其中推断正确的是
（A）①②（B）①③
（C）①③④（D）②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如图，该正方体的主视图是形．
10．若分式
的值是正数，则x的取值范围是．
11．某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：
万元）如下表：
销售额
业务员
第1月
第2月
第3月
第4月
第5月
甲
7.2
9.6
9.6
8.0
9.3
乙
7.8
9.7
9.8
5.8
9.9
丙
9.2
5.8
8.5
9.9
9.9
则甲、乙、丙三名业务员中销售额最稳定的是．
12．如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，请补充一个条件，使△BED≌△CFD，你补充的条件是（填出一个即可）．
13．甲乙二人分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行．下图是小华绘制的甲乙二人运动两次的情形，设甲的速度是xkm/h，乙的速度是ykm/h，根据题意所列的方程组是．
14．如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a>b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是（用含a，b的等式表示）．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
过点D作DE⊥AB于点E，若CD=2，BD=4，则AE的长是．
16．小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2,0），则点E的坐标是．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．
已知：
如图，∠AOB．
求作：
∠AOB的角平分线OP．
作法：
如图，
在射线OA上任取点C；
作∠ACD=∠AOB；
以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CD于点P；
④作射线OP；
所以射线OP即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）补全图形；
（2）完成下面的证明：
证明：
∵∠ACD=∠AOB，
∴CD∥OB（____________）（填推理的依据）．
∴∠BOP=∠CPO．
又∵OC=CP，
∴∠COP=∠CPO（____________）（填推理的依据）．
∴∠COP=∠BOP．
∴OP平分∠AOB．
18．计算：
．
19．解不等式组：
20．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：
方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为正数，求实数k的取值范围．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数
的图象经过点
，作AC⊥x轴于点C．
（1）求k的值；
（2）直线AB：
图象经过点
交x轴于点
．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．线段AB，AC，BC围成的区域（不含边界）为W．
①直线AB经过
时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有1个整点，结合函数图象，求a的取值范围．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作
AE∥BC，CE∥AD交于点E，连接DE，交AC于点O．
（1）求证：
四边形ADCE是矩形；
（2）若AB=10，sin∠COE=
，求CE的长．
23．费尔兹奖是国际上享有崇高荣誉的一个数学奖项，每4年评选一次，在国际数学家大会上颁给有卓越贡献的年龄不超过40岁的年轻数学家，美籍华人丘成桐1982年获得费尔兹奖．为了让学生了解费尔兹奖得主的年龄情况，我们查取了截止到2018年60名费尔兹奖得主获奖时的年龄数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a．截止到2018年费尔兹奖得主获奖时的年龄数据的频数分布直方图如下
（数据分成5组，各组是28≤x＜31，31≤x＜34，34≤x＜37，37≤x＜40，x≥40）：
b．如图，在a的基础上，画出扇形统计图；
c．截止到2018年费尔兹奖得主获奖时的年龄在34≤x＜37这一组的数据是：
36
35
34
35
35
34
34
35
36
36
36
36
34
35
d．截止到2018年时费尔兹奖得主获奖时的年龄的平均数、中位数、众数如下：
年份
平均数
中位数
众数
截止到2018
35.58
m
37，38
根据以上信息，回答下列问题：
（1）依据题意，补全频数直方图；
（2）31≤x＜34这组的圆心角度数是度，并补全扇形统计图；
（3）统计表中中位数m的值是；
（4）根据以上统计图表试描述费尔兹奖得主获奖时的年龄分布特征．
24．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC
交⊙O于点D，点E是
的中点，连接AE交BC于点F．
（1）求证：
AC=CF；
（2）若AB=4，AC=3，求∠BAE的正切值．
25．如图，点P是
所对弦AB上一动点，点Q是
与弦AB所围成的图形的内部的一定点，作射线PQ交
于点C，连接BC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，B，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，x的值为0）．
小平根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小平的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.37
4.06
2.83
m
3.86
4.83
5.82
y2/cm
2.68
3.57
4.90
5.54
5.72
5.79
5.82
经测量m的值是（保留一位小数）．
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），
（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当△BCP为等腰三角形时，AP的长度约为cm．
26．平面直角坐标系xOy中，抛物线
与y轴交于点A，过A作AB∥x轴与直线x=4交于B点．
（1）抛物线的对称轴为x=（用含m的代数式表示）；
（2）当抛物线经过点A，B时，求此时抛物线的表达式；
（3）记抛物线在线段AB下方的部分图象为G（包含A，B两点），点P（m,0）是x轴上一动点，过P作PD⊥x轴于P，交图象G于点D，交AB于点C，若CD≤1，求m的取值范围．
27．在△ABC中，∠ABC=120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．
（1）若∠BAC=α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；
（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；
（3）当α=30°时，直接写出AC，BD的关系．
28．对于平面直角坐标系xoy中的图形P，Q，给出如下定义：
M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P,Q）．已知点A（4,0），B（0,4），连接AB．
（1）d（点O，AB）=
（2）⊙O半径为r，若d（⊙O，AB）=0，求r的取值范围；
（3）点C（－3，－2），连接AC，BC，⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，d（⊙T，△ABC），且0
北京市平谷区2019年中考统一练习
（一）
数学试卷参考答案及评分标准2019.4
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
D
B
A
A
B
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．正方；10．x>-1；11．甲；12．答案不唯一，如BD=DC；
13．
；14．
；15．
；16．（4,0）．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．
（1）如图；1
（2）同位角相等，两直线平行；3
等边对等角．5
18．解：
原式=
4
=0．5
19．解：
由
得x<31
由
得x+1>2，2
x>1．3
∴120．解：
（1）
1
2
，
∴方程总有两个实数根．3
（2）∵
，
∴
，
．4
∵方程有一个根为正数，
∴
．5
21．
（1）k=4；1
（2）
1个；2
当直线AB经过点A（2，﹣2），（0,1）时区域W内恰有1个整点，
∴
．
当直线AB经过点A（2，﹣2），（1,1）时区域W内没有整点，
∴a=1．3
∴当
时区域W内恰有1个整点．5
22．
（1）证明：
∵AB=AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC于点D．1
∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形．2
∴平行四边形ADCE是矩形．3
（2）解：
过点E作EF⊥AC于F．
∵AB=10，
∴AC=10．
∵对角线AC，DE交于点O，
∴DE=AC=10．
∴OE=5．4
∵sin∠COE=
，
∴EF=45
∴OF=3．
∵OE=OC=5，
∴CF=2．
∴CE=
．6
23．
（1）如图；1
（2）31≤x＜34这组的圆心角度数是78度，2
如图（画图1分，数据1分）；4
（3）统计表中中位数m的值是36；5
（4）答案不唯一，如：
费尔兹奖得主获奖时年龄集中在37岁至40岁．6
24．
（1）证明：
∵AC切⊙O于点A，
∴∠BAC=90°．1
连接AD．
∵点E是
的中点，
∴∠BAE=∠DAE．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．
∵∠CAD+∠DAB=∠DAB+∠B=90°，
∴∠CAD=∠B．
∵∠CAD+∠DAE=∠B+∠BAE，
∴∠CAF=∠CFA．2
∴AC=CF．3
（2）解：
∵AB=4，AC=3，
∴BC=5．4
∵AC=CF=3，∴BF=2．
∵
，
∴BD=
．5
∴AD=
，DF=
．
∴tan∠BAE=tan∠DAE=
6
25．
（1）3.0；1
（2）如图；3
（3）1.2或1.6或3.0．6
26．
（1）m；1
（2）∵
，
∴抛物线顶点坐标为（m,－3）．2
∵抛物线经过点A，B时，且AB∥x轴，
∴抛物线对称轴为x=m=2．3
∴抛物线的表达式为
；4
（3）
．6
27．
（1）∠BCD=120°－α．1
（2）解：
方法一：
延长BA使AE=BC，连接DE．2
由
（1）知△ADC是等边三角形，
∴AD=CD．
∵∠DAB+∠DCB=∠DAB+∠DAE=180°，
∴∠DAB=∠DAE．
∴△ADE≌△CDB．3
∴BD=BE．
∴BD=AB+BC．4
方法二：
延长AB使AF=BC，连接CF．2
∠BDC=∠ADE．
∵∠ABC=120°，
∴∠CBF=60°．
∴△BCF是等边三角形．
∴BC=CF．
∵∠DCA=∠BCF=60°，
∴∠DCA+∠ACB=∠BCF+∠ACB．
即∠DCB=∠ACF．
∵CA=CD，
∴△ACF≌△DCB．3
∴BD=AF．
∴BD=AB+BC．4
（3）AC，BD的数量关系是：
；5
位置关系是：
AC⊥BD于点P．6
28．
（1）
；1
（2）
；3
（3）
或6
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