八个有趣模型搞定空间几何体的外接球和内切球.docx
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八个有趣模型搞定空间几何体的外接球和内切球
八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：
找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2=a2•b2•c2，即2R^-!
a2b2c2，求出R
例1
（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
A.16：
B.20二C.24二
解：
（1）V=a2h*6,a=2,4R2=a2a2h2=4416=24,S=24二，选C；
（2）4R2=333=9,SFR2=9；
（3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM_MN,若侧棱SA=2・..3,则
正三棱锥S-ABC外接球的表面积是。
36：
解：
引理：
正三棱锥的对棱互垂直。
证明如下：
如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD,AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角
形ABC的中心，SH_平面ABC,SH_AB,
AC二BC,AD二BD,CD_AB,AB_平面SCD,
-AB_SC，同理：
BC_SA,AC_SB,即正三棱锥的对棱互垂直,
本题图如图（3）-2,AM_MN,SB//MN,
AM_SB,AC_SB,SB_平面SAC,
SB_SA,SB_SC,SB_SA,BC_SA,
-SA—平面SBC,SA—SC,
故三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，
-（2R）2=（2*3）2（2一3）2（2.3）2=36，即4R2=36,
-正三棱锥S-ABC外接球的表面积是36二
（4）在四面体S-ABC中，SA_平面ABC,ZBAC=120,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接
球的表面积为（D）A.11二B.7二
（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为
1040
C.D.—
33
6、4、3，那么它的外接球的表面积是
（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为何体外接球的体积为
1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几
解析：
（4）在ABC中，BC=AC2AB-2ABBCcos120=7，
BC「7，ABC的外接球直径为
，选D
（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为
a,b,c（a,b,cER+），则
ab=12
22222
bc=8，abc=24，a=3，b=4，c=2，（2r）=abc=29，s=4二R=29二，
ac=6
（6）（2R）2
2
二a
■b2c
2=3,R2
3
—?
.3
R二——
4
2
43
4
3V3
.3
VR二
—H
JT
3
3
8
2，
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：
如图5,PA_平面ABC
解题步骤：
第一步：
将」ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，贝UPD必过球心O;
第二步：
O1为ABC的外心，所以OO1_平面ABC，算出小圆Q的半
径O1D二r（三角形的外接圆直径算法：
利用正弦定理，得
sinAsinB
+=2r）,
sinC
OO1JpA；
2
第三步：
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①
222
（2R）二PA（2r）=
2R=.PA2（2r）2；
②R2二r2OO12二R»r200：
2.题设：
如图6,7,8,P的射影是ABC的外心二三棱锥P-ABC的三条侧棱相等二三棱锥P-ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点
第一步：
确定球心
0的位置，取ABC的外心01，则P,0。
三点共线;
第二步：
先算出小圆01的半径A0^r，再算出棱锥的高P0^h（也是圆锥的高）
第三步：
勾股定理：
0A2=0iA29i02=R2=（h-R）2r2，解出R
方法二：
小圆直径参与构造大圆。
例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）C
16兀
A.3二B.2二C.D.以上都不对
3
解：
选C,（.3-R）21二R2,3-23RR21二R2,4-2-3R=0,
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
1题设：
如图9-1，平面PAC_平面ABC，且AB_BC（即AC为小圆的直径）
第一步：
易知球心0必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC=2r；
第二步：
在APAC中，可根据正弦定理—bc2R，求出R
sinAsinBsinC
2.如图9-2，平面PAC_平面ABC，且AB_BC（即AC为小圆的直径）
OC2=OiC2OiO2=R2=r20i02=AC=2.R2-OQ2
3•如图9-3，平面PAC_平面ABC，且AB_BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心二三棱锥P-ABC的三条侧棱相等三棱P-ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆
锥的顶点解题步骤：
第一步：
确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则PQ,。
^!
三点共线；
第二步：
先算出小圆O1的半径AO^r，再算出棱锥的高PO^h（也是圆锥的高）；
第三步：
勾股定理：
OA2=OiA2，OiO2=R2=（h-R）2r2，解出R
4•如图9-3，平面PAC_平面ABC，且AB_BC（即AC为小圆的直径），且PA_AC，贝U
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①（2R）2=PA2•（2r）2：
=2RffPA2•（2r）2；
②R2=r2OOj=RYr2OO,
例3（i）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为i，底面边长为2.3，则该球的表面积为。
（2）正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_
解：
（i）由正弦定理或找球心都可得2R=7,s=4「：
R2=49「：
4兀
（2）方法一：
找球心的位置，易知r=1,h=1,h=r,故球心在正方形的中心ABCD处，R=1,V=—
3方法二：
大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是-SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，
4兀
2R=2,R=1,V=
（3）在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=.3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60',则该三棱锥外
接球的体积为（
题设：
如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：
确定球心0的位置，01是ABC的外心，则00—平面ABC；
11亠
第二步：
算出小圆01的半径A0"i=r,001AA1h（AA-^=h也是圆柱的咼）；
22
第三步：
勾股定理：
0A2=0小2+01。
2二R2=（»）2+r2二R=Jr2+』）2，解出R
2V2
例4
（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
9
且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为
8
1
解：
设正六边形边长为a，正六棱柱的咼为h，底面外接圆的关径为r，则a二一,
2
底面积为S=6出（丄）2=口,V柱二h,■h,r2=（3）2（丄）2=1,
4288822
R=1，球的体积为V=4…
（2）直三棱柱ABC-ABC的各顶点都在同一球面上，若AB二AC二AAi=2,.BAC=120，则此球的表面积等于。
厂2J3厂
解：
BC=2?
3，2r4，r=2，R=〔5，S=20二
sin120'
（3）已知.EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，
EA=EB=3,AD=2,.AEB=60，则多面体E-ABCD的外接
球的表面积为。
16：
解析：
折叠型，法一：
：
EAB的外接圆半径为.3，OO^1，
——3.132313
.13=2；法二：
O1M，r2=O2D，R24，R=2，S=16二
2244
（4）在直三棱柱ABC-A^G中，AB=4,AC=6,A,AA^4则直三棱柱AB^A1B1C1的外接球
3
的表面积为。
160二
3
BC=2.7，
21
解析：
BC2=1636-24628，
2
28
40
160
4
S=-
3
3
3
AA]2
（T）
类型五、折叠模型
题设：
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）
第一步：
先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H2
第二步：
过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC；
222
第三步：
解OEH1，算出OH1，在RtOCH1中，勾股定理：
OH1，CH1=OC
例5三棱锥P-ABC中，平面PAC_平面ABC，△PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为
解析：
2r^2r224，
12sin60J3
21
3，°2H1.3，
22
R=O2H
，r
333
法二：
O2H
AH-1
C
r2=AO2=AH2O1H2O1O2
.15
3
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：
三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径第一步：
画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
（AB二CD,AD二BC,AC二BD）
第二步：
设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD二BC二x，AB二CD二y，AC二BD二z，列方程组,
a2
«b2
2
c
b2
c2
a2
2
二x
222,22
=y=（2R）=abc=
2
=z
补充：
Va_BCD
11
=abcabc4abc
63
第三步：
根据墙角模型,
2R二a2b2c2
x2y2z2
2
222
xyz
，求出R，
8
例如，正四面体的外接球半径可用此法。
例6
（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若
个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是
（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为
在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
A.口B.£
43
解：
（1）截面为PCO,，面积是2；
（2）高h=R=1，底面外接圆的半径为
a
设底面边长为a，则2R2，
sin60
1J3
三棱锥的体积为VSh二
34
1的球面上，其中底面的三个顶点
■3
12
r=1，直径为
2R=2，
a「3，S二三a2二空，
44
⑴题解答图
（3）在三棱锥A-BCD中，AB二CD=2,AD二BC=3,AC二BD=4,则三棱锥A-BCD外接球的表
面积为。
一二
2
解析：
如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2b^9,
2222222222
bc=4，ca=16.2（abc）=9416=29，2（abc）=9416=29，
题设：
•APB=/ACB=90，求三棱锥P-ABC外接球半径（分析：
取公共的斜边的中点O，连接
OP,OC，则OA=OB=OC=OP二*AB，■O为三棱锥P-ABC外接球球心，然后在OCP中求出
半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定
值。
则四面体ABCD的外接球的体积为（）
解析：
（2）BD的中点是球心O，2R=BD=』13，s=4二R2=13二；
第二步：
设内切球的半径为r，建立等式：
Vp^bc二Vojbc-Vo_pab-V^PACVo_PBC^'
习题:
1.若三棱锥s-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的外接球半径为（）
A.3B.6C.36D.9
解：
【A（2R）2=_416•16=6,R=3
【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】
2.三棱锥S-ABC中，侧棱SA_平面ABC，底面ABC是边长为■.3的正三角形，SA=2・.3，则该三
棱锥的外接球体积等于
32■
8二
3
I322
解析：
2r2,（2R）=472=16,R=4,R=2，外接球体积
sin60
【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】
2，则该三棱锥的外接球体积等
3.正三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为
于•
解析：
242
ABC外接圆的半径为，三棱锥S-ABC的直径为2R，外接球半径R=-,
sin60v'3<3
或R2=（^,3）21,R=2，外接球体积V=4二R3=4忠•—832王,
V3333327
4•三棱锥P_ABC中，平面PAC_平面ABC,△PAC边长为2的正三角形，AB_BC，则三棱锥P-ABC外接球的半径为
解：
AC是公共的斜边，AC的中点是球心O，球半径为R=1
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