届九年级数学下册第二章23垂径定理练习新版湘教版.docx

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届九年级数学下册第二章23垂径定理练习新版湘教版

　垂径定理

基础题　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　垂径定理

．（长沙中考改编）如图，在⊙中，弦＝，圆心到的距离＝，则⊙的半径长为（）

．．

．如图，是⊙的弦，⊥于，交⊙于，则下列说法错误的是（）

．＝．∠＝∠

＝．＝

．如图，在⊙中，直径垂直于弦.若∠＝°，则∠的度数是（）

．°．°．°．°

．如图，是⊙的弦，半径⊥于点.若⊙的半径为，＝，则的长是（）

．．．．

．如图，是⊙的直径，弦⊥于点，＝，＝，则＝.

．（教材例变式）如图，在⊙中，直径垂直弦于点，＝，＝，则的长为．

．如图，是⊙的直径，弦⊥于点，点在⊙上，恰好经过圆心，连接.若＝，＝，求⊙的直径．

解：

∵⊥，＝，

∴＝＝.

设＝，∵＝，

∴＝（－）＋.

解得＝.

∴⊙的直径是.

知识点　垂径定理的实际应用

．（教材习题变式）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径＝，截面圆圆心到水面的距离是，则水面宽是（）

．

．

．

．

．如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度＝，弓形的高＝，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆的半径.

解：

由题意，知＝＝.

∵＝，∴＝－.

∵⊥，

∴＝＝×＝.

在△中，＋＝，

即（－）＋＝.解得＝.

∴圆的半径为.

易错点　忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”

．下列说法正确的是（）

．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧

．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心

．过弦的中点的直径垂直于弦

．平分弦所对的两条弧的直径平分弦

中档题

．如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）

．．．

．（·枣庄）如图，是⊙的直径，弦交于点，＝，＝，∠＝°.则的长为（）

．．．

提示：

过点作⊥于，连接＝，＝，则＝＝，则＝，又∠＝∠＝°，∴＝，＝＝，在△中，＝＝，∴＝＝.

．如图，以点为圆心的圆弧与轴交于，两点，点的坐标为（，），点的坐标为（，），则点的坐标为（，）．

．（·黄冈）如图，△内接于⊙，为⊙的直径，∠＝°，弦平分∠.若＝，则＝．

．（·孝感）已知⊙的半径为，，是⊙的两条弦，∥，＝，＝，则弦和之间的距离是或.

．（·安徽）如图，⊙为锐角△的外接圆，半径为.

（）用尺规作图作出∠的平分线，并标出它与劣弧的交点；（保留作图痕迹，不写作法）

（）若（）中的点到弦的距离为，求弦的长．

解：

（）画图如图所示．

（）∵平分∠，

∴＝.

连接，，，则⊥于点，＝.

在△中，由勾股定理可得，

＝＝＝.

在△中，由勾股定理可得，

＝＝＝.

．如图，为⊙的直径，弦交于点，连接，.

（）求证：

△∽△；

（）若⊥，＝，＝，求⊙的半径．

解：

（）证明：

根据“同弧所对的圆周角相等”，

得∠＝∠，∠＝∠，

∴△∽△.

（）∵⊥，为圆心，

∴＝＝.

设⊙的半径为，∵＝，则＝－.

∴在△中，由勾股定理，得＋＝，

即（－）＋＝，解得＝.

∴⊙的半径为.

综合题

．如图，已知∠＝°，为边上一点，以为圆心，为半径作⊙，交于，两点，设＝.当为何值时，⊙与相交于，两点，且∠＝°？

解：

过点作⊥于点.

∵∠＝°，＝＝，

∴∠＝°，

＝＝.

∵⊥，∴＝＝，∠＝°.

∴∠＝∠.

∴＝＝.

∵∠＝°，∴＝＝.

∴＝－，

即当＝－时，∠＝°.

小专题（五）　与圆的基本性质有关的计算与证明

．已知：

如图，，，，是⊙上的点，∠＝∠，＝.

（）求证：

＝；

（）求的长．

解：

（）证明：

∵∠＝∠，

∴＝，

∴＋＝＋.

∴＝.

（）∵＝，

∴＝.

∵＝，

∴＝.

．，是⊙上的两个定点，是⊙上的动点（不与，重合），我们称∠是⊙上关于点，的滑动角．已知∠是⊙上关于点，的滑动角．

（）若是⊙的直径，则∠＝°；

（）如图，若⊙的半径是，＝，求∠的度数．

解：

连接，，.

∵⊙的半径是，即＝＝，

又∵＝，

∴＋＝.

由勾股定理的逆定理可得，∠＝°.

∴∠＝∠＝°.

．如图，是⊙的直径，，两点在⊙上．若∠＝°.

（）求∠的度数；

（）若∠＝°，＝，求⊙的半径．

解：

（）连接.

∵∠＝°，

∴∠＝∠＝°.

∵是⊙的直径，

∴∠＝°.

∴∠＝°.

（）连接.

∵是⊙的直径，

∴∠＝°.

∵∠＝∠＝°，＝，

∴＝.

∴⊙的半径为.

．如图，，，，是圆上的四个点，∠＝∠＝°，，的延长线相交于点.

（）求证：

△是等边三角形；

（）若∠＝°，＝，求的长．

解：

（）证明：

∵，，，是圆上的四个点，

∴∠＝∠，∠＝∠.

∵∠＝∠＝°，

∴∠＝∠＝°.

∴∠＝°.

∴△是等边三角形．

（）∵△是等边三角形，

∴∠＝°，＝＝＝.

∵∠＝°，∴∠＝∠＝°.

∴＝＝.

∵四边形是圆内接四边形，∠＝°，

∴∠＝∠＝°.

在△中，＝＝＝.

．如图，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度＝米，桥拱到水面的最大高度为米．求：

（）桥拱的半径；

（）现水面上涨后水面跨度为米，求水面上涨的高度为多少米？

解：

（）过点作⊥于点，延长交圆于点，则由题意得＝.

由垂径定理知，

点是的中点，＝＝＝米，

＝－＝－，

由勾股定理知，＝＋＝＋（－）.

设圆的半径是，

则＝＋（－），

解得＝.

即桥拱的半径为米．

（）设水面上涨后水面跨度为米，

交于，连接，

则＝＝＝米，

∴＝＝（米）．

∵＝－＝（米），

∴＝－＝米．

．已知△，以为直径的⊙分别交，于点，，连接.若＝.

（）求证：

＝；

（）若＝，＝，求的长．

解：

（）证明：

∵＝，

∴∠＝∠.

∵∠＋∠＝°，∠＋∠＝°，

∴∠＝∠.

∴∠＝∠.∴＝.

（）连接，∵为直径，

∴⊥.

由（）知，＝，

∴＝＝＝.

在△与△中，

∵∠＝∠，∠＝∠，

∴△∽△.

∴＝.

∴·＝·.

∵＝＝，

∴×＝.

∴＝.

．如图，在△中，＝＝，以为直径的⊙分别交，于点，，且点为的中点．

（）求证：

△为等边三角形；

（）求的长；

（）在线段的延长线上是否存在一点，使△≌△，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

解：

（）证明：

连接.

∵是⊙的直径，

∴∠＝°.

∵点是的中点，

∴是线段的垂直平分线．

∴＝.

∵＝，∴＝＝.

∴△为等边三角形．

（）连接.

∵是直径，∴∠＝°.

∴⊥.

∵△是等边三角形，

∴＝，即为的中点．

∵是的中点，故为△的中位线，

∴＝＝×＝.

（）存在点使△≌△，

由（）（）知，＝，

∵∠＝°，∥，∴∠＝°.

∵∠＝°，∴∠＝°.

∴∠＝∠.

要使△≌△，只需＝＝.