）S[JZT12
2
2}],V（r6（Sr）2S[JZT
r2
（r）26VT[JZ,（Sr）]2r
2
2VT（r）{JZ,S}
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222
[JZ（Sr）]JZ（Sr）（Sr）JZ
2JZ（Sr）（Sr）JZ（Sr）（Sr）JZ
（7）（Sr）[J（Sr2
）JZ
Z,（Sr）]（Sr）（Sr）[JZ,（Sr）]
最后一式说明，[J）2]归结为较简单的[JZ,（Sr
Z,（Sr）]的运算[JrZ,（S）][LzSz,Sx（x1x2）Sy（y1y2）
Sz（z1z2）]
[Lz,x1x2]Sx[Lz,y1y2]Sy
[Lz,z1z2]Sz[Sz,Sx]（x1x2
）[S
z
Sy
]（x1
x2
）再注意到：
[Lz,x1x2][l1zl2z,x1x2
][l1z,x1][l
2z,x2]
运用两个业已证明过的对易式（第四章）
[l,x]ix
[S,S]iS[JSr
z,（）][l1z,x1]Sx[l2z,x2]Sx[l1z
y1
]S
y
[l2z
y2
]Sy
[Sz,Sx]（x1x2）[Sz,Sy]（y1y2
）i（y1y2）Sxi（x1x2）Syi（x1x2）Sy
i（y1y2）Sx
0将此结果代入（7）式，得到
[J2
z,（Sr）]0
所以最终得到：
[Jz,H]0（Jz
是守恒量）（d）总角动量平方J
2：
前一步骤出发，再计算J2z与（Sr）的对易关系
[J2z,（Sr）]J2z（Sr）（Sr）J2J2z（Sr）Jz
z（Sr）JzJ（Srz）Jz（S2Jz[J
r）Jz
z,（Sr）][Jz,（Sr）]Jz
（8）9）10）
（（
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现在将（8）代入（10），立即又有
2[Jz,（Sr）]0
我们在（c）一小题中计算[Jz,（Sr）]时全部用了直角座标，因此座标
x1y1z1,x2y2z2有轮换的对称，（10）式也是如此，因而应该也有下式：
22[Jx,（Sr）]0,[Jy,（Sr）]0（11）
将（10）和（11）的两式相加，得
2222[JxJyJz,（Sr）][J,（Sr）]0（12）
从而也得到交换式
2是守恒量）2,H]0（J[J
2（e）L,S这两算符不能是守恒量，因为它们不和（Sr）对易。
（2）最后证明，在双电子体系的单态中，张量力等于零。
设第一电子的态用
（1）,
（1）表示，第二电子用
（2）,
（2）表示，在单态的情形，体系总自旋的本征值S=0，自旋波函数是反对称的，写作
{
（1）
（2）
（1）
（2）}/2（13）
在此态中求张量力势能算符的平均值，这计算式只有一项
6（Sr）2]}（14）2S*{VT（r）[r2
将此式分别计算
1
*（Sr）{
（1）
（2）
（1）
（2）}{（x1x2）（1x2x）（y1y2）（1y2y）
2
（z1z2）（1z2z）}{
（1）
（2）
（1）
（2）}
22x..........而运算于1x,1y,1z等只能运算与，
（1）,
（1）；在以上运算式中，
（2）,
（2），再注意到
x,x;yi,
yi;z,z
前式成为：
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{
（1）
（2）
（1）
（2）}{（x1x2）[
（1）
（2）4
（1）
（2）
（1）
（2）
（1）
（2）]（y1y2）[
（1）
（2）i
（1）
（2）i
（1）
（2）i
（1）
（2）i]
（z1z2）[
（1）
（2）
（1）
（2）
（1）
（2）
（1）
（2）]}0
又
*S2*S（S1）*0（01）0
（S是总自旋量子数）
将以上两部分计算结果代入（14），知道0。
自旋为s的两个粒子所具有的，对称和反对称的自旋波函数各有几个？
s
13
s22
情况下，对称和反对称自旋态各有几个？
[解]自旋为s指的是自旋角量子数是s（它和轨道运动中的l相当），在轨道运动中，角量子数给定后（l）,角动量z分量的本征值m有2l+1种不同值：
ml,（l1）,........,0,.........（l1）,l
推广到自旋的情形若自旋自旋角量子数（不一定是1/2，例如原子核的自旋）则自旋磁量子数有2s+1种值
mss,.......s
但s可以是整数，也可以是半整数。
自旋的不同态用ms来区别，第一电子的自旋波记作xms（sz1）或xms
（1），第二电子的自旋波函数记作ms（sz2）或ms
（2）ms,ms是（s,s1,.........s1,s）
中任意两个。
描写两电子体系的波函数是个别电子波函数的相乘积或其线性式，根据§8.4的理论，
S的本征态，只有三种形式的归一化波函数：
要使体系的波函数成为总自旋SZ
2
（1）
ms
（1）ms
（2）计算2s+1种
12
[ms
（1）ms
（2）ms
（2）ms
（1）]
（2s1）2s
种。
2
（2）
这种波函数种数等于2s+1文字中选择不同文字的种数计有以上二类对称自旋波函数的总数目n=（2s+1）+（2s+1）s=（2s+1）（s+1）
曾谨言量子力学习题解答
（3）
12
[ms
（1）ms
（2）ms
（2）ms
（1）]
（2s1）2s
种。
自旋角量子数2
这种波函数还是反对称的，波函数总数目和
（2）相同，计有s指定时，可能的合成自旋波函数的总数目有：
n2s1（2s1）s（2s1）（2s1）2
证明，[,a]2ia，a是与
对易的矢量算符。
（证明）待证一式是矢量的对易式，应当分别对它的x,y,z分量进行计算：
[,a]2ia
的x分量式：
[x,axxayyazz]2i（a
yzazy）用矩阵式来证明：
[01az
axiayaxiayx,axxayyazz]
10axiayaazzaxiay
a0z
1
axiay
azaxiayazaz
axiayazaxiay
2iay2az
ayazi2i2az2iay
aziay2i100ia
yaz2i{yzazy}2i（a）x01a
i0
关于a
y,z也照此方式计算，因xyz无轮换对称，应分别计算其结果。
另一种证明方式是用矢量式矩阵：
kiij
iijk
1
0
曾谨言量子力学习题解答
aiaaaiaakiijkiijzxyzxy
[,a]
azazkkaxiayaxiayiijiij
（iij）（axiay）（iij）（axiay）xiay）2（iij）ax2k（a
xiay）xiay）（iij）（axiay）2（iij）ax2k（a（iij）（a
ayiaxj（azjayk）i（axkazi）
2i
（azjayk）i（axkazi）ayiaxj
[（ayzazy）i（azxaxz）j（axyayx）k]2i
2i（a）
证明：
（1）e
ji
jSin（jx,y,z）CosiSinCosi
（2）e
i
其中
矢量与σ对易,θ表示θ方向的单位矢量。
（证）
2j1（j=x,y,z）
240jjj1
（1）
j35jjj
j）n（i2435
je｝Ii{}1
（1）n！
3!
5!
2!
4!
n
jsincosi
ji
（2）e
i
n（i）
n!
n
z
xxyyzz
xiy
xiy
z
z
2
（）
x1iy
xiy
z
x1iy
zxiy
z
x2y2z20
2I
x2y2z20
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因此的性质与j相同：
242n242n（）,（）（）32n122n（）（）（）（）
代入
（2）式即得到待证明的结果。
证明（A）AA（A）iA,A是与对易的任何矢量算符。
（证明）这是矢量关系式，可先证明x分量
）Ai（Ax（xAyAzAxyzxyzAzy）
2A
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