数学排列组合公式.docx

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数学排列组合公式

P；=+-一七

r\r）!

c;=w

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N•元素的总个数

R参与选择的元素个数

从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1）*（n-2）..（n-r+1）;

因为从n到（n-r+1）个数为n—（n・r+1）=r

举例：

Q1：

有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数?

A1:

123和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的,

既属于“排列P”计算范畴。

之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有种可能，最终共有9*8*7个三位数。

计算公式=P（3,9）=9*8*7,（从9倒数3个的乘积）

Q2:

有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三

A2:

213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球

在一起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C（3,9）=9*8*773*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

例1设有3名学生和4个课外小组.

（1）每名学生都只参加一个课外小组；

（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法？

解

（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法.

（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法.

点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算.

例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？

解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图'啲方式逐一排出：

・・・符合题意的不同排法共有9种.

点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型.

例3判断下列问题是排列问题还是组合问题？

并计算出结果.

（1）高三年级学生会有们人：

①每两人互通一封信，共通了多少封信？

②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组共10人：

①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？

②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：

①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？

②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有8盆花：

①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法?

②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

分析

（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关，所以是组合问题.其他类似分析.

（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）・

（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法.

（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积.

（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法.

例4

证明・

证明

左式

右式.

・•・等式成立.

点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化.

例5化简.

解法一原式

解法二原式

点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化.

例6解方程：

（1）；

（2）・

解

（1）原方程

解得・

（2）原方程可变为

原方程可化为•

即，解得

第六章排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.

2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.

3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.

二、知识结构

三、知识点、能力点提示

（一）加法原理乘法原理

说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.

例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所,不同的报名方法共有多少种？

解：

5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有

3x3x3x3x3=35（种）

（二）排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同,内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题,都是选择题或填空题考查.

例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于

50000的偶数共有（）

解因为要求是偶数,个位数只能是2或4的排法有P12;小于50000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P&在首末两位数排定后冲间3个位数的排法有耳，得卩13凸卩12=36（个）

由此可知此题应选c.

例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种？

解：

将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143,3142,4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为

3PS=9（种）.