北师大版选修1232数学证明教学设计一二三四.docx

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北师大版选修1232数学证明教学设计一二三四

《数学证明》教学设计

教学设计一

教学目标：

1.知识与技能：

了解演绎推理的含义。

2.过程与方法：

能正确地运用演绎推理进行简单的推理。

3.情感、态度与价值观：

了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重点：

正确地运用演绎推理进行简单的推理

教学难点：

了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教具准备：

与教材内容相关的资料。

教学设想：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

教学过程：

学生探究过程：

一．复习:

合情推理

归纳推理从特殊到一般

类比推理从特殊到特殊

从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。

类比――提出猜想

二．问题情境。

观察与思考

1所有的金属都能导电

铜是金属,

所以，铜能够导电

2.一切奇数都不能被2整除,

（2100+1）是奇数，

所以，（2100+1）不能被2整除.

3.三角函数都是周期函数,

tan

是三角函数,

所以，tan

是周期函数。

提出问题：

像这样的推理是合情推理吗？

建构数学

演绎推理的定义：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

１．演绎推理是由一般到特殊的推理；

２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括　

　⑴大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　⑵小前提---所研究的特殊情况；　　　　　　　

⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

三段论的基本格式

M—P（M是P）（大前提）S—M（S是M）（小前提）S—P（S是P）（结论）

3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:

若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.

四，数学运用

例1.把“函数

的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论.

解：

二次函数的图象是一条抛物线（大前提）

例2.已知lg2=m,计算lg0.8

【解析】

（1）lg

=nlga（a>0）---------大前提

lg8=lg23————小前提

lg8=3lg2————结论

lg（a/b）=lga-lgb（a>0,b>0）——大前提

lg0.8=lg（8/10）——－小前提

lg0.8=lg（8/10）——结论

例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,

D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.

【解析】

（1）因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提

在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°—-小前提

所以△ABD是直角三角形——结论

（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提

因为DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提

所以DM=

AB——结论

同理EM=

AB

所以DM=EM.

由此可见，

应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙

述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略．再来看一个例子．

例4证明

=

内是增函数

分析：

证明本例所依据的大前提是：

在某个区间

内,如果

那么函数

在这个区间内单调递增

小前提是

=

的导数

内满足

是证明本例的关键。

【证明】

x

当

x>0

所以

x

>0

于是，根据三段论得，

=

内是增函数

在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的，还有其他证明方法吗？

思考：

因为指数函数

是增函数

而

是指数函数

所以

是增函数

（1）上面的推理形式正确吗？

（2）推理的结论正确吗？

为什么？

上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当

时，指数函数

是减函数），所以所得的结论是错误的．“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的．亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想．例如，欧几里得的《原本》．就是一个典型的演绎系统，它从10条公理和公设出发，利用演绎推理，推出所有其他命题．像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（公理、公设），以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法．

巩固练习：

作业：

教学反思：

教学设计二

教学目标：

1了解演绎推理的含义

2能正确的运用演绎推理进行简单的推理

3了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别

教学重点：

正确的运用演绎推理进行简单的推理

教学难点：

了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别

教学过程：

复习:

合情推理

归纳推理从特殊到一般

类比推理从特殊到特殊

从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。

类比――提出猜想

问题情境。

观察与思考

1所有的金属都能导电

铜是金属,

所以，铜能够导电

2.一切奇数都不能被2整除,

（2100+1）是奇数，

所以，（2100+1）不能被2整除.

3.三角函数都是周期函数,

tan

是三角函数,

所以，tan

是周期函数。

提出问题：

像这样的推理是合情推理吗？

二．学生活动：

1.所有的金属都能导电←————大前提

铜是金属,←-----小前提

所以，铜能够导电←――结论

2.一切奇数都不能被2整除←————大前提

（2100+1）是奇数，←――小前提

所以，（2100+1）不能被2整除.←―――结论

3.三角函数都是周期函数,←——大前提

tan

是三角函数,←――小前提

所以，tan

是周期函数。

←――结论

三、建构数学

演绎推理的定义：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。

1．演绎推理是由一般到特殊的推理；

2．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括

（1）大前提——已知的一般原理；

（2）小前提——所研究的特殊情况；

（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．

三段论的基本格式

M—P（M是P）（大前提）

S—M（S是M）（小前提）

S—P（S是P）（结论）

3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:

若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.

四，数学运用

【解析】二次函数的图象是一条抛物线（大前提）

例2.已知lg2=m,计算lg0.8

【解析】

（1）lg

=nlg

（

）---------大前提

lg8=lg23————小前提

lg8=3lg2————结论

lg（a/b）=lg

-lgb（

）——大前提

lg0.8=lg（8/10）——－小前提

lg0.8=lg（8/10）——结论

例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,

D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等

【解析】

（1）因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提

在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提

所以△ABD是直角三角形——结论

（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提

因为DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提

所以DM=

AB——结论

同理EM=AB

所以DM=EM.

练习：

第35页练习第1，2，3，4，题

五回顾小结：

演绎推理具有如下特点:

演绎推理错误的主要原因是

1．大前提不成立；2,小前提不符合大前提的条件。

作业：

教学设计三

教学目标：

结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

教学重点：

掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

教学过程

一、复习

二、引入新课

1．假言推理

假言推理是以假言判断为前提的演绎推理。

假言推理分为充分条件假言推理和必要条件假言推理两种。

（1）充分条件假言推理的基本原则是：

小前提肯定大前提的前件，结论就肯定大前提的后件；小前提否定大前提的后件，结论就否定大前提的前件。

（2）必要条件假言推理的基本原则是：

小前提肯定大前提的后件，结论就要肯定大前提的前件；小前提否定大前提的前件，结论就要否定大前提的后件。

2．三段论

三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。

三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。

这三个概念都有专门名称：

结论中的宾词叫“大词”，结论中的主词叫“小词”，结论不出现的那个概念叫“中词”，在两个前提中，包含大词的叫“大前提”，包含小词的叫“小前提”。

3.关系推理指前提中至少有一个是关系判断的推理，它是根据关系的逻辑性质进行推演的。

可

分为纯关系推理和混合关系推理。

纯关系推理就是前提和结论都是关系判断的推理，包括对称性关系推理、反对称性关系推理、传递性关系推理和反传递性关系推理。

（1）对称性关系推理是根据关系的对称性进行的推理。

（2）反对称性关系推理是根据关系的反对称性进行的推理。

（3）传递性关系推理是根据关系的

传递性进行的推理。

（4）反传递性关系推理是根据关系的反传递性进行的推理。

4.完全归纳推理是这样一种归纳推理：

根据对某类事物的全部个别对象的考察，已知它们都具有某种性质，由此得出结论说：

该类事物都具有某种性质。

完全归纳推理可用公式表示如下：

S1具有（或不具有）性质P

S2具有（或不具有）性质P……

Sn具有（或不具有）性质P

（S1 S2……Sn是 S类的所有个别对象）

所以，所有S都具有（或不具有）性质P

可见，完全归纳推理的基本特点在于：

前提中所考察的个别对象，必须是该类事物的全部个别对象。

否则，只要其中有一个个别对象没有考察，这样的归纳推理就不能称做完全归纳推理。

完全归纳推理的结论所断定的范围，并未超出前提所断定的范围。

所以，结论是由前提必然得出的。

应用完全归纳推理，只要遵循以下两点，那末结论就必然是真实的：

（1）对于个别对象的断定都是真实的；

（2）被断定的个别对象是该类的全部个别对象。

小结：

本节课学习了演绎推理的基本模式.

课堂练习：

第68页练习A、B

课后作业：

第69页A:

3，

教学设计四

三维目标

1．知识与技能

（1）让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异．

（2）能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理．

2．过程与方法

（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念．

（2）通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程．

（3）通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式．

3．情感、态度与价值观

让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲．了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的思维习惯．

重点难点

重点：

了解演绎推理的含义，理解合情推理与演绎推理的区别与联系，能利用“三段论”进行简单的推理．

难点：

利用三段论证明一些实际问题．

通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，加深学生对概念的理解，在演绎推理的应用中要注意大前提、小前提的应用方法与技巧，注意推理形式的正确性．可将常见的证明题型分类研究，探究每种题型的特点，总结证明方法的特征，学以致用使所证问题化难为易．

教学方式

建议本课运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究演绎推理与合情推理的区别与联系，了解演绎推理的作用和应用方式方法．教师指导重点应放在“三段论”的理解与应用上，师生共同研讨大前提、小前提、结论之间的关系，帮助学生分析大前提、小前提的作用及应用方法，引导学生挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程，总结规律方法，使学生能举一反三、触类旁通．本部分的练习题不在“多”，而在“精”，关键在理解．

教学流程

创设问题情境，引出问题，引导学生认识演绎推理的概念，了解演绎推理与合情推理的区别与联系．利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上完成例题1，总结三段论的特点．通过变式训练，总结此类问题易犯的错误．师生共同分析探究例题2的证明方法：

找出大前提、小前提，利用三段论给出证明．引导学生完成互动探究．

探究一演绎推理

　看下面两个问题：

（1）一切奇数都不能被2整除，（22012＋1）是奇数，所以（22012＋1）不能被2整除；

（2）两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．

1．这两个问题中的第一句都说的是什么？

【提示】　都说的是一般原理．

2．第二句又说的是什么？

【提示】　都说的是特殊示例．

3．第三句呢？

【提示】　由一般原理对特殊示例作出判断．

1．演绎推理

（1）含义：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．

（2）特点：

由一般到特殊的推理．

2．三段论

一般模式

常用格式

大前提

已知的一般原理

M是P

小前提

所研究的特殊情况

S是M

结论

根据一般原理，对特

殊情况做出的判断

S是P

探究二把演绎推理写成三段论形式

例1　将下列推理写成“三段论”的形式：

（1）向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；

（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；

（3）0.33

是有理数；

（4）

x∈R）是周期函数．

【思路探究】　首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．

【自主解答】　

（1）向量是既有大小又有方向的量，

大前提

零向量是向量，小前提

所以零向量也有大小和方向．结论

（2）每一个矩形的对角线都相等，大前提

正方形是矩形，小前提

正方形的对角线相等．结论

（3）所有的循环小数都是有理数，大前提

0．33

是循环小数，小前提

0．33

是有理数．结论

（4）三角函数是周期函数，大前提

是三角函数，小前提

是周期函数．结论

规律方法

　用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

变式练习

指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：

（1）整数是自然数，大前提

－3是整数，小前提

－3是自然数．结论

（2）常数函数的导函数为0，大前提

函数f（x）的导函数为0，小前提

f（x）为常数函数．结论

（3）无理数是无限不循环小数，大前提

（0.33333…）是无限不循环小数，小前提

是无理数结论

【解析】　

（1）结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．

（2）结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．

（3）结论是错误的，原因是小前提错误.

（0.33333…）是循环小数而不是无限不循环小数.

探究三三段论在证明几何问题中的应用

例2　已知在梯形ABCD中，DC＝DA，AD∥BC.求证：

AC平分∠BCD.（用三段论证明）

【思路探究】　观察图形→DC＝DA⇒∠1＝∠2→AD∥BC⇒∠1＝∠3→∠2＝∠3

【自主解答】　∵等腰三角形两底角相等，大前提

△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，

小前提

∴∠1＝∠2.结论

∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，

大前提

∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，

小前提

∴∠1＝∠3.结论

∵等于同一个角的两个角相等，大前提

∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提

∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论

规律方法

1．三段论推理的根据，从集合的观点来理解，就是：

若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.

2．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．

规律方法

　合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）．二者结合可以利用合情推理去发现问题，然后用演绎推理进行论证．

作业：

已知命题：

“若数列{

n}是等比数列，且

n>0，则数列bn＝

（

∈N*）也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？

并证明你的结论．

【解析】　类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：

若数列{an}是等差数列，则数列bn＝

也是等差数列．证明如下：

设等差数列{

n}的公差为d，则bn＝

＝

1＋

（n－1），

所以数列{bn}是以

1为首项，

为公差的等差数列．