版高考数学大一轮复习集合与函数.docx

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版高考数学大一轮复习集合与函数

第1讲　集　合

最新考纲　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．

知识梳理

1．元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.

（3）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、图示法．

2．集合间的基本关系

（1）子集：

若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.

（2）真子集：

若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.

（3）相等：

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

（4）空集的性质：

∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号表示

A∪B

A∩B

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

图形表示

集合表示

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈U，且x∉A}

4.集合关系与运算的常用结论

（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．

（2）子集的传递性：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．

（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B．

（4）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．

诊断自测

1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）　

精彩PPT展示

（1）任何集合都有两个子集．（　　）

（2）已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A＝B＝C.（　　）

（3）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　　）

（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

解析　

（1）错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．

（2）错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝（－∞，＋∞）；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞）；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．

（3）错误．当x＝1，不满足互异性．

（4）错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．（教材改编）若集合A＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则下列结论正确的是（　　）

A．{a}⊆AB．a⊆AC．{a}∈AD．a∉A

解析　由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝2

，知a∉A.

答案　D

3．（2016·全国Ⅰ卷）设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________．

A.

B.

C.

D.

解析　易知A＝（1，3），B＝

，所以A∩B＝

.

答案　D

4．（2017·济南模拟）设全集U＝{x|x∈N＋，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）等于（　　）

A．{1，4}B．{1，5}C．{2，5}D．{2，4}

解析　由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}．又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}．

答案　D

5．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．

解析　集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素．

答案　2

考点一　集合的基本概念

例1

（1）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1B．3C．5D．9

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A.

B.

C．0D．0或

解析　

（1）当x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；

当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；

当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.

根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共5个．

（2）若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝

，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝

，

所以a的取值为0或

.

答案　

（1）C　

（2）D

规律方法　

（1）第

（1）题易忽视集合中元素的互异性误选D.第

（2）题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形．

（2）用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．

【训练1】

（1）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝________．

（2）已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．

解析　

（1）因为{1，a＋b，a}＝

，a≠0，

所以a＋b＝0，且b＝1，

所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.

（2）由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，

当a＝0时，x＝

不合题意，舍去；

当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，∴a<－

.

答案　

（1）2　

（2）

考点二　集合间的基本关系

例2

（1）已知集合A＝{x|y＝

，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A．ABB．BAC．A⊆BD．B＝A

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

解析　

（1）易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}．

因此BA.

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则

解得2

综上，m的取值范围为（－∞，4]．

答案　

（1）B　

（2）（－∞，4]

规律方法　

（1）若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解．

【训练2】

（1）（2017·大连质检）若集合A＝{x|x>0}，且B⊆A，则集合B可能是（　　）

A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{－1，0，1}D．R

（2）（2016·郑州调研）已知集合A＝{x|

＝

，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为（　　）

A．2B．－1C．－1或2D.

或2

解析　

（1）因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确．

（2）由

＝

，得x＝2，则A＝{2}．

因为B＝{1，m}且A⊆B，

所以m＝2.

答案　

（1）A　

（2）A

考点三　集合的基本运算

例3

（1）（2015·全国Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）

A．5B．4C．3D．2

（2）（2016·浙江卷）设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（　　）

A．[2，3]B．（－2，3]

C．[1，2）D．（－∞，－2）∪[1，＋∞）

解析　

（1）集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．

（2）易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}．

∴∁RQ＝{x|－2

又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪（∁RQ）＝{x|－2

答案　

（1）D　

（2）B

规律方法　

（1）在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．

（2）一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

【训练3】

（1）（2017·石家庄模拟）设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是（　　）

A．N⊆MB．N∩M＝∅C．M⊆ND．M∩N＝R

（2）（2016·山东卷）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U（A∪B）＝（　　）

A．{2，6}B．{3，6}

C．{1，3，4，5}D．{1，2，4，6}

解析　

（1）易知N＝（－2，3），且M＝{－1，1}，∴M⊆N.

（2）∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，

又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U（A∪B）＝{2，6}．

答案　

（1）C　

（2）A

[思想方法]

1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．

2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到．

3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．

[易错防范]

1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

3．解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．

4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

基础巩固题组

（建议用时：

25分钟）

一、选择题

1．（2015·全国Ⅱ卷）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则（　　）

A．A＝BB．A∩B＝∅C．ABD．BA

解析　∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴BA.

答案　D

2．（2016·全国Ⅱ卷）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x＋1）·（x－2）<0，x∈Z}，则A∪B＝（　　）

A．{1}B．{1，2}

C．{0，1，2，3}D．{－1，0，1，2，3}

解析　由（x＋1）（x－2）<0，得－1

答案　C

3．（2017·沈阳模拟）已知集合A＝{x|lgx>0}，B＝{x|x≤1}，则（　　）

A．A∩B≠∅B．A∪B＝RC．B⊆AD．A⊆B

解析　由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lgx>0}＝（1，＋∞），∴A∪B＝R.

答案　B

4．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1]B．[1，＋∞）

C．[－1，1]D．（－∞，－1]∪[1，＋∞）

解析　因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，

得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1]．

答案　C

5．（2016·山东卷）设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝（　　）

A．（－1，1）B．（0，1）C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）

解析　由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝（0，＋∞）．

又B＝{x|x2－1<0}＝（－1，1）．

因此A∪B＝（－1，＋∞）．

答案　C

6．（2016·浙江卷）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则（∁UP）∪Q＝（　　）

A．{1}B．{3，5}

C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，5}

解析　∵U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，∴∁UP＝{2，4，6}，∵Q＝{1，2，4}，∴（∁UP）∪Q＝{1，2，4，6}．

答案　C

7．若x∈A，则

∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）

A．1B．3

C．7D．31

解析　具有伙伴关系的元素组是－1，

，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，

，

.

答案　B

8．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（　　）

A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1}D．{x|0

解析　∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，

∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图．

∴∁U（A∪B）＝{x|0

答案　D

二、填空题

9．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．

解析　∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，

∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，

即1－2＋a≤0，∴a≤1.

答案　（－∞，1]

10．（2016·天津卷）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________．

解析　由A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此A∩B＝{1，3}．

答案　{1，3}

11．集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________．

解析　由x（x＋1）>0，得x<－1或x>0，

∴B＝（－∞，－1）∪（0，＋∞），

∴A－B＝[－1，0）．

答案　[－1，0）

12．（2017·石家庄质检）已知集合A＝{x|x2－2016x－2017≤0}，B＝{x|x

解析　由x2－2016x－2017≤0，得A＝[－1，2017]，

又B＝{x|x

所以m＋1>2017，则m>2016.

答案　（2016，＋∞）

能力提升题组

（建议用时：

10分钟）

13．（2016·全国Ⅲ卷改编）设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}，T＝{x|x>0}，则（∁RS）∩T＝（　　）

A．[2，3]B．（－∞，－2）∪[3，＋∞）

C．（2，3）D．（0，＋∞）

解析　易知S＝（－∞，2]∪[3，＋∞），∴∁RS＝（2，3），

因此（∁RS）∩T＝（2，3）．

答案　C

14．（2016·黄山模拟）集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{x|x≥1}B．{x|1≤x<2}C．{x|0

解析　易知A＝（－1，2），B＝（－∞，1），∴∁UB＝[1，＋∞），A∩（∁UB）＝[1，2）．因此阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|1≤x<2}．

答案　B

15．（2017·南昌十所省重点中学模拟）设集合A＝

，B＝{x|y＝ln（x2－3x）}，则A∩B中元素的个数是________．

解析　由

≤2x≤16，x∈N，

∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}．

又x2－3x>0，知B＝{x|x>3或x<0}，

∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素．

答案　1

16．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＋n＝________．

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n）可知m<1，

则B＝{x|m

所以m＋n＝0.

答案　0

第2讲　命题与量词、基本逻辑联结词

最新考纲　1.理解全称量词与存在量词的意义；2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定；3.了解命题的概念，了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．

知识梳理

1．全称量词与存在量词

（1）全称量词：

短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

（2）全称命题：

含有全称量词的命题．

全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”简记为∀x∈M，p（x）．

（3）存在量词：

短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

（4）存在性命题：

含有存在量词的命题．

存在性命题“存在M中的一个元素x，使p（x）成立”，简记为∃x∈M，p（x）．

2．基本逻辑联结词

（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．

（2）命题p且q、p或q、非p的真假判断

p

q

p且q

p或q

非p

真

真

真

真

假

真

假

假

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

真

3.含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

∀x∈M，p（x）

∃x∈M，綈p（x）

∃x∈M，p（x）

∀x∈M，綈p（x）

诊断自测

1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）　

精彩PPT展示

（1）“x2＋2x－3＜0”是命题．（　　）

（2）命题“5>6或5>2”是假命题．（　　）

（3）命题綈（p∧q）是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．（　　）

（4）“长方形的对角线相等”是存在性命题．（　　）

（5）∃x∈M，p（x）与∀x∈M，綈p（x）的真假性相反．（　　）

解析　

（1）错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．

（2）错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．

（3）错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．

（4）错误．命题“长方形的对角线相等”是全称命题．

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×　（5）√

2．（教材改编）已知p：

2是偶数，q：

2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．

答案　B

3．（2015·全国Ⅰ卷）设命题p：

∃n∈N，n2>2n，则綈p为（　　）

A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n

解析　命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，∴綈p：

∀n∈N，n2≤2n.

答案　C

4．（2017·济南调研）下列命题中的假命题是（　　）

A．∃x∈R，lgx＝1B．∃x∈R，sinx＝0

C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R，2x＞0

解析　当x＝10时，lg10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则D为真命题．故选C.

答案　C

5．（2015·山东卷）若“∀x∈

，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

解析　∵函数y＝tanx在

上是增函数，

∴ymax＝tan

＝1，依题意，m≥ymax，即m≥1.

∴m的最小值为1.

答案　1

考点一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

例1

设a，b，c是非零向量．已知命题p:

若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：

若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（　　）

A．p∨qB．p∧q

C．（綈p）∧（綈q）D．p∧（綈q）

解析　取a＝c＝（1，0），b＝（0，1），显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．

又a，b，c是非零向量，

由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，

∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．

综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．

又∵綈p为真命题，綈q为假命题．

∴（綈p）∧（綈q），p∧（綈q）都是假命题．

答案　A

规律方法　

（1）“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：

①明确其构成形式；②判断其中命题p，q的真假；③确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假．

（2）p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”．

【训练1】（2017·郑州调研）命题p：

函数y＝log2（x－2）的单调增区间是[1，＋∞），命题q：

函数y＝

的值域为（0，1）．下列命题是真命题的为（　　）

A．p∧qB．p∨qC．p∧（綈q）D．綈q

解析　由于y＝log2（x－2）在（2，＋∞）上是增函数，

∴命题p是假命题．

由3x>0，得3x＋1>1，所以0<

<1，

所以函数y＝

的值域为（0，1），故命题q为真命题．

所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧（綈q）为假命题，綈q为假命题．

答案　B

考点二　含有一个量词命题的否定及真假判定

例2

（1）（2016·东北师大附中质检）已知命题p：

∀x∈R，ex－x－1>0，则綈p是（　　）

A．∀x∈R，ex－x－1<0B．∃x∈R，ex－x－1≤0

C．∃x∈R，ex－x－1<0D．∀x∈R，ex－x－1≤0

（2）（2014·全国Ⅰ卷）不等式组

的解集为D，有下面四个命题：

p1：

∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2，

p2：

∃（x，y）∈D，x＋2y≥2，

p3：

∀（x，y）∈D，x＋2y≤3，

p4：

∃（x，y）∈D，x＋2y≤－1.

其中的真命题是（　　）

A.p2，p3B．p1，p2C．p1，p4D．p1，p3

解析　

（1）因为全称命题的否定是存在性命题，命题p：

∀x∈R，ex－x－1>0的否定为綈p：

∃x∈R，ex－x－1≤0.

（2）画出可行域如图中阴影部分所示，

由图可知，当目标函数z＝x＋2y，经过可行域的点A（2，－1）时，取得最小值0，故x＋2y≥0.

因此p1，p2是真命题．

答案　

（1）B　

（2）B

规律方法　

（1）全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．

（2）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x，使p（x）成立．

【训练2】（2017·安徽皖江名校联考）命题p：

存在x∈

，使sinx＋cosx>

；命题q：

“∃x∈（0，＋∞），lnx＝x－1”的否定是“∀x∈（0，＋∞），lnx≠x－1”，则四个命题：

（綈p）∨（綈q），p∧q，（綈p）∧q，p∨（綈q）中，正确命题的个数为（