高考第一轮复习知识点(数学).doc

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高考一轮复习知识点

数学

第一章-集合

考试内容：

集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．

考试要求：

（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．

§01.集合与简易逻辑知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：

（一）集合

1.基本概念：

集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.

2.集合的表示法：

列举法、描述法、图形表示法.

集合元素的特征：

确定性、互异性、无序性.

集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为；

②空集是任何集合的子集，记为；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果，同时，那么A=B.

如果.

[注]：

①Z={整数}（√）Z={全体整数}（×）

②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：

S=N；A=，则CsA={0}）

③空集的补集是全集.

④若集合A=集合B，则CBA=，CAB=CS（CAB）=D（注：

CAB=）.

3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.

②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.

③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的点集.

[注]：

①对方程组解的集合应是点集.

例：

解的集合{（2，1）}.

②点集与数集的交集是.（例：

A={（x，y）|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A∩B=）

4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n－1个.③n个元素的非空真子集有2n－2个.

5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.

例：

①若应是真命题.

解：

逆否：

a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真.

②.

解：

逆否：

x+y=3x=1或y=2.

故是的既不是充分，又不是必要条件.

⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.

3.例：

若.

4.集合运算：

交、并、补.

5.主要性质和运算律

（1）包含关系：

（2）等价关系：

（3）集合的运算律：

交换律：

结合律:

分配律:

.

0-1律：

等幂律：

求补律：

A∩CUA=φA∪CUA=UðCUU=φðCUφ=U

反演律：

CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）

6.有限集的元素个数

定义：

有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card（A）规定card（φ）=0.

基本公式：

（3）card（ðUA）=card（U）-card（A）

（二）含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根轴法（零点分段法）

①将不等式化为a0（x-x1）（x-x2）…（x-xm）>0（<0）形式，并将各因式x的系数化“+”；（为了统一方便）

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？

）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

（自右向左正负相间）

则不等式的解可以根据各区间的符号确定.

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+box>0（a>0）解的讨论.

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

2.分式不等式的解法

（1）标准化：

移项通分化为>0（或<0）；≥0（或≤0）的形式，

（2）转化为整式不等式（组）

3.含绝对值不等式的解法

（1）公式法：

与型的不等式的解法.

（2）定义法：

用“零点分区间法”分类讨论.

（3）几何法：

根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）

（1）根的“零分布”：

根据判别式和韦达定理分析列式解之.

（2）根的“非零分布”：

作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.

（三）简易逻辑

1、命题的定义：

可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：

p或q（记作“p∨q”）；p且q（记作“p∧q”）；非p（记作“┑q”）。

3、“或”、“且”、“非”的真值判断

（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；

（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；

（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．

4、四种命题的形式：

原命题：

若P则q；逆命题：

若q则p；

否命题：

若┑P则┑q；逆否命题：

若┑q则┑p。

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：

（原命题逆否命题）

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.

7、反证法：

从命题结论的反面出发（假设），引出（与已知、公理、定理…）矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数

考试内容：

映射、函数、函数的单调性、奇偶性．

反函数．互为反函数的函数图像间的关系．

指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．

对数．对数的运算性质．对数函数．

函数的应用．

考试要求：

（1）了解映射的概念，理解函数的概念．

（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．

（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．

（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．

（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．

（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

§02.函数知识要点

一、本章知识网络结构：

二、知识回顾：

（一）映射与函数

1.映射与一一映射

2.函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.

3.反函数

反函数的定义

设函数的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=（y）.若对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=（y）（yC）叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成

（二）函数的性质

⒈函数的单调性

定义：

对于函数f（x）的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,

⑴若当x1

⑵若当x1f（x2）,则说f（x）在这个区间上是减函数.

若函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f（x）的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

2.函数的奇偶性

7.奇函数，偶函数：

⑴偶函数：

设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.

偶函数的判定：

两个条件同时满足

①定义域一定要关于轴对称，例如：

在上不是偶函数.

②满足，或，若时，.

⑵奇函数：

设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.

奇函数的判定：

两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：

在上不是奇函数.

②满足，或，若时，.

8.对称变换：

①y=f（x）

②y=f（x）

③y=f（x）

9.判断函数单调性（定义）作差法：

对带根号的一定要分子有理化，例如：

在进行讨论.

10.外层函数的定义域是内层函数的值域.

例如：

已知函数f（x）=1+的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是.

解：

的值域是的定义域，的值域，故，而A，故.

11.常用变换：

①.

证：

②

证：

12.⑴熟悉常用函数图象：

例：

→关于轴对称.→→

→关于轴对称.

⑵熟悉分式图象：

例：

定义域，

值域→值域前的系数之比.

（三）指数函数与对数函数

指数函数的图象和性质

a>1

0

图

象

性

质

（1）定义域：

R

（2）值域：

（0，+∞）

（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1

（4）x>0时，y>1;x<0时，0

（4）x>0时，01.

（5）在R上是增函数

（5）在R上是减函数

对数函数y=logax的图象和性质:

对数运算：

（以上）

a>1

0

图

象

性

质

（1）定义域：

（0，+∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0

a>1

0

图

象

性

质

（1）定义域：

（0，+∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0

a>1

0

图

象

性

质

（1）定义域：

（0，+∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0

a>1

0

图

象

性

质

（1）定义域：

（0，+∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0

a>1

0

图

象

性

质

（1）定义域：

（0，+∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0

a>1

0

图

象

性

质

（1）定义域：

（0，+∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0

a>1

0

图

象

性

质

（1）定义域：

（0，+∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0

a>1

0

图

象

性

质

（1）定义域：

（0，+∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0

a>1

0

图

象

性

质

（1）定义域：

（0，+∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0

a>1

0

图

象

性

质

（1）定义域：

（0，+∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0

（4）时

时y>0

时

时

（5）在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

注⑴：

当时，.

⑵：

当时，取“+”，当是偶数时且时，，而，故取“—”.

例如：

中x＞0而中x∈R）.

⑵（）与互为反函数.

当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.

（四）方法总结

⑴.相同函数的判定方法：

定义域相同且对应法则相同.

⑴对数运算：

（以上）

注⑴：

当时，.

⑵：

当时，取“+”，当是偶数时且时，，而，故取“—”.

例如：

中x＞0而中x∈R）.

⑵（）与互为反函数.

当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.

⑵.函数表达式的求法：

①定义法；②换元法；③待定系数法.

⑶.反函数的求法：

先解x,互换x、y，注明反函数的定义域（即原函数的值域）.

⑷.函数的定义域的求法：

布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.

⑸.函数值域的求法：

①配方法（二次或四次）；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.

⑹.单调性的判定法：

①设x,x是所研究区间内任两个自变量，且x＜x；②判定f（x）与f（x）的大小；③作差比较或作商比较.

⑺.奇偶性的判定法：

首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f（-x）与f（x）之间的关系：

①f（-x）=f（x）为偶函数；f（-x）=-f（x）为奇函数；②f（-x）-f（x）=0为偶；f（x）+f（-x）=0为奇；③f（-x）/f（x）=1是偶；f（x）÷f（-x）=-1为奇函数.

⑻.图象的作法与平移：

①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.

高中数学第三章数列

考试内容：

数列．

等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．

等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．

考试要求：

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．

§03.数列知识要点

数列

数列的定义

数列的有关概念

数列的通项

数列与函数的关系

项

项数

通项

等差数列

等差数列的定义

等差数列的通项

等差数列的性质

等差数列的前n项和

等比数列

等比数列的定义

等比数列的通项

等比数列的性质

等比数列的前n项和

等差数列

等比数列

定义

递推公式

；

；

通项公式

（）

中项

（）

（）

前项和

重要性质

1.⑴等差、等比数列：

等差数列

等比数列

定义

通项公式

=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d

求和公式

中项公式

A=推广：

2=

。

推广：

性质

1

若m+n=p+q则

若m+n=p+q，则。

2

若成A.P（其中）则也为A.P。

若成等比数列（其中），则成等比数列。

3

．成等差数列。

成等比数列。

4

，

5

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①

②2（）

③（为常数）.

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①

②（，）①

注①：

i.，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.

ii.（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.

iii.→为a、b、c等比数列的必要不充分.

iv.且→为a、b、c等比数列的充要.

注意：

任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.

③（为非零常数）.

④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.

⑷数列{}的前项和与通项的关系：

[注]：

①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.

②等差{}前n项和→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；

②若等差数列的项数为2，则；

③若等差数列的项数为，则，且，

.

3.常用公式：

①1+2+3…+n=

②

③

[注]：

熟悉常用通项：

9，99，999，…；5，55，555，….

4.等比数列的前项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为.其中第年产量为，且过年后总产量为：

⑵银行部门中按复利计算问题.例如：

一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元.因此，第二年年初可存款：

=.

⑶分期付款应用题：

为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.

5.数列常见的几种形式：

⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.

具体步骤：

①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.

⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.

①转化等差，等比：

.

②选代法：

.

③用特征方程求解：

.

④由选代法推导结果：

.

6.几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值.如何确定使取最大值时的值，有两种方法：

一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：

错位相减求和.例如：

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.

2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

（1）定义法:

对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。

（2）通项公式法。

（3）中项公式法:

验证都成立。

3.在等差数列｛｝中,有关Sn的最值问题：

（1）当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.

（2）当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

（三）、数列求和的常用方法

1.公式法:

适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:

适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

　　　3.错位相减法:

适用于其中{}是等差数列，是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法:

类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

1）:

1+2+3+...+n=

2）1+3+5+...+（2n-1）=

3）

4）

5）

6）

高中数学第四章-三角函数

考试内容：

角的概念的推广．弧度制．

任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．

两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．

正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin（ωx+φ）的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．

正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．

考试要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．

（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A.ω、φ的物理意义．

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．

（8）“同角三角函数基本关系式：

sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”．

§04.三角函数知识要点

1.①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：

②终边在x轴上的角的集合：

③终边在y轴上的角的集合：

④终边在坐标轴上的角的集合：

⑤终边在y=x轴上的角的集合：

⑥终边在轴上的角的集合：

⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：

⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：

⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：

⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：

2.角度与弧度的互换关系：

360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′

注意：

正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式：

1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝≈0.01745（rad）

3、弧长公式：

.扇形面积公式：

4、三角函数：

设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则；；；；；..

5、三角函数在各象限的符号：

（一全二正弦，三切四余弦）

6、三角函数线

正弦线：

MP;余弦线：

OM;正切线：

AT.

7.三角函数的定义域：

三角函数

定义域

sinx

cosx

tanx

cotx

secx

cscx

8、同角三角函数的基本关系式：

9、诱导公式：

“奇变偶不变，符号看象限”

三角函数的公式：

（一）基本关系

公式组二公式组三