成都大学解析几何课件总复习.docx
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成都大学解析几何课件总复习
解析几何总复习
第一章向量代数
第二章空间解析几何
第三章坐标变换与二次曲线分类
第四章正交变换与仿射变换
第五章考试题型
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解析几何总复习
向量代数
1.向量的各种运算
加法、数乘、内积、外积、混合积
重点掌握:
（1）各种向量运算的法则及其坐标运算.
设在某直角坐标系I:
[O;e1,e2,e3]中,
=（a1,a2,a3）,=（b1,b2,b3）,=（c1,c2,c3）,
R,
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解析几何总复习
+=（a1+b1,a2+b2,a3+b3）一个向量
=（a1,a2,a3）一个向量
=a1b1+a2b2+a3b3一个数
e
1
e
2
e
3
一个向量
aaa
123
b
1
b
2
b
3
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解析几何总复习
a
1
a
2
a
3
（一个数
,）bbb
123
c
1
c
2
c
3
（）=（）（）一个向量
（2）向量的夹角
cos,
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解析几何总复习
（3）外积、混合积的几何意义.
外积的长度||
---以,为邻边的平行四边形的面积
混合积的绝对值|（,,）|
---以,,为同一顶点三条棱的平行六面体体积
2.向量或点的共线、共面问题
（1）与共线=0.
（2）,,共面（,,）=0.
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解析几何总复习
空间解析几何
1.求平面方程
（1）平面的点向式方程
已知一点M0（x0,y0,z0）,方向向量v1（X1,Y1,Z1）,v2（X2,Y2,Z2）不共线,则过M0且平行于v1,v2的平面方程为
xxyyzz
000
（M0M,v1,v2）0XYZ
111
X
YZ
222
其中M为平面上任一点.
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解析几何总复习
（2）平面的一般方程
Ax+By+Cz+D=0
YYZZXX
121212
其中A,B,C.
ZZXXYY
121212
注意:
标准方程与一般方程之间的互化.
（3）直角坐标系中平面的点法式方程
已知一点M0（x0,y0,z0）,平面的法向量n（A,B,C）,则平面方程为
A（xx0）+B（yy0）+C（zz0）+D=0,
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解析几何总复习2.求空间直线方程
（1）直线的标准方程
已知一点M0（x0,y0,z0）,一个方向向量v（X,Y,Z）,则直线方程为
xy
x0yzz
0
0
XYZ
（2）直线的参数方程
x
y
z
x
0
y
0
z
0
X
.
Y
Z
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解析几何总复习
（3）直线的一般方程
Ax
1
Ax
2
ByCzD0
111
ByCzD0
222
注意:
标准方程与一般方程之间的互化.
3.求夹角
（1）直线与直线
（2）直线与平面
归结为两向量的夹角
（3）平面与平面
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解析几何总复习4.求距离
（1）点到直线
d（
uM
P0
l）
u
P
（2）点到平面
d
Ax
0
By
0
2
A
2
B
Cz
0
C
2
D
（3）两异面直线
d
（u,u,MM
（l,l）
121
12uu
12
2
）
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解析几何总复习5.判断位置关系
（1）两直线（平行、相交、重合、异面）
（2）两平面（平行、相交、重合）
（3）直线与平面（属于、平行、相交）
6.求旋转面、柱面、锥面方程
（1）旋转面
设旋转面S轴线l过点M0,平行于向量u0;母线
则M（x,y）S
M（x,y）,MMu0=0,
|M0M|=|M0M|.
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解析几何总复习圆柱面
定义:
由直线绕与它平行的轴线旋转所得的旋转面称为圆柱面.母线与轴线的距离称为它的半径.方程的建立:
方法1:
轴线过点M0,平行于向量u,半径为r,
MMu
0r点M在圆柱面上,
u
方法2:
轴线过M0,平行于向量u,M1在圆柱面上,
点M在圆柱面上|M0Mu|=|M0M1u|.
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圆锥面
定义:
由直线绕与它相交而不垂直的轴线旋转所得的旋转面称为圆锥面.母线与轴线的交点称为锥顶,夹角称为半顶角.
方程的建立:
方法1:
锥顶为M0,半顶角为,
点M在圆锥面上|M0Mu|=|M0M||u|cos.方法2:
锥顶为M0,M1在圆柱面上,
点M在圆锥面上
|M0Mu||M0M1|=|M0M1u||M0M|.
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（2）柱面
设柱面S//u（k,m,n）,准线:
F（x,
G（x,
y,
y,
z）
z）
0,
0,
则点M（x,y,z）S存在实数t,使得
F（xtk,ytm,ztn）0,
G（xtk,ytm,ztn）0,
从其中一式解出t代入另一式,即得S一般方程.定理:
若一个柱面的母线平行于z轴（或x轴,或y轴）,则它的方程中不含z（或x,或y）;反之,一个三元方程若不含z（或x,或y）,则它一定表示一个母线平行于z轴（或x轴,或y轴）的柱面.
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（3）锥面
设锥面S锥顶M0（x0,y0,z0）,准线:
F（x,
G（x,
y,
y,
z）
z）
0,
0,
则M（x,y,z）（不是锥顶）在锥面上存在实数t,使
F（（1t）xtx,（1t）yty,（1t）ztz）0,
000
G（（1t）xtx,（1t）yty,（1t）ztz）0,
000
从其中一式解出t代入另一式,即得S的方程.
定理:
x,y,z的n次齐次方程的图像（添上原点）一定是锥顶为原点的锥面.在以锥面顶点为原点的直角坐标系中,锥面方程必是关于x,y,z的齐次方程.
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解析几何总复习7.二次曲面
（1）非空二次曲面的类型
（一）椭球面
222
xyz
[1]椭球面:
1;
222
abc
222
xyz
[2]点:
0;
222
abc
（二）双曲面
222
xyz
[3]单叶双曲面:
1;
222
abc
222
xyz
[4]双叶双曲面:
1;
222
abc
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（三）抛物面
22
xy
[5]椭圆抛物面:
2z;
22
ab
22
xy
[6]双曲抛物面:
2z;
22
ab（四）二次锥面
222
xyz
[7]二次锥面:
0;
222
abc（五）二次柱面
22
xy
[8]椭圆柱面:
1;
22
ab
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解析几何总复习
22
xy
[9]一条直线:
0;
22
ab
22
xy
[10]双曲柱面:
1;
22
ab22xy
[11]一对相交平面:
0;
22
ab
2
[12]抛物柱面:
x2py;
2aa[13]一对平行平面:
x,0.
2[14]一张平面:
x0.
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（2）五类二次曲线的图形特征（平行截线的变化规律;范围;对称性;图像）
[1]椭球面
[2]单叶双曲面
[3]双叶双曲面
[4]椭圆抛物面
[5]双曲抛物面
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解析几何总复习
（3）直纹二次曲面
类型所有二次柱面
所有二次锥面单叶双曲面双曲抛物面
特点
二次柱面:
所有直母线都平行于一个固定向量.
二次锥面:
所有直母线都过同一个点.
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双曲抛物面:
恰有两族直母线
xyxy
c
abab
l:
l:
cyx
xc
c（）2zc（
aba
y
b
c
）
2z
cR,
方向向量分别为:
uc（a,b,c）,uc（a,b,c）,有如下特征性质:
同族的直母线都平行于同一张平面;同族的两条不同直母线一定异面;异族的直母线一定相交.
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单叶双曲面:
恰有两族直母线
l
s
:
t
l
s
:
t
:
:
xz
s（）t（1
ac
xz
t（）s（1
ac
xz
s（）t（1
ac
xz
t（）s（1
ac
y
）
b
y
）
b
y
）
b
y
）
b
其中s,t不全为零.
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解析几何总复习
方向向量可分别取为:
2s2bstcs2t
us
（a（t）,,（
:
t
2
））,
2sbstcst
22
us（a（t）,,（
:
t
2
））,
有如下特征性质:
同族的任何三条不同的直母线都不平行于同一张平面;
同族的两条不同直母线一定异面;异族的直母线一定共面.
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坐标变换与二次曲线的分类
1.坐标变换公式
（1）仿射坐标变换公式、过渡矩阵的性质
（2）直角坐标变换公式、正交矩阵的特点
2.二次曲线的分类
（1）利用移轴和转轴求二次曲线标准方程
（2）利用不变量判断二次曲线类型
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解析几何总复习
3.计算二次曲线的仿射特征、度量特征
（1）中心型二次曲线的中心
（2）渐近线
（3）直径与共轭直径
（4）圆锥曲线的切线
（5）圆锥曲线的对称轴、顶点
（6）根据圆锥曲线的仿射、度量特征画简图
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解析几何总复习
保距变换与仿射变换
1.仿射变换
（1）概念与性质
（2）仿射变换基本定理
（3）仿射变换的变换公式、变换矩阵
（4）仿射变换的不动点与特征向量
2.保距变换
（1）概念与特点
（2）保距变换基本定理
（3）保距变换的变换公式、变换矩阵
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解析几何总复习
3.图形的仿射分类与度量分类
（1）仿射等价与度量等价
注意几个常见的仿射等价类:
全体三角形;全体平行四边形;每一类二次曲线.
（2）仿射概念、仿射性质和度量概念、度量性质
（3）利用图形的仿射分类解决某些几何问题
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解析几何总复习
考试题型及重点例题
2.重点例题
1.考试题型
P70.例2.9
（1）填空题
P152.例3.4
（2）判断题
P168.例3.5
（3）选择题
P172.例3.6
（4）计算题
P198.例4.2
（5）证明题
P214.例4.4
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解析几何总复习
谢谢！
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