试用简并理论计算能量一级修正。
（解）见附图，若取势场为中心对称的无限深势阱，则题给的周期性条件和能量本征函都能满足，原点0取在势阱中点，此点上微扰H’有最大值。
无微扰时，能量的本征值
（1）
但
由于同一能级（n一定）可以有两个不同的本征函数
因此对于k的任何值（n任何值）简并度都是2。
按照简并微扰论，要计算微扰矩阵元：
又
根据题意：
（2）
前式中的积分限（，）被扩充到（，）是因为在势阱外波函数为零，用定积分公式：
（3）
于是，得：
（4）
同理计算其它矩阵元：
积分中的被积函数是x的奇函数，又积分限又是等值异号的，所以有：
（5）
（6）
本题正确的零级波函数写作：
代入总的能量算符的本征方程式，设是本征方程值，则满足久期方程式：
所求一阶能量修正值：
本题的波数k和量子数n的关系亦可作（与课本一致）
[7]在一维无限深势阱
中运动的粒子，受到微扰的作用
讨论粒子在空间几率分布的改变。
（解）一维无限深势阱的波函数的形式与所选择的参考系的原点有密切关系，若选取势阱一端作为原点则能量的本征函数可以是形式简单的，作如此选择时，若无微扰，则能量的本征函数：
（k=1,2,3,……）
（1）
能量的本征值：
（2）
本题主要计算本征函数的近似值，计算微扰距阵元：
（3）
最后一式的值与k,n的奇偶有关，但要注意到，k+n与k-n=（k+n）-2n的奇偶性是相同的，此外，若设p是个任意整数（奇偶不论），则有：
因此（3）式可归成二种情形
（1）若k+n=奇数，令k+n=2p+1，则有
因此
若k+n=奇数，有
（4）
若k+n=偶数，显然有（5）
无简并的微扰中，波函数一级修正量是：
其中（6）
考虑到（4）（5）的结果，连同（6）式代入的公式，得最后结果为两个无穷级数如下：
k为奇数时
k为偶数时
[8]类氢离子中，电子与原子核的库仑作用为：
[Ze为核电荷]
当核电荷增加e[ZàZ+1]，互相作用能增加，试用微扰论计算它对能量的一级修正，并与严格解比较。
[解]不论是基态还是激发态，曾在第六章习题九中证明过，在类氢原子的任何态中矢径倒数的平均值是：
（a玻尔半径）
（1）
若将当作微扰而求能量一级修正，则
（２）
若求严格解，可以利用能级公式
（3）
将
（1）与（3）比较：
知道一级近似值的误差是
[9]一个粒子在二维无限深势阱
中运动，设加上微扰求基态及第一激发态的能量修正。
[解]二维无限深势阱的定解与一维相类似，因为x,y方向运动是独立的，能量的零级本征函数是两个一维无限深势阱波函数乘积：
式中是指波数，阱壁的约束条件即周期性边界条件是：
因而零级本征函数可用m,n表示：
（1）
粒子总能量则可设
，，
或
（2）
可见波函数是高度简并的（L.Pauling.E.BWilson;IntroductiontoQuantumMechanics1951.P98~P100）,本题不讨论其简并度的公式。
但基态（m=1，n=1能级最低的二维运动）是没有简并的。
（基态能量一级修正量）；
这时
（3）
利用定积分公式：
（4）
或者：
（5）
代入（3）
（第一激发态一级能量修正量）：
第一激发能态是指m=1,n=2,和m=2,n=1的二重简并态，这时的简并能级是：
（6）
简并的能量本征函数有二个：
我们用简并态微扰法求能级，设有微扰后的零能级本征函数是
代入有微扰的能量本征方程式：
约去相等项，利用的正交归一性，可得的线形方程组：
由两式得到非平凡解的条件：
（9）
现在分别计算所需的矩阵元；积分公式可以用（4）或者（5）
（10）
（11）
代入久期方程式（9）得到：
（12）
零级波函数的决定可以用先代入方程式（7）或（8），伴同正交归一化条件
可求得，
再用代入（8），伴同可求得，。
[10]处于基态的氢原子，受到沿着z方向的均匀电场的作用（）若不计及自旋，而哈密顿量为
其中看成微扰，验证基态的一级近似波函数是：
（1）
（是玻尔半径，利用此结果求出能量的二级修正为，从而求出氢原子的极化率。
（解）本题的目的不是用无简并微扰法去导出题给的波函数的一级近似式，是直接的验算题，即检验一级近似波函数是否满足的本征方程式：
（2）
E是考虑微扰时的，包括一级修正值在内的能量本征值。
设。
其中
又设，其中：
（5）
（6）
将（3）à（6）代入
（2）的等号的左方，得到：
（7）
此式中的第四项是二阶微量（λ为一阶），故可忽去，简化和展开（7）式中的前面三项：
因为在不考虑微扰时，是的本征函数，其本征值是基态能量，因而
（8）
第二项（9）
第三项的展开式中，需要将无微扰哈密顿算符的显式（3）运算于（6）式所表示的波函数的一级修正量上面，（5）式中角动量平方的显式是：
（10）
最后一式中运用了计算
要将前式简化，应注意玻尔半径和电荷e的关系：
因而有
将（8）（9）和（11）诸式相加，得：
基态能量的一级修正量是
因此也是包括一级修正的能量本征值，例题得证。
（二级能量修正值）：
在本题中已预见先给出了波函数的一级修正量，因为基态是无简并的，按照微扰法原理、一阶波函修正值来自公式
但
题中给定的是（12）未知后的结果，因为个别不知道，所以有能按公式
求得二阶能量修正，但是由于是知道的，所以可以根据来求得，方法如下，设
将它代入有微分扰H’在内的能量本征方程式，并设H’=λW'
对比的系数，并注意到，都是正交归一化的（因后者是前者线性式）
左乘，积分：
（13）
这样我们得到个简单的二级能量修正量公式，将（4），（6）二式代入（13）：
利用积分公式：
于前一式经简化后，有
（14）
按照原子电偶极矩Dx的定义，它是用统计方法计算的单位体积中原子被电场形成的电矩的总和
利用（13）（14）
（原子极化系数）
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[11]设氢原子处于n=3的态，求它的斯塔克分裂。
（解）氢原子处在n=3的态上时，波函数的简并度是，简并的波函数可以用角量子数和磁量子数m加以编号。
为了计算能量的一级修正值，需要用无微扰的简并波函数来构成微扰的矩阵，因此这组简并波函数要采用一定的排列法。
排列法有多种，按下述原则排列运算较方便：
“将磁量子数m相同的函数集成一组，这样可得5组（m=2,1,0,-1,-2）各组按m值自大而小排列。
在每一组中按的值自大而小排列（=2，1，0），结果如下：
（1）
每一波函数的形式是：
（2）
与n=3有关的共有三个，有九个，相同的函数可以相乘组合成一个，九种波函数的显式如下：
（式中，a玻尔半径）
（4）
（5）
这里的显式可以从数学手册或数学物理方法课本查到，但具体计算中实际上用不着显式，不予写出。
根据简并的微扰论，考虑微扰后，原来能级分裂，简并部分或全部消失，原来的能级是：
（6）
加上微扰，可令，则正确到一级修正值的近似能级是：
（7）
修正量在简并完全消失时有9个不同值，决定于行列式方程（即久期方程式）：
（8）
见课本§9.2。
P311）式中W的指标是二组三个文字，其意义很明白，因此要建立这个行列式主要是计算矩阵元W，它的计算式如下：
很清楚，W的计算的分成与r有关积分，以及与角度有关积分二部分，可分开进行计算。
关于角度积分可以利用下一恒等式（本章题3用过）
（9）式中以r有关的积分一般不会是0，但与角度有关积分则在许多条件下可以是零，现在考察：
什么
（a）若m'≠m,因为
因此（9）第二积分中含有：
因而得到
（b）若，则可以使用（10）式中（9）的第二个积分，由于诸是正交归一化的，所以（9）的第二个积分简化为：
从这个式子又知道，当m’=m时若又有，则此积分为零，相应的矩阵元也是零即
（c）若m’=m,但或，则（12）可知：
（但）（14）
（d）若m’=m,或，这时矩阵元不为零，而由下面二式来计算：
（15）
（16）
根据以上四点我们能判定行列方程式（8）中各个行列元素（矩阵元素）的性质，为此可写下一个9×9的行列式表格方程式，在行列式最高一行注明按
（1）式排列的诸波函数（可省去部分），在行列式最左一列依顺序写下复共轭函数，在两个函数和行列交叉之处写下矩阵元，得下图形状
由于矩阵元在行列式中的排列是按
（1）
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