北师大版高中数学选修2-1教案.docx
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第一讲常用逻辑用语
（一）
§1 命 题
1.了解命题的概念.（重点）
2.掌握四种命题的结构形式.会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题.（难点）
3.熟练判断命题的真假性.（易混点）
（1）定义：
可以判断，用文字或符号表述的语句叫命题．
（2）分类
（3）形式：
通常把命题表示为“若p则q”的形式，其中p是，q是．
1.四种命题
互逆命题
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的和
互否命题
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的
和
互为逆否命题
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的
和
2.四种命题之间的关系
互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系．
考点一命题及其真假判断
例1．命题：
“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的（ ）
A．逆命题 B．否命题C．逆否命题 D．等价命题
例2.将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断相应命题的真假．
（1）正数a的平方根不等于0；
（2）两条对角线不相等的平行四边形不是矩形．
练习1.命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的条件为________，结论为________．
练习2.①x2－5x＋6＝0.
②函数f（x）＝x2是偶数．
③若ac＞bc则b＞c.
④证明x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实数根．以上语句是命题的为________．
练习3.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：
（1）若a2＋b2＝0，则a，b都为0；
（2）两个奇数的和是偶数．
名师指津
1．当一个命题不是“若p，则q”的形式时，要先将命题改写成“若p，则q”的形式，明确条件是什么，结论是什么，然后结合四种命题的关系写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题．
2．“都是”的否定是“不都是”；“全是”的否定是“不全是”．
考点二四种命题的真假判断
例3.设命题为“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．
名师指津
对一个原命题来说，其逆命题和否命题、原命题和逆否命题同真同假．在进行真假判断时，应抓住四个命题之间的关系，在二者之间选择较简单的命题进行判断．
练习1.设命题为：
“若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根”．试写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假．
练习2.将命题“当a＞0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大，”写成“若p，则q”的形式，并写出其否命题．
练习3.写出命题“已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2”的逆命题．
基础通关
一、选择题
1.下列语句不是命题的有（ ）
①《非常学案》是最畅销的教辅材料吗？
②2x－1＞3.
③7＋6＝14.④两直线平行内错角相等.
A.①② B.①③C.②④D.①②③
2.若命题p的逆命题是假命题，则下列判断一定正确的是（ ）
A.命题p是真命题B.命题p的否命题是假命题
C.命题p的逆否命题是假命题D.命题p的否命题是真命题
3.（2016·烟台高二检测）命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是（ ）
A.这个四边形的对角线互相平分B.这个四边形的对角线互相垂直
C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D.这个四边形是平行四边形
4.（2016·大理高二检测）在下列命题中，真命题是（ ）
A.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题B.“若b＝3，则b2＝9”的逆命题
C.若x∈R，则x2＋3＜0D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
5.（2016·湖北黄冈调研）给出命题：
若函数y＝f（x）是幂函数，则函数y＝f（x）的图像不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A.3 B.2C.1 D.0
二、填空题
6.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题.
7.把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数f（x）＝3＋log2x的图像与g（x）的图像关于________对称，则函数g（x）＝________.（填上你认为可以成为真命题的一种情况既可）
8.给定下列命题：
①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；
③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是________.
三、解答题
9.（2016·苏州高二检测）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假.
（1）偶数能被2整除；
（2）奇函数的图像关于原点对称.
10.分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假：
（1）若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；
（2）四条边相等的四边形是正方形.
[能力提升]
1.有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.
其中真命题的序号为（ ）
A.①②B.②③C.①③D.③④
2.（2016·长春高二检测）若命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，则p与r是（ ）
A.互逆命题 B.互否命题C.互逆否命题D.不确定
3.（2016·唐山高二检测）下列说法正确的是________.
①“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y全不为零”.
②“正多边形都相似”的逆命题是真命题.
③“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题是真命题.
4.若方程x2＋2px－q＝0（p，q是实数）没有实数根，则p＋q<.
（1）判断上述命题的真假，并说明理由.
（2）试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由.
§2 充分条件与必要条件
1.理解充分条件、必要条件的概念.（重点）
2.掌握充分条件、必要条件的判断.（难点）
命题
真假
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
pq
pq
条件关系
p是q的条件
q是p的条件
p不是q的条件
q不是p的条件
定理关系
判定定理给出了的充分条件
性质定理给出了的必要条件
考点三充分条件的判断
例1.
（1）下列各题中，p是q的充分条件的是________.
①p：
（x－2）（x－3）＝0，q：
x－2＝0；
②p：
两个三角形相似，q：
两个三角形全等；
③p：
m＜－2，q：
方程x2－x－m＝0无实根
（2）“a＞b，b＞2”是“a＋b＞4，ab＞4”的________条件.
（3）设命题甲为0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的________条件.
名师指津
1.判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题.
2.除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件.
考点四必要条件的判断
例2.在以下各题中，分析p与q的关系：
（1）p：
x＞2且y＞3，q：
x＋y＞5；
（2）p：
y＝x2，q：
函数是偶函数；
（3）p：
一个四边形的四个角都相等，q：
四边形是正方形.
名师指津
1.判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件.
2.也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”.条件乙“x∈B”.若A⊇B，则甲是乙的必要条件.
练习1.分析下列各项中p与q的关系.
（1）p：
α＝，q：
cosα＝；
（2）p：
（x＋1）（x－2）＝0，q：
x＋1＝0.
考点五充分条件与必要条件的应用
例3.是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的充分条件？
如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由.
名师指津
1.涉及求参数的取值范围与充分必要条件有关的问题，常借助集合的观点来处理.
2.此类题的步骤为首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系，然后构建满足条件的不等式组，再进行求解.
例4.“0＜x＜5”的一个必要条件是（ ）
A.x＞5 B.x2－5x＞0C.0＜x＜4 D.x＜5
练习1.使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分条件是（ ）
A.x＜0B.x≥0C.x∈{－1,3,5}D.x≤－或x≥2
练习2.（2016·广州高二检测）已知：
p：
x＞1；q：
x＞2；则p是q的（ ）
A.充分条件 B.必要条件C.即不充分也不必要条件 D.以上答案均不正确
基础达标
一、选择题
1.“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的（ ）
A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件
2.a＜0，b＜0的一个必要条件为（ ）
A.a＋b＜0 B.a－b＞0C.＞1D.＜－1
3.“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的（ ）
A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.一元二次方程ax2＋2x＋1＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分条件是（）
A.a≤0B.a＞0C.a＜－1D.a＜1
二、填空题
5.满足sinα＝的一个充分条件是α＝____（填一角即可）.
6（2016·赤峰高二检测）已知“x＞k”是“＜1”的充分条件，则k的取值范围是________.
7.已知p：
x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：
x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}.若p是﹁q的充分条件，则实数m的取值范围是________.
能力提升
1.不等式1－＞0成立的充分条件是（ ）
A.x＞1B.x＞－1C.x＜－1或0＜x＜1D.x＜0或x＞1
2.（2016·天津高二检测）设a，b为向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的（ ）
A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.（2016·长春高二检测）如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件.
4.已知p：
x2－2x－3＜0，若－a＜x－1＜a是p的一个必要条件但不是充分条件，求使a＞b恒成立的实数b的取值范围.
2.4 充要条件
1.理解充要条件的意义.（难点）
2.掌握充分、必要、充要条件的应用.（重点、难点）
3.区分充分不必要条件、必要不充分条件.（易混点）
知识点
1.充要条件
如果，且，那么称p是q的充分必要条件，简称，记作
2.常见的四种条件
（1）充分不必要条件，即
（2）必要不充分条件，即.
（3）充要条件，即
（4）既不充分也不必要条件，即
考点六充要条件的判断
例1
（1）“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
（2）条件甲：
“a＞1”是条件乙：
“a＞”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
（3）已知p：
－1＜2x－3＜1，q：
x（x－3）＜0，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
名师指津
对充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断要搞清楚它们的定义实质；①若p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件；②若q⇒p，但pq，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④若pq，且qp，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
考点七充要条件的证明
例2.求证：
“f（x）＝sin（x＋φ）是奇函数”的充要条件是“f（0）＝0”.
名师指津
1.首先分清条件和结论.本例中条件是“f（0）＝0”，结论是“f（x）＝sin（x＋φ）是奇函数”.“p是q的……条件”，p是条件，q是结论；“p成立的……是q”，q是条件，p是结论.
2.充要条件的证明分两步证明：
证明充分性时把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性.
练习1.求证：
“f（x）＝sin（x＋φ）是偶函数”的充要条件是“|f（0）|＝1”.
例3.已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q（p≠0，p≠1），求数列{an}是等比数列的充要条件.
名师指津
本题以等比数列的判定为主线，根据数列前n项和通项之间的递推关系，严格利用等比数列定义判定.证明充要条件的命题，体现了思维的严谨性.
练习1.求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.
基础达标
一、选择题
1.（2015·安徽高考）设p：
x<3，q：
－1A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
2.（2015·湖南高考）设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.（2015·湖北高考）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：
l1，l2是异面直线，q：
l1，l2不相交，则（ ）
A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
4.（2015·湖北武汉期中）设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
5.（2016·重庆月考）已知a，b为实数，命题甲：
ab＞b2，命题乙：
＜＜0，则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
二、填空题
6.（2016·南昌高二检测）若p：
x2－1＞0，q：
（x＋1）（x－2）＞0，则﹁p是﹁q的________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个）.
7.关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的充要条件是________.
8.若命题“若p，则q”为真，则下列说法正确的是________.
①p是q的充分条件；②p是q的必要条件；③q是p的充分条件；④q是p的必要条件.
[能力提升]
1.（2016·山东潍坊调研）“若a，b∈R＋，a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的（ ）
A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.（2016·河南郑州联考）已知a，b为非零向量，则“函数f（x）＝（ax＋b）2为偶函数”是“a⊥b”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.（2016·陕西榆林一模）已知命题p：
实数x满足－2≤1－≤2；命题q：
实数x满足x2－2x＋（1－m2）≤0（m＞0）.若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.
第二讲常用逻辑用语
（二）
§3 全称量词与存在量词
1.理解全称量词和存在量词的意义.（重点）
2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.（难点）
3.能判断含一个量词的命题的真假.（易混点）
知识点
“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题.
考点一全称命题、特称命题及其真假判断
例1.指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假.
①对任意实数x，都有x2＋1＞0；②存在一个自然数小于1；
③菱形的对角线相等；④至少有一个实数x，使sinx＋cosx＝.
名师指津
1.判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词.需要注意的是有些全称命题的全称量词可以省略不写.
2.要判断全称命题“对任意x∈M，p（x）成立”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）成立.但要判断该命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p（x0）不成立即可.
3.要判断特称命题“存在x∈M，使p（x）成立”是真命题，只要在集合M中能找到一个x＝x0，使p（x0）成立，否则，这一命题就是假命题.
考点二全称命题与特称命题的否定
例2.写出下列命题的否定：
（1）对任意实数x，都有x3＞x2；
（2）至少有一个二次函数没有零点.
名师指津
1.弄清是全称命题还是特称命题，是正确写出含有一个量词的命题否定的前提.
2.全（特）称命题的否定是将其全称量词（存在量词）改为存在量词（全称量词），并把判断词否定.
练习1.写出下列命题的否定：
（1）所有的菱形都是平行四边形；
（2）存在x∈R，使x2＋2x＋3≤0.
考点三含量词的命题的应用
例3.已知命题p：
存在x∈R，使x2＋2ax＋a≤0，若命题p是假命题，试求实数a的取值范围.
名师指津
1.若函数f（x）存在最大值与最小值，则对任意x∈A，f（x）≥M⇔f（x）min≥M；存在x∈A，f（x）≥M⇔f（x）max≥M.
2.当已知的命题是假命题时，可先求出其否定，利用其否定为真命题求解.
例4.已知函数f（x）＝x2－2x＋5.
（1）是否存在实数m，使不等式m＋f（x）＞0对于任意x∈R恒成立？
并说明理由；
（2）若存在实数x，使不等式m－f（x）＞0成立，求实数m的取值范围.
练习1.已知函数f（x）＝lg，若对任意x∈[2，＋∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围.
练习2.（2016·唐山一模）已知命题p：
∃x0∈N，x＜x；命题q：
∀a∈（0,1）∪（1，＋∞），函数f（x）＝loga（x－1）的图像过点（2,0），则（ ）
A.p假q真 B.p真q假C.p假q假D.p真q真
练习3.命题：
“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是（ ）
A.存在k≤0，使方程x2＋x－k＝0无实根B.对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0无实根
C.存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根D.存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0有实根
[基础达标]
一、选择题
1.（2016·宁波高二检测）将“a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2”改写成全称命题是（ ）
A.存在a0，b0∈R，使a＋b＋2a0b0＝（a0＋b0）2
B.存在a0＜0，b0＞0，使a＋b＋2a0b0＝（a0＋b0）2
C.存在a0＞0，b0＞0，有a＋b＋2a0b0＝（a0＋b0）2
D.对所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2
2.下列命题中的真命题是（ ）
A.存在x0∈N，使4x0<－3B.存在x0∈Z，使2x0－1＝0
C.对任意x∈R,2x＞x2D.对任意x∈R，x2＋2＞0
3.已知命题p：
∃x0∈R，sinx0＜x0，则﹁p为（ ）
A.∃x0∈R，sinx0＝x0 B.∀x∈R，sinx＜x
C.∃x0∈R，sinx0≥x0 D.∀x∈R，sinx≥x
4.非空集合A、B满足AB，下面四个命题中正确的个数是（ ）
①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x0∉A，使x0∈B；
③存在x0∉B，使x0∈A；④对任意x∉B，都有x∉A.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.（2016·广东梅州一模）下列命题中的假命题是（ ）
A.对任意x∈R,2x－1＞0B.对任意x∈N*，（x－1）2＞0C.存在x∈R，lgx＜1D.存在x∈R，tanx＝2
二、填空题
6.下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________.
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数.
7.“所有的自然数都大于零”的否定是________.
8.若命题“存在x0∈R，x＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是________.
三、解答题
9.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假.
（1）对任意的实数a、b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；
（2）存在实数x，使得＝.
10.写出下列全称命题或特称命题的否定：
（1）所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）每一个四边形的四个顶点共圆；
（3）有的三角形是等边三角形.
[能力提升]
1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（ ）
A.每一个锐角三角形的内角都是锐角B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x0，使＞2
2.“关于x的不等式f（x）＞0有解”等价于（ ）
A.存在x∈R，使得f（x）＞0成立B.存在x∈R，使得f（x）≤0成立
C.对任意x∈R，使得f（x）＞0成立D.对任意x∈R，f（x）≤0成立
3.命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________.
4.已知对任意x∈（－∞，1]，不等式（a－a2）4x＋2x＋1＞0恒成立.求a的取值范围.
§4 逻辑联结词“且”“或”“非”
1.通过数学实例，了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.（重点）
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