北京市北大附中高考数学二轮专题训练计数原理理科已经排版.docx
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北京市北大附中高考数学二轮专题训练计数原理理科已经排版
2014年北京市北大附中高考数学二轮专题训练：
计数原理（理科）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2006•上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A．
48
B．
18
C．
24
D．
36
2．（5分）设数{an}的前n项和sn，Tn=
，称Tn为数a1，a2，…an的“理想数”，已知数a1，a2，…a500的“理想数”为2004，那么数列8，a1，a2，…a500的“理想数”为（ ）
A．
2008
B．
2009
C．
2010
D．
2011
3．（5分）将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的总数为（ ）
A．
900
B．
1500
C．
1800
D．
1440
4．（5分）（2010•重庆）（x+1）4的展开式中x2的系数为（ ）
A．
4
B．
6
C．
10
D．
20
5．（5分）从0～9这10个数中，选出3个数作为函数f（x）=ax2+bx+c各项系数，则可以组成不同的二次函数（ ）个．
A．
900
B．
1000
C．
648
D．
720
6．（5分）（2014•凉州区二模）若（2x﹣3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于（ ）
A．
﹣10
B．
﹣5
C．
5
D．
10
7．（5分）（2010•重庆）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（ ）．
A．
30种
B．
36种
C．
42种
D．
48种
8．（5分）将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为（ ）
A．
6种
B．
10种
C．
20种
D．
30种
9．（5分）若x、y∈{x|x=a0+a1•10+a2•100}，其中ai∈{1，2，3，4，5，6，7}（i=0，1，2），且x+y=636，则实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数为（ ）
A．
50个
B．
70个
C．
90个
D．
180个
10．（5分）（2012•吉安县模拟）设a1，a2，…，an是正整数1，2，3…n的一个排列，令bj表示排在j的左边且比j大的数的个数，bj称为j的逆序数，如在排列3，5，1，4，2，6中，5的逆序数是0，2的逆序数是3，则由1至9这9个数字构成的所有排列中，满足1的逆序数是2，2的逆序数是3，5的逆序数是3的不同排列种数是（ ）
A．
720
B．
1008
C．
1260
D．
1440
11．（5分）记
为一个n位正整数，其中a1，a2，…，an都是正整数，1≤a1≤9，0≤ai≤9，（i=2，3，…，n，）．若对任意的正整数j（1≤j≤m），至少存在另一个正整数k（1≤k≤m），使得aj=ak，则称这个数为“m位重复数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为（ ）
A．
1994个
B．
4464个
C．
4536个
D．
9000个
12．（5分）在（x﹣2）6的展开式中，x3的系数是（ ）
A．
160
B．
﹣160
C．
120
D．
﹣120
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．（5分）上午4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，都安排在上午，若不能3节连上，这个教师的课有 _________ 种不同的排法．
14．（5分）在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 _________ 种栽种方案．
15．（5分）（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 _________ 个．（用数字作答）
16．（5分）（2011•南宁模拟）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中含有1门相同的选法有 _________ 种（用数字作答）．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）
（1）比5000小且没有重复数字的自然数有多少个？
（2）由1到9这9个数字中每次选出5个数字组成无重复数字的5位数，
①其中奇数位置上的数字只能是奇数，问有多少个这样的5位数？
②其中奇数只能在奇数位置上，问又有多少个这样的5位数？
18．（12分）在由1、2、3、4、5五个数字组成的没有重复数字的四位数中，
（1）1不在百位且2不在十位的有多少个；
（2）计算所有偶数的和．
19．（12分）已知
，n∈N*．
（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x），求g（x）中含x2项的系数；
（2）若pn是fn（x）展开式中所有无理项的系数和，数列{an}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：
pn（a1a2…an+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+an）．
20．（12分）2名女生、3名男生排成一排合影留念，针对下列站法，试问：
各有多少种不同的站法？
（1）2名女生相邻；
（2）2名女生不相邻．
21．（12分）从4名男生，3名女生中选出三名代表，
（1）不同的选法共有多少种？
（2）至少有一名女生的不同的选法共有多少种？
（3）代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种？
22．（12分）
（1）在（1+x）n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n等于多少？
（2）（x
+
）n的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中二项式系数最大项．
2014年北京市北大附中高考数学二轮专题训练：
计数原理（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2006•上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A．
48
B．
18
C．
24
D．
36
解答：
解：
如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．
在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，
分情况讨论：
①对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24个；
②对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个；
所以正方体中“正交线面对”共有36个．
选D．
2．（5分）设数{an}的前n项和sn，Tn=
，称Tn为数a1，a2，…an的“理想数”，已知数a1，a2，…a500的“理想数”为2004，那么数列8，a1，a2，…a500的“理想数”为（ ）
A．
2008
B．
2009
C．
2010
D．
2011
分析：
利用“理想数”的定义即可得到a1+（a1+a2）+…+（a1+a2+…+a500）=500×2004，进而即可得到数列8，a1，a2，…a500的“理想数”．
解答：
解：
∵数a1，a2，…a500的“理想数”为2004，∴2004=
，∴a1+（a1+a2）+…+（a1+a2+…+a500）=500×2004．
∴数列8，a1，a2，…a500的“理想数”=
=8+
=8+
=8+2000=2008．
故选A．
3．（5分）将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的总数为（ ）
A．
900
B．
1500
C．
1800
D．
1440
分析：
先从5个房间中认选3个安排给5个工作人员临时休息，这三个房间每个房间都有人，5个人分两组（1，2，2）和（1，1，3）然后再安排房间，问题得以解决．
解答：
解：
先从5个房间中认选3个安排给5个工作人员临时休息有
=10种，其中相邻的有4种，故选的房间的种数为10﹣4=6种，
5个人分两组（1，1，3）和（1，2，2）有
=25种分法，然后再全排有
=6种，
故若恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻，则不同的安排方式的总数为6×25×6=900种．
故选：
A．
4．（5分）（2010•重庆）（x+1）4的展开式中x2的系数为（ ）
A．
4
B．
6
C．
10
D．
20
解答：
解：
（x+1）4的展开式的通项为Tr+1=C4rxr
令r=2得T3=C42x2=6x
∴展开式中x2的系数为6
故选项为B
5．（5分）从0～9这10个数中，选出3个数作为函数f（x）=ax2+bx+c各项系数，则可以组成不同的二次函数（ ）个．
A．
900
B．
1000
C．
648
D．
720
分析：
由题意，a有9种取法，b，c有10种取法，根据乘法原理，可得结论．
解答：
解：
由题意，a有9种取法，b，c有10种取法，
根据乘法原理，可得组成不同的二次函数有9×10×10=900个，
故选：
A
6．（5分）（2014•凉州区二模）若（2x﹣3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于（ ）
A．
﹣10
B．
﹣5
C．
5
D．
10
分析：
对已知等式求导数，对求导后的等式中的x赋值1，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值．
解答：
解：
对等式两边求导数得
10（2x﹣3）4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4
令x=1得10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5
故选D
7．（5分）（2010•重庆）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（ ）．
A．
30种
B．
36种
C．
42种
D．
48种
解答：
解：
根据题意，不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值14日或乙值16日的排法数，再加上甲值14日且乙值16日的排法，
即C62C42﹣2×C51C42+C41C31=42，
故选C．
8．（5分）将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为（ ）
A．
6种
B．
10种
C．
20种
D．
30种
分析：
根据题意，分2步进行；先在五个盒子中确定3个，使其编号与球的编号相同，再分析剩下的2个盒子，2个球，其编号与球的编号不同，只有1种情况；由分步计数原理，计算可得答案．
解答：
解：
根据题意，先在五个盒子中确定3个，使其编号与球的编号相同，有C53=10种情况，
剩下有2个盒子，2个球；其编号与球的编号不同，只有1种情况；
由分步计数原理，共有1×10=10种，
故选B．
9．（5分）若x、y∈{x|x=a0+a1•10+a2•100}，其中ai∈{1，2，3，4，5，6，7}（i=0，1，2），且x+y=636，则实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数为（ ）
A．
50个
B．
70个
C．
90个
D．
180个
分析：
记A=∈{x|x=a0+a1•10+a2•100}，求实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数也就是要找x+y=636在A中的解的个数，按10进制位考察即可．
解答：
解：
记A=∈{x|x=a0+a1•10+a2•100}，
实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数等价于要找x+y=636在A中的解的个数，
按10进制位考察即可．
首先看个位，a0+a0=6，有5种可能．
再往前看：
a1+a1=3且a2+a2=6，有2×5=10种可能，
a1+a1=13且a2+a2=5，有2×4=8种可能
所以一共有（10+8）×5=90个解，
对应于平面上90个不同的点．
故选C．
10．（5分）（2012•吉安县模拟）设a1，a2，…，an是正整数1，2，3…n的一个排列，令bj表示排在j的左边且比j大的数的个数，bj称为j的逆序数，如在排列3，5，1，4，2，6中，5的逆序数是0，2的逆序数是3，则由1至9这9个数字构成的所有排列中，满足1的逆序数是2，2的逆序数是3，5的逆序数是3的不同排列种数是（ ）
A．
720
B．
1008
C．
1260
D．
1440
解答：
解：
由题意知，1必在第3位，2必在第5位；5可以在第6位，5可以在第7位，5也可以在第8位．
若5在第6位，则5前面有3个空位，需从6，7，8，9中选出3个填上，
把剩下的3个数填在5后面的3个空位上，则有C43A
A
═144种，
若5在第7位，则5前面有4个空位，其中3，4当中的一个应填在其中的一个空位上，余下3个空位，需从6，7，8，9中选出3个填上；其它2个数填在剩余的2个位上，则有C43C21A
A22=384种，
若5在第8位，则5前面有5个空位，其中3，4应填在其中的两个空位上，余下3个空位，需从6，7，8，9中选出3个填上；其它1个数填在剩余的1个位上，则有C43C22A
A11=480种，
合计为：
144+384+480=1008种，
故选：
B．
11．（5分）记
为一个n位正整数，其中a1，a2，…，an都是正整数，1≤a1≤9，0≤ai≤9，（i=2，3，…，n，）．若对任意的正整数j（1≤j≤m），至少存在另一个正整数k（1≤k≤m），使得aj=ak，则称这个数为“m位重复数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为（ ）
A．
1994个
B．
4464个
C．
4536个
D．
9000个
分析：
根据题意，首先分析四位数的个数，再由排列公式计算出其中4个数字均不相同的四位数的个数，进而得到至少有1个数字发生重复的数的个数，即可得到答案．
解答：
解：
由题意可得：
四位数最小为1000，最大为9999，从1000到9999共有9000个数，
而其中4个数字均不相同的数有9×9×8×7=4536个，
所以至少有1个数字发生重复的数共有9000﹣4536=4464个
故选B．
12．（5分）在（x﹣2）6的展开式中，x3的系数是（ ）
A．
160
B．
﹣160
C．
120
D．
﹣120
解答：
解：
在（x﹣2）6的展开式中，通项公式为Tr+1=
•x6﹣r•（﹣2）r，令6﹣r=3，可得r=3，故x3的系数是（﹣2）3•
=﹣160，
故选B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．（5分）上午4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，都安排在上午，若不能3节连上，这个教师的课有 12 种不同的排法．
分析：
因为不能3节连上，所以必定1，4节上，2，3节中在选一节，所以可分成两类，把每类的方法数求出，再相加即可．
解答：
解：
∵4节课中不能连上3节，∴分两类，
第一类，上1，2，4节，有A33种不同的排法，
第二类上1，3，4节，有A33种不同的排法，
∴共有A33+A33=6+6=12种不同的排法．
故答案为12
14．（5分）在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 732 种栽种方案．
分析：
分三类讨论：
A、C、E种同一种植物、A、C、E种同二种植物、A、C、E种同三种植物，利用分布计数原理，可得结论．
解答：
解：
考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法．
考虑A、C、E种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法．
考虑A、C、E种三种植物，此时共有A43×2×2×2=192种方法．
故总计有108+432+192=732种方法．
故答案为：
732
15．（5分）（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 14 个．（用数字作答）
分析：
本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．
解答：
解：
由题意知本题是一个分类计数问题，
首先确定数字中2和3的个数，
当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，
当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，
当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，
根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，
故答案为：
14
16．（5分）（2011•南宁模拟）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中含有1门相同的选法有 24 种（用数字作答）．
分析：
根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．
解答：
解：
根据题意，分两步，
①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，
②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，
故只恰好有1门相同的选法有36﹣6﹣6=24种．
故答案为：
24．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）
（1）比5000小且没有重复数字的自然数有多少个？
（2）由1到9这9个数字中每次选出5个数字组成无重复数字的5位数，
①其中奇数位置上的数字只能是奇数，问有多少个这样的5位数？
②其中奇数只能在奇数位置上，问又有多少个这样的5位数？
分析：
（1）本题是一个分类计数问题．4位数有4A93，3位数有9A92，2位数有9×9个，1位数有10个，利用加法原理得到结果．
（2）①由题意知本题是一个分步计数问题，在奇数位上排列3个奇数有A53，再在剩余两位上排其他6个数中的2个有A62．
②在两个偶数位上排4个偶数中的2个有A42，再在剩余三位上排其他7个数中的7个有A73，根据乘法原理得到结果．
解答：
解：
（1）由题意知本题是一个分类计数问题．
4位数有：
4A93=2016个
3位数有：
9A92=648个
2位数有：
9×9=81个
1位数有：
10个
所以比5000小且没有重复数字的自然数有10+81+648+2016=2755个
（2）由题意知本题是一个分步计数问题，
①在奇数位上排列3个奇数，有A53
再在剩余两位上排其他6个数中的2个有A62
共
×
=1800
②在两个偶数位上排4个偶数中的2个有A42
再在剩余三位上排其他7个数中的3个有A73
×
=2520
18．（12分）在由1、2、3、4、5五个数字组成的没有重复数字的四位数中，
（1）1不在百位且2不在十位的有多少个；
（2）计算所有偶数的和．
分析：
（1）由题意分两类，第一类：
1在十位的；第二类：
1不在十位也不在百位，根据分类加法原理可得．
（2）首先通过分类，分别计算，个，十，百，千上的数字和，再求出所有的偶数和．
解答：
解：
（1）由1不在百位，可分为以下两类
第一类：
1在十位的共有
=24个；
第二类：
1不在十位也不在百位的共有
=54个．
所以1不在百位且2不在十位的共有24+54=78个．
（2）千位数字的和为：
（1+3+5）
=144；
百位数字的和为：
（1+3+5）
=144；
十位数字的和为：
：
（1+3+5）
=144；
个位数字的和为：
（2+4）
=144；
∴所有偶数的和为：
144×（1000+100+10+1）=159984．
19．（12分）已知
，n∈N*．
（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x），求g（x）中含x2项的系数；
（2）若pn是fn（x）展开式中所有无理项的系数和，数列{an}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：
pn（a1a2…an+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+an）．
考点：
数学归纳法；二项式定理的应用．菁优网版权所有
专题：
综合题；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
（1）确定函数g（x），利用二项式定理可得g（x）中含x2项的系数；
（2）确定pn的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证n=1时成立，再设n=k时成立，利用归纳假设证明n=k+时成立即可．
解答：
（1）解：
g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x）=
+2
+3
，
∴g（x）中含x2项的系数为
=1+10+45=56．（3分）
（2）证明：
由题意，pn=2n﹣1．（5分）
①当n=1时，p1（a1+1）=a1+1，成立；
②假设当n=k时，pk（a1a2…ak+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+ak）成立，
当n=k+1时，（1+a1）（1+a2）…（1+ak）（1+ak+1）≤2k﹣1（a1a2…ak+1）（1+ak+1）
=2k﹣1（a1a2…akak+1+a1a2…
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