数列通项与求和测试题含答案.docx
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数列通项与求和测试题含答案
数列通项及求和
一．选择题：
2.已知数列{an}满足a1=1,且,且n∈N）,则数列{an}的通项公式为（ ）A． B．C．an=n+2 D．an=（n+2）·3n
3.数列的前项和记为，，则数列的通项公式是（ ）
A. B. C. D.
4.数列满足，且，则= （ ）
A.10 B．11 C．12 D．13
6.设各项均不为0的数列满足，若，则（ ）
A. B.2 C. D.4
二．填空题：
8.已知数列的前项和为，，且满足，则_________．
9.若数列的前n项和，则数列的通项公式
10.如果数列满足，则=_______.
11.若数列的前项和为，则该数列的通项公式 .
12.若数列的前项和为，则该数列的通项公式 .
13.已知数列的前项和为，且，则= .
15.在数列中，=____________.
16.已知数列的前n项和，则的通项公式
17.若数列的前n项和，则 。
18.已知数列满足，，则的最小值为________.
19.已知数列的前n项和为，且，则=___．
20.已知数列中，，前n项和为，且，则=_______
三．解答题：
25.已知等差数列的前n项和
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和。
30.等差数列中，
（1）求的通项公式
（2）设，求的前n项和
40.公差不为零的等差数列中，且成等比数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的通项公式
44.已知等差数列满足：
，，的前n项和为．
（1）求及；
（2）令bn=（），求数列的前n项和．
36.已知数列的前项和为，且；数列满足，．.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）记，.求数列的前项和．
28.已知数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式
（Ⅱ）数列的通项公式,求其前项和为。
29.已知等比数列的公比且成等差数列.数列的前项和为,且.
（Ⅰ）分别求出数列和数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求其前项和为。
32.设数列的前项和为，，且对任意正整数，点在直线上．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
33.设数列的前项和为，点在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，求数列的前n项和.
34.已知数列的前项和和通项满足,数列中，,.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求的前项和.
38.在数列中，是与的等差中项，设，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列前项的和为，若数列满足，试求数列前项的和.
39.设数列为等差数列，且；数列的前n项和为.
数列满足为其前项和。
（I）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
27.数列满足：
，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
41.已知数列，满足条件：
，．
（I）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
45.已知数列中，点在直线上，其中.
（1）求证：
为等比数列并求出的通项公式；
（2）设数列的前且，令的前项和。
46.已知各项均为证书的数列前n项和为，首项为，且是和的等差中项。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和。
47.已知数列的前项和为，且，数列中，，点在直线上．
（1）求数列的通项公式和；
（2）设，求数列的前n项和，并求的最小值．
48.已知数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{an}的前n项和Sn=nbn．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
49.数列的前n项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）等差数列的各项为正，其前项和记为，且，又成等比数列求．
50.设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log4||，求数列{}前n项和Tn．
22.已知是数列的前n项和，且
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值。
23.若正项数列的前项和为，首项，点（）在曲线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，表示数列的前项和，求.
26.已知数列的前项和为，且满足,,N.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
31.设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an＝（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项；
（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
数列通项及求和试卷答案
1.A
2.B∵an=an-1+（）n（n≥2）∴3n•an=3n-1•an-1+1
∴3n•an-3n-1•an-1=1∵a1=1，∴31•a1=3
∴{3n•an}是以3为首项，1为公差的等差数列∴3n•an=3+（n-1）×1=n+2,∴
3.C4.B5.B
6.【答案解析】D 解析：
由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以4，故选D.
7.278.64
解析：
∵Sn=an+1+1，∴当n=1时，a1=a2+1，解得a2=2，
当n≥2时，Sn﹣1=an+1，an=an+1﹣an，化为an+1=2an，∵，
∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，首项为2，公比为2，∴=2n﹣1．
∴an=．∴a7=26=64．故答案为：
64．
9.
10.11.12. 13.4
15.3116.
17.【答案解析】当n2时，=2n-1,当n=1时==2
所以
18.10.5略19.
试题分析：
由得时，，两式相减得而，所以
20..略
21.（Ⅰ）设数列{an}公差为d，
由题设得 解得
∴数列{an}的通项公式为：
（n∈N*）．…………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
…………6分
①当为偶数，即时，奇数项和偶数项各项，
∴
； ……9分
②当为奇数，即时，为偶数．
∴
．
综上：
…………………………12分
22.
23.
（1）因为点在曲线上,所以.…………1分
由得.……3分且
所以数列是以为首项,1为公差的等差数列 ……4分
所以, 即 ………5分
当时， ……6分
当时，也成立 …………7分
所以， ……………8分
（2）因为,所以, ……………9分
……………12分
……14分
24.解：
（Ⅰ）由Sn=an+1﹣，得，
两式作差得：
an=an+1﹣an，即2an=an+1（n≥2），∴，
又，得a2=1，∴，
∴数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，则，
；
（Ⅱ）bn=log2（2Sn+1）﹣2=，
∴cn•bn+3•bn+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，
即
，
，
+（2﹣1+20+…+2n﹣2）
===．
由4Tn＞2n+1﹣，得，即，n＞2014．
∴使4Tn＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值为2015．
25.
26.
（1）；
（2）；（3）不存在正整数，使，，成等比数列．
试题解析：
（1）解：
∵,,
∴. …………………1分
∴. …………2分
∴. ……………3分
（2）解法1：
由,得. ……………………4分
∴数列是首项为,公差为的等差数列.
∴. . ……………6分
当时, ………7分
. ……8分
而适合上式，
∴. ……………9分
解法2：
由,得，
∴． ① ……………4分
当时，，②
①②得
，
∴． …………………5分
∴． …６分
∴数列从第２项开始是以为首项,公差为的等差数列.………７分
∴. ………………８分
而适合上式，∴. ……………9分
（3）解：
由
（2）知,.
假设存在正整数,使,,成等比数列,
则. …………………10分
即. …………11分
∵为正整数,∴.得或, …12分
解得或,与为正整数矛盾. ………………13分
∴不存在正整数,使,,成等比数列.……………14分
考点：
1、等差数列的通项公式；2、等比数列的性质.
27.（Ⅰ）
又,
数列是首项为4,公比为2的等比数列. 既
所以……………………6分
（Ⅱ）.由（Ⅰ）知：
令
赋值累加得,
∴……………………12分
28.
（1）时， ……1分
时， ……3分
经检验时成立， ……4分综上 5分
（2）由
（1）可知
……7分
=
……9分
==
所以 ……12分
29.（Ⅰ）解：
∵且成等差数列，∴......................1分
，，∴ ......................2分
..............3分
当时， ............4分
当时，
...................5分
当时，满足上式， ∴ ...................6分
（Ⅱ） 若，对于恒成立，即的最大值
当时，即时，
当时，即，时，
当时，即，时，
∴的最大值为，即∴的最小值为
30.
31.
（1）∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①∴a1＝，
a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝（n≥2），②
①－②得3n－1an＝－＝（n≥2），化简得an＝（n≥2）．
显然a1＝也满足上式，故an＝（n∈N*）．
（2）由①得bn＝n·3n.
于是Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，③ 3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，④
③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，
即
32.点在直线上……………1分
当时，……………2分两式相减得：
即……3分又当时，
…4分
是首项，公比的等比数列……………5分
的通项公式为……………6分
由知，……………7分
……………8分
……………9分
两式相减得：
……………11分
……………13分
数列的前项和为……………14分
33.
34.
（1）由，得
当时，
即（由题意可知）
是公比为的等比数列，而
，
由，得
（2），设，则
由错位相减，化简得：
（12分）
35.（Ⅰ）当时，则
，
36.（Ⅰ）∵当时，②
①②得，（）．
∵当时，，且．
∴数列是以为首项，公比为的等比数列，
∴数列的通项公式为．…………………………………4分
又由题意知，，，即
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
∴数列的通项公式为．………………………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，……………………………………………………1分
∴
③
④
由③④得
………………1分
∴………………………………………1分
∴即
∴
∴数列的前项和………………………………3分
37.
（1）由条件，； ………………. 6分
（2），∵．………… 12分
38.
（1）
（2）
数列是以公比为2的等比数列
又是与的等差中项，
即
（2）由
39.解
（1）数列为等差数列,所以又因为
由
n=1时，
时，
所以为公比的等比数列
（2）由
（1）知，
+
==1-4+
40:
（Ⅰ）． ……6分
（Ⅱ）． ……12分
41.解：
（Ⅰ）∵
∴，∵，…………2分
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．
∴∴ …………5分
（Ⅱ）∵，…………7分
∴
． …………9分
∵
，又，
∴N*，即数列是递增数列．
∴当时，取得最小值． …………11分
要使得对任意N*都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需，由此得．∴正整数的最小值是5． …………13分
42
（1）
b1=a2-a1=1，
当n≥2时，bn＝an+1−an＝−an＝−（an−an−1）＝−bn−1，
所以{bn}是以1为首项，−为公比的等比数列．
（2）解由
（1）知bn＝an+1−an＝（−）n−1，
当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）++（an-an-1）=1+1+（-）+…+（−）n−2
=1+=1+[1−]=−
当n=1时，−＝1＝a1．所以an＝−（n∈N*）．
43.（Ⅰ）解:
因为,
所以当时,,解得,
当时,,即,解得, 所以,解得;
则,数列的公差,
所以.
（Ⅱ）因为
.
因为所以
44.
（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有
，解得，
所以；==。
（2）由（Ⅰ）知，所以bn===，
所以==，
即数列的前n项和=.
45.
（1）见解析；
（2）
解析：
（1）代入直线中，有+1=2,
……………4分
（2）
两式作差，
……………8分
； ………12分
46.解析：
（Ⅰ）由题意知， ……………………1分
当时，； ………………2分
当时，，
两式相减得，整理得：
， …5分
∴数列是以为首项，2为公比的等比数列.
， ………………………………6分
（Ⅱ）由得， ………………………………9分
所以，，
所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，
. ………………………………12分.
47.
（1）∵当时，解得
当时，得
又，所以 …………4分
∵点在直线上 ∴
即，所以数列是等差数列，又可得………6分
（II）∵
∴
两式相减得
即
因此：
……….11分
∵单调递增 ∴当时最小值为3………………………13分
48.解：
（1）由已知，. …………2分
所以．从而
当时,
，
又也适合上式,所以. ……………6分
（2）由
（1）， …………8分
所以
． …………12分
49.
（1）；
（2）
试题解析：
解：
因为，故当时，，所以当时，
，即当时，
又，故，即，于是有
而，故数列是首项为1公比3的等比数列，且
由题设知，解得（舍去）或
于是等差数列的公差
考点：
1、由得；2、等差数列的前项和
50.解：
（Ⅰ）当n=1时，a1=5S1+1，∴a1=﹣，…（2分）
又an=5Sn+1，an+1=5Sn+1+1，an+1﹣an=5an+1，即=﹣，…（4分）
∴数列{an}是首项为a1=﹣，公比为q=﹣的等比数列，∴an=；…（6分）
（Ⅱ）bn=log4||=log4|（﹣4）n|=n，…（8分）
所以==﹣…（10分）
所以Tn=[（1﹣）+（）+…+（﹣）]=…（12分）
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