六下人教第五单元数学广角鸽巢问题抽屉原理附答案.docx

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六下人教第五单元数学广角鸽巢问题抽屉原理附答案

第五单元数学广角——鸽巢问题（抽屉原理）

一、最不利原则：

为了保证能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能达到目标。

二、抽屉原理：

形式1：

把n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里；

形式2：

把m×n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有m+1个苹果放在一个抽屉里。

模块一抽屉原理

【例题1】把3个苹果放到两个抽屉中，有（）种放法。

【练习1】把4支铅笔放进3个笔筒中，有（）种放法。

【例题2】把8个桃子放到7个果盘里，一定有一个果盘里至少放进了（）桃子。

【练习2】把7本书放进6个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进（）本书。

【例题3】五年级一班有28个学生，保证至少有几个同学在同一个月出生？

【练习3】在任意25个人中，至少有几个人的星座相同？

【例题4】把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球？

【练习4】把17本书最多放到（）个空书架上，才能保证至少有一个书架上有5本书。

【例题5】平安路小学组织862名同学去参观甲、乙、丙3处景点。

规定每名同学至少参观一处，最多可以参观两处，至少有多少名同学参观的景点相同？

【练习5】中国奥运代表团的173名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水6种饮料，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？

【例题6】国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项。

那么至少有多少个学生，才能保证至少有4个人参加的活动完成相同？

【练习6】桂苑小学六年级每名学生都订阅了《数学小灵通》、《小学生作文》、《英语天地》、《科学画报》这4种报刊中的2种，他们当中至少有34名学生订阅的报刊种类相同。

你知道桂苑小学六年级至少有多少名学生吗？

【例题7】从1，2，3，……，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？

【练习7】1至70这70个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于6？

【例题8】从1，4，7，10，……37，40这14个自然数，至少任取多少个数才能保证其中至少有2个数的和是41？

【练习8】从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？

【例题9】从1到100这100个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和是7的倍数？

如果要保证是6的倍数呢？

【练习9】从1至99这99个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是5的倍数，至少要取多少个？

【例题10】某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有多少人的头发根数一样多？

【练习10】49名同学共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁。

参加体操表演的学生中至少有几名同学在同年同月出生？

模块二最不利原则

【例题1】盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？

【练习1】有红、绿、蓝三种颜色的小球各5个，至少取出几个能保证有2个同色的？

【例题2】布袋里有4种不同颜色的小球若干个，最少取出多少个小球，就能保证其中一定有3个小球的颜色相同？

【练习2】盒子里放有三种不同颜色的筷子各若干根，最少摸（）根，才能保证至少有3根筷子是同色的。

【例题3】盒子里有8个黄球，5个红球，至少摸次一定会摸到红球。

【练习3】有一叠包含20张红色、20张绿色及10张蓝色的纸片，请问至少要抽取张纸片，才能保证其中有12张纸片的颜色相同。

【例题4】一个口袋中装有500粒珠子，共有黑、白、红、蓝、绿五种颜色，每种颜色各100粒，如果闭上眼睛取珠子。

（1）至少一次性取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？

（2）至少一次性取出多少粒珠子才能保证每种珠子各有不少于5个？

【练习4】桌子上有5个黑球，4个红球，3个白球，艾迪闭上眼睛取，要想保证获得2个白球，至少要一次取出多少个？

【例题5】一副扑克牌有四种花色，每种花色各13张，另外还有两张王牌，共54张。

问：

至少从中摸出多少张牌才能保证：

（1）至少有2张牌有相同的点数；

（2）至少有5张牌的花色相同；

（3）四种花色的牌都有。

【练习5】一副扑克牌有54张，去掉大小王还剩52张，有黑桃、红桃、方片、草花四种花色，每种花色都有1～13的13张，问：

（1）最少要拿出几张，才能保证抽到两张黑桃？

（2）最少要拿出几张，才能保证四种花色都有？

【例题6】有黄色袜子9只，绿色袜子7只，白色袜子4只，红色袜子2只，黑色袜子1只，艾迪闭着眼睛摸袜子。

（1）至少摸出几只袜子才能保证凑出1双袜子？

（2）至少摸出几只袜子才能保证凑出2双袜子？

（3）至少摸出几只袜子才能保证凑出2双同色袜子？

（4）至少摸出几只袜子才能保证凑出2双为不同色袜子？

【练习6】桌子上有8根黑筷子，7根红筷子，6根白筷子，闭上眼睛至少抽几根才能保证得到4双筷子（同色两根才算一双）？

挑战极限

1.至少取出多少个正整数，才能保证其中一定有两个数的和或差是100的倍数？

2.在边长为2的正六边形中，放入50个点，任意三点不共线，请证明：

一定能从中选出三个点，以它们为顶点的三角形面积不大于1.

3.能否在88的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1,或2,或3,要使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?

请说明理由.

4.将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色（每一列的三小格涂的颜色不同），不论如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？

考试真题

1.（2016•广州）选择。

（1）小东玩掷骰子游戏（掷一枚骰子），要保证掷出的骰子数至少有两次是相同的，小东至少应该掷（）次，

A.5B.6C.7D.8

（2）李阿姨给幼儿园的孩子买衣服，有红、黄、白3种颜色，结果总是至少有2个孩子的衣服颜色一样，她至少给（）个孩子买衣服。

A.2B.3C.4D.6

2.（2015•三帆分班考试真题）有7双白手套，8双黑手套，9双红手套放在一只袋子里，一位小朋友在黑暗中从袋中摸取手套，每次摸一只，但无法看清颜色，为了确保能摸到至少6双手套，他最少要摸出手套只，（手套不分左、右手，任意两只可成一双。

）

3.（2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛-决赛-中年级组-第8题）布袋中有60个彩球，每种颜色的球都有6个。

蒙眼取球，要保证取出的球中有三个同色的球，至少要取出个球。

4.（2014年第十五届中环杯初赛第5题）一次中环杯比赛，满分为100分，参赛学生中，最高分为83分，最低分为30分（所有的分数都是整数），一共有8000个学生参加，那么至少有_____个学生的分数相同。

巩固练习

1.在任意13个人中，至少有几个人的星座相同？

2.金星小学六年级有30名学生是2月份出生的，所以六年级至少有2名学生的生日是在2月份的同一天，为什么？

3.大风车幼儿园大班有25个小朋友，班里有60件玩具。

若把这些玩具全部分给班里的小朋友，则会有小朋友得到3件或3件以上的玩具吗？

4.把36名同学最多分成几个小组，才能保证至少有1个小组有8名同学？

5.学校图书馆有科普读物、故事书、连环画这3种图书。

每名学生从中任意借阅2本，那么至少要几名学生借阅才能保证其中一定有2名学生所借阅的图书种类一样？

6.中国奥运代表团的83名运动员到超市买饮料。

超市有可乐、雪碧、芬达和橙汁。

每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？

7.校运动会共有4个项目，每个学生至多参加3项，至少参加1项。

那么至少有多少个学生，才能保证至少有5个人参加的活动完成相同？

8.1至30这30个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于6？

9.从1至11这11个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为12？

10.一副扑克牌（取出两张王牌）。

（1）一次至少要拿出多少张牌，才能保证有2张是相同花色的？

（2）一次至少要拿出多少张牌，才能保证4种花色都有？

11.有红、黄、白三种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出个，才能保证有5个小球是同色的。

12.一人布袋中有40块相同的木块，木块上的号码是1，2，3，4的各有10块。

一次至少取出多少块木块，才能保证其中至少有3块木块上的号码相同？

参考答案

模块一抽屉原理

【例题1】2

解析：

33

3012

【练习1】4

解析：

4444

400310220211

【例题2】2解析：

8÷7=1（个）……1（个）1+1=2（个）

【练习2】2解析：

7÷6=1（个）……1（个）1+1=2（个）

【例题3】28÷12=2……42+1=3（人）

【练习3】25÷12=2……12+1=3（人）

【例题4】5-1=4（个）（25-1）÷4=6（个）

【练习4】4解析：

（17-1）÷（5-1）=4（个）

【例题5】共有6种参观方案：

甲、乙、丙、甲+乙、甲+丙、乙+丙

862÷6=143（名）……4（名）143+1=144（名）

答：

至少有144名同学参观的景点相同.

【练习5】

=6×5=15（种）173÷15=11……811+1=12（人）

【例题6】5+10=15（种）15×（4-1）+1=46（个）

【练习6】

=6（34-1）×6+1=199（人）

【例题7】把1，2，3，……，21，这21个数分成四组。

1，5，9，13，17，21.共6个。

2，6，10，14，18.共5个。

3，7，11，15，19.共5个。

4，8，12，16，20.共5个。

1～8中取前4个数，9～16中取前4个数，17～21中取前4个数。

4×3=12（个）

【练习7】把1，2，3，……，70，这70个数分成六组。

1，7，13，19，25，31，37，43，49，55，61，67.共12个。

2，8，14，20，26，32，38，44，50，56，62，68.共12个。

3，9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69.共12个。

4，10，16，22，28，34，40，46，52，58，64，70.共12个。

5，11，17，23，29，25，41，47，53，59，65.共11个。

6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66.共11个。

6×6=36（个）

【例题8】8个。

提示：

将这14个数按下面的方式分成7组（1，40），（4，37），（7，34），（10，31），（13，28），（16，25），（19，22）。

【练习8】（1，49），（2，48），（3，47），（4，46），（5，45），（6，44），（7，43），（8，42），（9，41），（10，40），……（24，26）。

共24组。

（25），（50）

24+1+1+1=27（个）

【例题9】46个；37个。

解析：

（1）如果取出的数没有两个数的和是7的倍数。

则：

除以7余1的数与除以7余6的数不能共存，除以7余2的数与除以7余5的数不能共存，除以7余3的数与除以7余4的数不能共存.而除以7余0的数只能取1个，且100=14×7……2，所以最不利的情况是取尽余1、余2、余3和一个余0的数，共45个数，所以至少选出46个数才能满足要求。

（2）除以6余1的数有17个，除以6余2的数有17个，除以6余3的数有17个，除以6余5的有16个，除以6余0的数有16个。

最不利原则取尽余1、余2和一个余0、余3的数，共17+17+1+1=36个。

所以至少选出37个数才能保证是6的倍数。

【练习9】除以5余1的数有20个，除以5余2的数有20个，除以5余3的数有20个，除以5余4的数有20个，除以5余0的数有19个。

最不利原则取尽余1、余2和一个余0的数，共20+20+1=41（个），再任选一个数一定符合题意，所以至少取出42个数。

【例题10】将4千万人按头发的根数进行分类：

0类，1根，2根，……，150000根，共150001类。

40000000÷（150000+1）=266（人）……99744（根）266+1=267（人）

【练习10】4×12=4849÷48=1（名）……1（名）1+1=2（人）

模块二最不利原则

【例题1】2+1=3（个）

【练习1】3+1=4（个）

【例题2】4×（3-1）+1=9（个）

【练习2】3×2+1=7（根）

【例题3】8+1=9（个）

【练习3】10+10+10+1+1+1=33（张）

【例题4】

（1）4×5+1=21

（2）405

【练习4】5+4+2=11（个）

【例题5】

（1）13+2+1=16

（2）4×4+2+1=19（3）13×3+2+1=42

【练习5】

（1）13×3+2=41（张）

（2）13×3+1=40（张）

【例题6】

（1）5+1=6

（2）6+1+1=8（3）1+2+3+3+3+1=13（4）9+1+1+1+1=1313+1=14

【练习6】10根

挑战极限

1.52解析：

两个数的差是100的倍数，则这两个数除以100的余数相同，所以至少要取出101个正整数才能满足要求。

而如果取出的数除以100的余数都不同，可用除以100的所有余数构造出51个组数：

（1，99）、（2，98）、……、（49，51）、（50）、（0），每组两数之和是100倍数，只取出余数为每个数组中较小的数显然不能满足要求，所以至少要取出52个数，这时由抽屉原理知必定能取到某一个数组的两个数。

2.证明：

先将正六边形分割成6个边长为2的正三角形，再将每个三角形等分成4个边长为1的正三角形，这样就把正六边形分割成24个边长为1的正三角形，则由抽屉原理知，必有3点在一个等边三角形中，以它们为顶点的三角形面积显然不大于1，（边长是1的等边三角形面积小于1）。

3.注意到8行、8列及两对角线共有18条“线”,每条线上有8个数字,要使每条线上的数字和不同,也就是需要每条线上的数字和有18种以上的可能.但我们填入的数只有1、2、3三种,因此在每条线上的8个数字中,其和最小是8,最大是24,只有24-8+1=17（种）.故不可能使得每行,每列及两条对角线上的各个数字之和互不相等.

4.9÷6=1……3，1+1=2（种）同意

考试真题

1.

（1）C

（2）C

2.14解析：

考虑最不利原则，考虑临界情况，他要6双，先给他5双，然后把尽可能多的手套拿出来，也就是总共10+3+1=14（只）。

3.21解析：

60÷6=10（种）2×10+1=21（个）

4.149解析：

83-30+1=548000÷54=148……8148+1=149（个）

巩固练习

1.2

2.30÷29=1（人）……1（人）1+1=2（人）

3.60÷25=2（件）÷10（件）2+1=3（件）会

4.（36-1）÷（8-1）=5（个）

5.借阅种类：

科普+故事科普+连环故事+连环科普+科普故事+故事连环+连环

共有6种情况。

6+1=7（名）

答：

至少要7名学生借阅才能保证其中一定有2名学生所借阅的图书种类一样.

6.83÷6=13……513+1=14（人）

7.

=14（种）（5-1）×14+1=57（人）

8.把1，2，3，……，30，这70个数分成六组。

1，7，13，19，25.共5个。

2，8，14，20，26.共5个。

3，9，15，21，27.共5个。

4，10，16，22，28.共5个。

5，11，17，23，29.共5个。

6，12，18，24，30.共5个。

1～12中取前6个数，13～24取前6个数，25～30取前6个数。

3×6=18（个）

9.可以分组为：

（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7）共5组。

考虑最差情况：

取出6和五组数据中的其中一个，再任意取出一个都会出现两个数的和是12，5+1+1=7（个）

10.

（1）4+1=5（张）

（2）1+13+13+1=40（张）

11.3×4+1=13（个）

12.2×4+1=9（块）