高考文科数学二轮复习函数图象与性质.docx
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高考文科数学二轮复习函数图象与性质
2019年高考文科数学二轮复习
函数图象与性质
高考定位 1.以基本初等函数为载体,考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质,能用函数的图象与性质解决简单问题;3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.
真题感悟
1.(2018·全国Ⅱ卷)函数f(x)=
的图象大致为( )
解析 f(x)=
为奇函数,排除A;当x>0时,f
(1)=e-
>2,排除C,D,只有B项满足.
答案 B
2.(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f
(1)=2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50B.0C.2D.50
解析 法一 ∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,且f(1-x)=f(1+x),∴f(4+x)=f(x),∴f(x)是周期函数,且一个周期为4,又f(0)=0,知f
(2)=f(0),f(4)=f(0)=0,由f
(1)=2,知f(-1)=-2,则f(3)=f(-1)=-2,从而f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)=0,故f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f
(1)+f
(2)=2,故选C.
法二 由题意可设
f(x)=2sin
,作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知,f(x)的一个周期为4,所以f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=12[f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f
(1)+f
(2)=2.
答案 C
3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则( )
A.f(x)在(0,2)上单调递增
B.f(x)在(0,2)上单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
解析 由题意知,f(x)=lnx+ln(2-x)的定义域为(0,2),f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)2+1],由复合函数的单调性知,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除A,B;又f(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,C正确,D错误.
答案 C
4.(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=
则f[f(15)]的值为________.
解析 因为函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),所以函数f(x)的最小正周期为4.又因为在区间(-2,2]上,f(x)=
所以f[f(15)]=f[f(-1)]=f
=cos
=
.
答案
考点整合
1.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:
一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时,要注意结合其图象研究.
(3)函数图象的对称性
①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
2.函数的性质
(1)单调性:
单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
(2)奇偶性:
①若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x).
②若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0.
③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.
(3)周期性:
①若y=f(x)对x∈R,f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数.
②若y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2|a|的周期函数.
③若y=f(x)是奇函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4|a|的周期函数.
④若f(x+a)=-f(x)
,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数.
易错提醒 错用集合运算符号致误:
函数的多个单调区间若不连续,不能用符号“∪”连接,可用“和”或“,”连接.
热点一 函数及其表示
【例1】
(1)函数y=
的定义域为( )
A.(-∞,1]
B.[-1,1]
C.
∪
D.
∪
(2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=
则满足f(x+1)A.(-∞,-1]B.(0,+∞)
C.(-1,0)D.(-∞,0)
解析
(1)函数有意义,则
即
所以函数的定义域为
.
(2)当x≤0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)≥f(0)=1.作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,要使f(x+1)<f(2x),则需
或
所以x<0.
答案
(1)C
(2)D
探究提高 1.
(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合,只需构建不等式(组)求解即可.
(2)抽象函数:
根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.
2.对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解;形如f(g(x))的函数求值时,应遵循先内后外的原则.
【训练1】
(1)设函数y=
的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( )
A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)
(2)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=________.
解析
(1)由4-x2≥0得-2≤x≤2,∴A=[-2,2],
由1-x>0得x<1,∴B=(-∞,1).∴A∩B=[-2,1).
(2)由f(3)=1得log2(32+a)=1,所以9+a=2,解得a=-7.
答案
(1)D
(2)-7
热点二 函数的图象及应用
【例2】
(1)(2018·浙江卷)函数y=2|x|sin2x的图象可能是( )
(2)已知函数f(x)=
的部分图象如图所示,则a+b+c=( )
A.-6B.6C.-3D.3
解析
(1)设f(x)=2|x|sin2x,其定义域关于坐标原点对称,又f(-x)=2|-x|·
sin(-2x)=-f(x),所以y=f(x)是奇函数,故排除选项A,B;令f(x)=0,则sin2x=0,所以x=
(k∈Z),故排除选项C.故选D.
(2)由直线x=2,x=4,知ax2+bx+c=a(x-2)(x-4).
又由二次函数y=ax2+bx+c的对称性和图象知顶点为(3,1).则a=-1,故b=6,c=-8,则a+b+c=-3.
答案
(1)D
(2)C
探究提高 1.已知函数的解析式,判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,以及函数图象上的特殊点,根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.
2.
(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
【训练2】
(1)(2017·全国Ⅲ卷)函数y=1+x+
的部分图象大致为( )
(2)(2018·贵阳质检)已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:
当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)( )
A.有最小值-1,最大值1
B.有最大值1,无最小值
C.有最小值-1,无最大值
D.有最大值-1,无最小值
解析
(1)法一 易知g(x)=x+
为奇函数,其图象关于原点对称.所以y=1+x+
的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度,选项D满足.
法二 当x=1时,f
(1)=1+1+sin1=2+sin1>2,排除A,C.又当x→+∞时,y→+∞,B项不满足,D满足.
(2)画出y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,它们交于A,B两点.由“规定”,在A,B两侧,|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之间,|f(x)|综上可知,y=h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值.
答案
(1)D
(2)C
热点三 函数的性质与应用
考法1 函数的奇偶性、周期性
【例3-1】
(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=ln(
-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=________.
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.
解析
(1)设g(x)=f(x)-1=ln(
-x),则g(x)为奇函数.由f(a)=4,知g(a)=f(a)-1=3.∴g(-a)=-3,则f(-a)=1+g(-a)=-2.
(2)∵f(x+4)=f(x-2),∴f(x+6)=f(x),则T=6是f(x)的周期.
∴f(919)=f(153×6+1)=f
(1),
又f(x)在R上是偶函数,
∴f
(1)=f(-1)=6-(-1)=6,即f(919)=6.
答案
(1)-2
(2)6
考法2 函数的单调性与最值
【例3-2】
(1)(2018·湖北名校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(32a-1)≥f(-
),则a的最大值是( )
A.1B.
C.
D.
(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a
C.b解析
(1)f(x)在R上是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,由f(32a-1)≥f(-
)=f(
),∴32a-1≤
,则2a-1≤
,∴a≤
.故a的最大值是
.
(2)法一 易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数,
∵奇函数f(x)在R上是增函数,且f(0)=0.
∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.
又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),
∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8),则c>a>b.
法二 (特殊化)取f(x)=x,则g(x)=x2为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,又3>log25.1>20.8,
从而可得c>a>b.
答案
(1)D
(2)C
探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.
2.函数单调性应用:
可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.
【训练3】
(1)(2018·烟台二模)已知奇函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,f(2-x)=f(x),若当x∈[0,1]时f(x)=log2(x+1),则f
=( )
A.-
B.
C.-1D.1