量子力学曾谨言习题解答第八章docxWord下载.docx
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dv0=ia
a,a=a
（4）
将这些代入（3）,集项后，对此两边
0的系数:
cos3c}+（sin0cos（p^isinOsincp）=Act（sin0cos©
+isin&
sin（p）一cos3c2=2c2
（5）
（cos0一2）C]+sin0e~,<
p-c2=0
sin0e,（p•c〕一（cos0+A）c2=0
（6）
（6）具有非平凡解（平凡解c,=0,c2=0）条件是久期方程式为零，即
cos0-Asin為"
sin&
，'
-cos0-A
0它的解才=1
2=1时,
（1）
代入（6）得：
i（p
C?
=壊亍5
的归-•化条件是：
2+14
将（8）
代入（9）,得:
c=严®
cos—
12
5=eiSsin-
2
归一化木征函数是:
-：
Z>
Z1
严cos-6z+sin-/?
22
A=—1时，cpc2的关系是:
C2…岭-J
归一化本征函数是：
5是任意的相位因子。
木题用矩阵方程式求解：
运用矩阵算符:
__cos<
9sin鬼"
a-n=
sin3e,<
p-cos。
本征方程式是：
cos。
sin6k*
C2
=A
~c2~
sin6ei（p
一cos〃
C2_
5*2_
厅昉的木征矢是:
■■ei（（s—（p）
COS—0'
■■sin冬g
2=
•&
i3
018
sin—€
一cos—£
L2J
（13）
（14）
（15）
「or
A
_0-i
八
~l0~
tcrv=
6=
10
_i0
z
_0-1
补口：
木征矢包含一个不定的相位因式山于5可以取任意值，因此％，龙2的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。
求山：
和As；
（解）心:
是补的均方偏差
山；
是，煮的均方偏差
A$mc）2
粘也）弓力3）
——护
224
（2）
02
6）比0（〃,0）+力」
（二）百（00）
力
孔1（^）
2222
方
=-ztO\）z1（^）=0
25~2
力2
因此山；
=—在力1（鼻）态下，Sx,Sy对称,因而
47
若I=m,有以卜•的二态:
⑶必二右（&
0）+屁」（匚）百（&
0）
⑷04=力g）Y].]（0,0）
（解）依§
2总角动量理论，若电子的轨道运动的态用量子数（/，加）表示，在考虑到口
旋的情形下，若用（/J2J.）共同表象，则电子的态可冇四种；
若l>
m,冇以下二态:
©
将题给的态和一般公式对照，发现
（1）
（2）（3）式与（7）（5）（6）（8）式相当，总角动量
平方算符J2，总角动虽分量算符7可能测值如下：
状态数值算符
（3）
的量子数
3/2
1/2
-1/2
-3/2
A/—Z*T•/八
，（方-1）‘A；
+A"
l
证明:
/\
人；
0沏=
（证明）本题的A；
A；
是两个带有相加的常数分子的算符
—♦/\/\/\
厅•/=&
1厶+$〉厶+丘丿乙
根据总如动最理论内，前两算符可变形如下：
2+2+11一711z^2,2人2、
A,=1（T•/=1（y—I—s）/i\
z2/+12/+12/+12/+1⑴
A；
=—<
7-F=—（尸_八_护）
（2）
2/+12/+12/+12/+1
假设/＞加，试将
（1）式运算于合成角动量的本征态0伽/（Z2,；
2共同本征态），首先,
对"
弓有:
/+11z02,2宀、
2/+l+2/+l'
TF
叫,”
2/+1
彳（/+1）+旳+1）-W+l）-
f3
ba+D+w+DJa+i）-'
y如
133
a（/+1）+W+）（/+—1）
224
巾+i）+/a+；
）（/+；
）—（+1）—：
*
Ys
，加+1
_1
-2/+1
=0网
（21+l）dYs
⑵+1）叽+】
I-in
/+Z77+1
;
b=
0丫/,加+1_
113
-M/+i+（/--）（/+-）-/（/+i）--}rOn
曲+1+（/巧）（/+壬一心+1）_才乙加
=0
式中a=
其次，可对于j=/-|的本征态计算:
又因为A；
+A；
=1,所以
心05厂（1-&
）05J
⑹一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。
证明自旋轨道耦合作用oZ对
能量无贡献。
［解］、整个原子的角动量看作每一个电子角动量矢量和，此外每一电子角动量又包括轨道运动和自旋。
A八八八八八-A.八
••—♦八A
j\+j?
丄=l\+，2'
S=f]+£
2'
J\=h
整个体系的哈氏算符是:
将口旋轨道相互作用算符用角动量算符表示，由于:
+2L-5
八/\/\7\八
J2=（L+5）-（L+5）=L2+52//=//o+-^（/）（J2-L2-52）
⑵
原子的状态可以用（芒,丿2,乙）的共同本征函数屮“J表示，将算符
（2）,运算于这个
本征函数，可以求的能量贡献（修正量）
叽…=｛乩+2鈿）｛户—F—心｝｝壮口
=/屮厶…+*（刃｛"
八1）沪-UL+1）力2一S（S+1）力2｝屮“&
⑶
但当原子处在自旋的单重态时，
5,=—S2,5=0
总白旋量子数s=0,有从
（1）式的关系看出
J=J1+J2=+Sj+12+s2=Tj+12=L
因此J二L,（3）式成为：
□屮LZz=^^LJJ7
所以，轨道自旋的耦合作用对能虽木征值没冇影响，因方。
不含
⑺设两个H旋为丄的粒子的相互作用为：
V（r）=V0（r）+V7（r）S12
第一项为中心力，第二项为张量力的证明：
（1）宇称"
、总自旋歹、总角动量J2及总的z向分角动量/均为守恒量，但芒和f不是守恒量。
（2）在口旋单态下，张量力为零。
（解）题中张量力（本章中问题13.P283）如下：
S厂3©
•普2远）_©
远）=十-2护⑴
厂厂
但”=斤—乙。
（前一公式的來源不在木题中讨论）
（1）（a）宇称兀：
体系的哈密顿算符包括两粒了的能虽和势能
-2S2
斜益+尬）+讪
按*§
5.3（Po176）一体系若具有空间反射不交性，则具宁称是守恒的，即
［久片］=0
在本题的情形，这条件是成立的，注意，粒子的动能町能梯度表示。
（2）式用坐标显示为：
+%（|斤一可）+吟（忙一引）｛恥“厂卩一2护｝
人一厂2
为参考系发生空间反射时,
兀1T一兀］，兀2T—兀2，『］T一T—『2，知—>
一Z］,Z2T—？
2,人一尸2T一厶。
但
斤-石不变，此外总的白旋角动量£
依赖与H旋坐标入和与空间朋标忌石无关，因
而忌）『也不随空间反射而变更，乂因为
a2_a2
dxf3（—兀］尸
等，所以动能部分也不随反射而变化，所以（4）式整个不随反射变化，若（斤忆宀］宀2）是
任意函数，我们冇:
[分，彳]=0,分是守恒量
（b）总自旋平方算符§
2：
自旋和一切轨道运动的量都能対易，只需检验即与（£
.门2的对易性：
（S-r）2=託3-兀2）+*5—力）+可G-5）+2斤£
（坷一吃）®
-儿）+2祸（y】-儿）（可-勺）
+2SzSx（Z]-5）（兀1-兀2）
因[S2,SJ=0等,乂[52,5^]=0等,因此有:
[52,HJ=0（6）
（c）总角动量分Jz:
总角动量分量丿Z与轨道运动部分的诸力学算符和对易，这在第六章中心力场和笫四章§
4.1都有过讨论，只需证明丿z与〃的势能部分的对易性就足够。
又A=：
+5=Az+‘2?
+^lz+^2z
只与角度有关，与相对矢径r=rx-7i无关，所以厶与一切与”有关的算符对易
[Jz,Hl=[Jz,V（r）l
=[Jz,Vo（r）+Vr（r）S12]
=[JZ9VT（r）Si2]
-[^z^r（r）{6（^；
r）2-252}]
厂
-2Vy.（r）{Jz,52}
|Jz-（5-r）2]=Jz.（S-F）2-（S-r）2Jz
=4（5-r）2-（S-7）JZ（C门+（Cr）Jz⑺（S.r）-（S-f）2Jz
=[Jz,（5-r）]（S.r）-（S.f）[Jz,（S-r）]
最后一式说明，[乙,（Cr）2]归结为较简单的[Jz,（Cr）]的运算
[Jz，（C01=[Lz+S2,Sx（坷—兀2）+Sy®
-y2）
+S,Z]—g）]
=[£
.,Xj-X2]SX+[Lz9yx-y2]Sy
+[L，-+[£
，§
」（兀1一兀2）
+攻$]（歼一兀2）
再注意到：
八八A
[Lz,x{~x2]=[Zk+Z2,,xI-x2]
/\八
=Uiz,x[]-[l2z,x2]
运用两个业已证明过的对易式（第四章）
忆，无0】=£
妙/迅
[Sa,S^]=hi£
aPySy
[JzXS-r）]=[llz,xl]Sx-[l2z,x2]Sx
+[：
儿瓦-[RjSlSy
+[S.,SY]（X|-x2）+[5_,SJ]（y1-y2）⑻
=hi（yl-y2）Sx-hi{xx-x2）Sy+hi{xx-x2）5v
-hi（y{-y2）Sx=0
将此结果代入（7）式，得到
[A,（5-r）2]=0
所以最终得到：
[J.,H]=0（7是守悝量）（9）
JJ
（d）总角动量平方j2:
前一步骤出发，再计算”与G・门的对易关系
=J}（S-r）-J:
（S-r）J:
+J:
（Cr）J-（5-（10）
=2[几（6初+[几&
/）]工
JJ、J
现在将（8）代入（10）,立即又有
[/；
（5-r）]=0
我们在（c）一小题中计算［/：
（〈•”）］时全部用了直角座标，因此座标
（X］%Zl9x2y2G）有轮换的对称，（10）式也是如此
因而应该也有下式:
［J；
（S.r）l=0,氏,（C门］=0
将（10）和（11）的两式相加，得
［丿；
+丿;
，（S/）］二［尸,（SJ）］=0
从而也得到交换式
|/\H］=0
（11）
（12）
（八是守恒量）
（e）厂左这两算符不能是守恒量，I大I为它们不和（CF）对易。
（2）最后证明，在双电了体系的单态中，张量力等于零。
设第一电子的态用0
（1）,0
（1）表示,第二电子用Q⑵,0
（2）表示,在单态的情形，体系总
自旋的木征值s=o,自旋波函数是反对称的，写作
Z=3
（1）0
（2）-/?
（1）6Z
（2）}/V2（13）
在此态中求张量力势能算符的平均值歹，这计算式只有一项
—6（S・F）「
V=Z*{Vr（r）|^^-2S2]}Z厂
将此式分别计算
（⑷
一1
龙*（Sw）力=空&
（1）0⑵-0
（1）0⑵}{（%]-兀2）（入+%）+®
-力）（知-6丿
tl
+（z）_^2）（criz
在以上运算式中，九九等只能运算与，4
（1）,0
（1）;
&
2x而运算于
g
（2）,0
（2）,再注意到
dxa=0,戈0=a\dya=//?
&
、0=-ia\&
_a=a,&
:
/3=一0
前式成为:
£
仪1）0
（2）-0⑴。
（2）}{（“—兀2）[0
（1）0
（2）
-以1）°
（2）+0
（1）。
（2）—0
（1）0⑵]
+（X-力皿⑴"
⑵i+"
⑴0（2"
-以1）a
（2）i-jff（l）0
（2）/]
+（◎—s）也
（1）0
（2）-"
（1）0
（2）+々
（1）0
（2）-0（1加
（2）]}=0
又Z*5^=^*5（S+1）/=z*-0（0+1）/=0
（S是总口旋量子数）
将以上两部分计算结果代入（14）,知道V=0o
这种波两数还是反对称的，波函数总数口和
（2）相同，计有°
s+l）2s种。
自旋角量了数
s指定时，可能的合成自旋波函数的总数目冇：
n=2s+1+（2s+l）s+（2s+1）=（2s+1尸
[9]证明，[厅,厅・刃=2,办厅，万是与厅对易的矢量算符。
（证明）待证一式是欠量的对易式，应当分别对它的x,y,z分量进行计算:
[<
?
a-a]=2iax5■的兀分量式:
【6,〜+冬q]=2迤）0-azay）
用矩阵式来证明：
2iciy
2a_
2i<
_0
r
冬J—i叮
az
叮
「0
\
宀+%-az_
比+iay
-a.
4.
_1
0_
9,.，务y+冬HZ
a
+ei7
x~iay
-a:
ax+iay
铁+心
0-1
-i0
>
=2i{av（yz-azav}=2i（axa）x
关于ay:
也照此方式计算，因无轮换对称，应分别计算其结果。
另一种证明方式是用矢量式矩阵：
一一一1
ki_ij
Ji）-k
kT-iJ
冬ax-iay~\
「azax-iay'
ki~ij
]+ij-k
宀+©
—冬J
耳+/-az_
I+i）~k
["
•厅]
0.・\/八•八\✓•••、/八•八\
-/./）（£
+iay）-（i+ij\ax-iay）
2（i+ij）ax-2k{dx+iay）
2k（ax-iay）-2（i-ij）ax
—♦—♦—♦—♦
/•••、/八・八\z••・\/八•八、
a+Zj\ax-mv）-（z-IJ）a+za）J
—•——*
=2/
aJ~axj
（azj-ayk）+i（axk-azi）
（aj-ayk）+i（axk-azi）-ayi+axj
=[0化-azay）T^（azax-axaz）j+（axay-ayax）k]2i=2i（&
xa）
（j=x,y,z）
[10]证明：
（1）課01=c（）sa+i&
jSina
（2）严=Cosdicy-OSind
其屮
0=e
y矢量与。
对易，（）表示（）方向的单位矢量。
（证）
（j二x,y,z）
<
^2-2.4
J=J=bj=
硼=工（Q〃）仃i/“n!
cosa+ia-sina
2!
4!
}7+i{cc—
a"
a'
药~5l
n\
+$），%+氏2=
0:
2+说
~2比一叭
■oz
0x~i0；
◎+0；
+0；
0'
2-1说-2
■"
■
•*
—2.
+0;
+0.
（6歼
因此厅•&
的性质与相同：
（厅.@）2=&
2@・©
）4=&
4……（亍・0严=02“
（：
・0）3=&
2（：
.初……（：
・歹）2曲=&
2"
（&
.©
代入
（2）式即得到待证明的结果。
[11]证明a（a-A）~A=A~（<
a-A）a=iAxa.方是与厅対易的任何矢量算符。
（证明）这是矢量关系式，可先证明x分量
入+乞4+&
A）-入-人乞）
该式左方=&
入+axayAy+axazAz-Ax
八/\/\A
=Ax+iaxAy-iayAz-Ax
=该式右方。
又这个证明对x,y,z有轮换性，故口J不需重负对y,z运算。
又
八C八八八
=A-6人-b、Q/y-crzcrxAz
=i（azAy-ayAz）
=等式最右方。
前式中用了对易式[<
t,A]=0o
[12]设〃之二"
证明：
（4是沿矢量0方向的单位矢量）
（1）U+U=\
（证明）设炉，仔任意函数:
e2
（2）U+dU=（a-0）0+（^xer）x^cos0+sin0
•（p）探屮dpo
J©
*U+i//dr=j（
八-ad
U七=Q
（1）UW=er'
d
=1
（2）U*lf
9
1—
-（f-0
—ad八Q
2=cos&
+jbVsin—
八八000—0
U+aU=（cos—+污・0sin—）：
（cos污Osin—）
r0rf）_-99^-
=cos~—（5+sin~—（5■-&
）：
-^）+zsin—cos—[（<
7•0）：
—<
t（（t•〃）]利用题9的公式于最后两项，利用题11的公式于第二项，得:
90"
一一一一
cos~—<
7+sin~—+i（0x：
）］+sin0（0x（?
）］
再利用矢量三重积公式：
7\7\7\7\/\八A
0x（&
X：
）=（&
•：
）&
—（&
）2亍=（&
代入（3）,整理后得待证公式
（2）。
［13］证明不存在非0的二维矩阵，能和三个泡利矩阵都反对易,即设
/1（7+（54=0则A=0
（证明）先设：
ab
+
b
cd
c
a+cl
c+b
h=—r
得
a=-d
因此A的矩阵是
-h
-a
再代入[A,&
y]+=0
b_
_0-/•■
「0-f
_ab_
-b
i0
-b-a
2bi
即b=0
再代入［入&
1+=0
于是A只能是形式
0■
o-
ri
a0
—L
Lo
0-a
△
2a0
即=0即a=0
_02a_
■■
于是，满足三个对易关系的二维矩整，只能是10,而定理得证。
00
另一方法，用欠量矩阵-
ab~\八八
仍设4=代入Ad+Ad
ii—>
"
ki-ij
亍+门-k
J^ij~k_
作简化:
（b+c）i+（/?
—c）j+2ak（a+d）i-i{a+d）j
（a+d）i+i（a+d）j（b+c）i+（b-c）j-2dk从任何两个元素都能得到一组解
a=b=c=d=0
[14]证切找不到一种表象，在其中
（1）三个泡利矩阵均为实矩阵或
（2）二个是纯虚矩阵,另一个为实矩阵。
（证明）根据角动量定义：
AAAC•八
w=2®
吓：
-吓y=2icrx吓厂65=2®
又根据第八章问题
（1）的结论
axcryo'
z=1
不论采取任何表象上述两组式了满足，从
（1）看出若有两个算符在角动量表象中纯虚数（每
bi
di
5=
元索为虚）如＜7v,dv,而戈为实矩阵，则可设
atblic'
icTi
，a,b……都是实数。
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