考研数学一真题与答案.docx

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考研数学一真题与答案

2010年考研数学一真题

一、选择题（1〜8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）

⑴极限皿—［金而］_

（A）l（B）e

（C）ea~b（D）eb~a

【考点】Co

【解析】【方法一】

这是一个“I00”型极限

Um[——lx

（x-a）（x+b）（a-b）x+abj（a-D）x+adJ（x-a）（x+b）X

【方法二】

原式="Hl評”（x-a）（"b）

XT8

rfii/imxln=limx/n（l+

xt8（x-a）（x+&）xt8（x-a）（x+&）

【方法三】

对于“18”型极限可利用基本结论:

若Mma（x）=0,lim0（x）=0,且"ma（x）0（x）=A

由于"misQ（x）0（x）=Um曽；驚；；）•xXT8（x-a）（x+fc）

■•（a-b）x2^abxf

=恐乔亦Li则叫g[高而F=宀

【方法四】

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学一函数、极限.连续一无穷小量的性质及无穷

小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限

（D）-z

（A）x

（C）-x

【答案】Bo

【解析】

因为

空=_鱼=_只（-召）+E（一刼=Eg+f茫缺F；磅叫9

dz

°y

所以唏+y辭警現F,

yfi-珈

综上所述，本题正确答案是（B）。

【考点】高等数学一多元函数微分学一多元函数的偏导数和全微

（3）设m,ri为正整数，则反常积分的收敛性

【解析】

本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在xt0+

lim

XT0+

在反常积分中，被积函数只在"0+时无界。

由于勺囂-小n°,

且反常积分a备收敛，所以a“w必收敛

22

综上所述，无论取任何正整数，反常积分匸%常F必收敛。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学一一元函数积分学一反常积分

（4）/unn->ooXJLiZ;=i（n+i）（以+/2）

【答案】Do【解析】

因为

"mHYn=i_^_="叫T8器15：

7=1n（1+i）n"（1+（z）2）

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分与三重积分的概

念、性质、计算和应用

⑸设力为mxn矩阵，B为nxm矩阵，E为m阶单位矩阵，若

AB=E,则

（A）秩r（4）=m,秩r（B）=m（B）秩r（4）=m,秩r（B）=n

（C）秩r（/l）=m,秩r（B）=m（D）秩rQ4）=n,秩r（B）=n

【答案】Ao

【解析】

因为AB=E%m阶单位矩阵，知r（AB）=m

又因r（4£?

）

m

另一方面，A为mxn矩阵，B为nxm矩阵，又有

r（i4）

可得秩r（4）=m,秩r（B）=m

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】线性代数一矩阵一矩阵的秩

（6）设4为4阶实对称矩阵，且护+力=o,若川的秩为3,则力相似于

1

1

（A）

1

1

（B）

1

-1

0.

0.

■■

1

■■

-1

（C）

-1

-1

（D）

-1

-1

0.

0

【答案】Do

【解析】

由4a=Aa,a丰0知4"^=2na,那么对于4?

+4=0推出来

（A2+A）a=0=>A2+A=0

所以4的特征值只能是0、-1

再由力是实对称矩阵必有A〜A,而A是4的特征值，那么由“力）=3,

可知D正确

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】线性代数一特征值与特征向量一实对称矩阵的特征值、

特征向量及其相似对角矩阵

（

0,x<0,

扌，0l.

1}=

（A）0

（B耳

（D）l-e-1

【答案】Co【解析】

11

P{X=1}=F（l）—F（1—0）=1—€一丄——=g—i

2综上所述，本题正确答案是C。

【考点】概率论与数理统计一随机变量及其分布一随机变量分布

函数的概念及其性质

（8）设/i（x）为标准正太分布的概率密度，£（x）为[-1,3]±均匀分布得

概率密度，若

为概率密度，贝忆”应满足

xvo

_J（a>0fb>0）

x>0/>

（A）2a+3b=4

（B）3a+2b=4

（C）a+b=1

（D）a+b=2

【答案】Ao

【解析】

根据密度函数的性质

好/（O加（1+鬥一皿（山2）

dxxf（t）—

/1（X）为标准正态分布的概率密度，其对称中心在x=0处，故

EU）为［-13上均匀分布的概率密度曲数，即

综上所述，本题止确答案是A。

［考点】概率论与数理统计一随机变量及其分布一连续型随机变

最的概率密度，常见随机变最的分布

二、填空题（9〜14小题，每小题4分，共24分。

）

【解析】

【方法一】

d2ydr…1“2tn

d^=di[~eln（1+t）],r（o=e【e十Zn（1+t）]

【方法二】

由参数方程求导公式知，

d2y\_y"（O）0（O）一x〃（0）y，（0）丽L。

=

xz（t）=—e一：

尢〃（t）=e_t,x'（0）=—l,xn（0）=1

代入上式可得g|fO=0o

【方法三】

由x=e-t得，t=-Inx,则

r-lnx

In（1+u2）duo

学=一打71（1+加2小

axx

d2y1o2lnx

"3_2=~2"（1+加x）—J—2~]

dx2x2L1+Zn2xJ

当r=o时x=1,则"y

【考点】高等数学一一元函数微分学一基本初等函数的导数，复

合换数、反西数.隐两数以及参数方程所确定的函数的微分法

（10）Qyjxcosy/xdx=o

【答案】—411。

【解析】

令V7=匚则x=t2fdx=2tdt

r托2/•7Tr7T

Iy/xcosy/xdx=I2t2costdt=2It2dsint=Jo丿0丿0

=2t2sint\Q一4Qtsintdt

=4tcost\o-4costdt=-4tt

综上所述，本题正确答案是-4兀。

【考点】高等数学一一元函数积分学一基本积分公式，不定积分

和定积分的换元积分法与分部积分法

（11）已知曲线厶的方程为y=1-M.xe[-1,1],起点是（-1,0）,终点是

（1,0）,则曲线积分丄xydx+x2dy=。

【答案】0。

【解析】

如图所示L=s+其中

+x2dy+fLxydx+x2dy

厶i：

y=1+〔（-1

y=1-x,（0

所以hxydx+x2ciy=fxydx

Lji

=+x）+x2]dx+J^[x（l+x）—x2]dx

=J：

[2x?

+x]dx+f^[x—2x2]dx=0

综上所述，本题正确答案是0。

【考点】高等数学一多元函数积分学一两类曲线积分的概念、性质及计算

（12）设0={（x,y,z）\x+y2

【答案】

【解析】

zdxdydz_fonde^rdrfr2zdz

Z~fffndxdydz~f^dOf^rdrf^dz

__C（T-|0de

nn

22

112

013

00a—6

000.

所以可得Q—6=Ofa=6

综上所述，本题正确答案是6。

【考点】线性代数一向量一向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩

之间的关系，向量空间及其相关概念

（14）设随机变量X的概率分布为P{X=M==0,1,2,…,则EX?

=

【答案】2o

【解析】

泊松分布的概率分布为P{X=k}=^-e~A,k=0,1,2,…,

KI

随机变量X的概率分布为P{X=町=和=0,1,2,…fv•

对比可以看出C=〜P（l）

所以EX=DX=1,而EX2=DX+（EX）2=1+l2=2

综上所述，本题正确答案是2。

［考点】概率论与数理统计一随机变量及其分布一常见随机变疑

的分布;

概率论与数理统计一随机变量的数字特征一随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质

三、解答题：

15〜23小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）求微分方程y〃-3/+2y=的通解

【解析】

由齐次微分方程y〃一3yr+2y=0的特征方程

A2—3A+2=0=>=1,久2=2

所以，齐次微分方程y〃-3y'+2y=0的通解为y=CrexC2e2x

设微分方程y〃一3y，+2y=的特解为

y—x（ax+b）ex

则

（y）=（ax2+2ax+bx+b）ex

（y）"=（a*+4ax+bx+2a+2b）ex

cl=—l，b=—2

故特解为

=x{—x—2）eA

所以原方程的通解为

y=歹+y"=CYex+C2e2x+x（—x—2）ex

【考点】高等数学一常微分方程一二阶常系数齐次线性微分方程,

简单的二阶常系数非齐次线性微分方程

2

（16）求函数/Xx）=J：

（x2-t）e~t2dt的单调区间与极值

【解析】

函数/•（"）的定义域为（—8,+00）,

x2x2

=x2Je~t2dt—Jte~t2dt

x2

/（x）=J（x2—t）e~t2dt

x2x2

厂（x）=2xJe~t2dt+Zx2e~x^—2x3e_Jf4=2xJe~t2dt

令厂（x）=0,得x=Qfx=±1,列表如下

X

-1

（-1，0）

0

（0,1）

1

（1，+8）

fM

—

0

+

0

—

0

+

r（x）

极小

/

极人

极小

/

由上可知，f（x）的单调增区间为（一匕0）和（1,+8）；f（x）的单调减

【*・|uj为（一8p—1）和（0/1）,

极小值为

/（±1）=J（x2—t）e~t2dt=0

极人值为

【考点】高等数学一一元函数微分学一基本初等函数的导数，函

数单调性的判別函数的极值

其导数

（17）

（I）比较f^\lnt\[ln（1+切"必与瞪tn\lnt\dt（n=1,2,…）的大小，

说明理由；

（II）记知=f^\lnt\[ln（1+t）]ndt（n=1,2,…）,求极®Zi7Hn^oouno

【解析】

仃）当OStSl时，因05加（l+t）5t,所以

0<\lnt\[ln（1+t）]n

所以有f^\lnt\[ln（1+t）]ndt

由上可知，

0

JoJo

tn\lnt\dt=-f"tnlntdt=-—Int=—

J011J0n+lon+1J0（n+1）

所以Jq1tn\lnt\dt=0

由夹逼定理可得Zim^oou„=0

【方法二】

由于为单增函数，则当tG［0,1］时,In（1+t）

0

丿o丿o

f\lnt\dt=—[Intdt=+（dt=1

Jo丿0丿0

乂limlnn2=0,由夹逼定理^n/imzwooun=0

MT8

【方法三】

己知

0

JoJq

1

因为”叫*+竿="叫-0+-4-=o,且rim在（o,i］上连续，则t产

在（0,1］上有界，从而存在M>°使得°「曲I'M

则^tnUnt|dt

由"m巴=0及夹逼定理知"尬心8Wn=°

H—>00M

［考点］高等数学_函数、极限、连续_极限存在的两个准则:

单调有界准则和夹逼准则

高等数学_一元函数枳分学一定积分的概念和基本性质（18）求辛级数Zn=i^rrx2n的收敛域及和函数。

【解析】

即-1VXV1时，原幕级数绝对收敛

（-叱,由莱布尼茨判别法显然收敛，故

2H-1

%2<1=>-1

X=±1时，级数为》囂1原幕级数的收敛域为

7nV*oo^2n-l又Trrx=x^=1Whx

令f（x）辺蒿船（71）则厂（X）=Xn=l（-l）n_1^（n_1）=缶所以/'（X）=J；厂（t）dt=acrtanx+C由于f（0）=0,所以c=0

所以f（X）=arctanx

所以幕级数的收敛域为［一1,1】，和函数^arctanx.x“一1,1］。

［考点］高等数学_无穷级数一幕级数及其收敛半径、收敛区间

法，初等凶数的幕级数展开式

（19）设P为椭球面S:

x2+y2+z2-yz=1上的动点，若S在点P处的

切线平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C,并计算曲面积分7=堆帶梟辽其中工是椭圆球面S位于曲纟如上方的部分。

【解析】

求轨迹C

令F（x,y,z）=x2+y2+z2-yz-1,故动点P（x,y,z）的切平面的

法向量为

n={2x,2y—z92z—y}

又已知P为椭球面S:

*2+y2+z2-yz=1上的动点，所以产+严"片f+护=i为p的轨迹c

（2z-y=0（2z-y=0

再计算曲面积分

因为曲线C在"y面的投影为S：

x2+打2=1

又对方程《+y2+z2_%=1两边分别对X,y求导可得

dzdzdzdz

2x+2z£-y£=0f2y+2z--z-y—=0解之得空=2L,竺=出

dxy-2zdyy-2z

dS=+z?

+zjdxdy=Jl+（念严+（^^）2dxdy

J4x2+5y2+5z2-8yz,fJ4+y2+z2-4yz..

|y-2z|

一dxdy=,y-2zidxdy

2n

=ffDxydxdy=a/3X7TX1x^=

【考点】高等数学一多元函数积分学一两类曲面积分的概念、性

质及计算

711

a

（20）设A=

0A-10

b=

1

.已知线性方程组4%=b存在2个

.11入

1

不同的解

（I）求Afa；

（II）求方程组Ax=b的通解。

【解析】

（I）因为已知线性方程^Ax=b存在2个不同的解，所以

r（A）=r（4）＜n

故|4|=0A-10=（久一1）（：

=（久+1）（久-I）2=0

11A1A

知人=1,-1

当久=1时，

_IllaA=000:

1z

.1111.

显然r（A）=l,r（4）=2,此时方程组无解，X=1舍去，

当久=_1时,

因为力％=b仃解，所以a=—2

BP，A=—1>a=—2（II）A=—1,a=—2时，已知

■

3

1

0

-1

2

0

1

0

1

0

0

0

~2

0

—»

所以Ax=b的通解为

3

1

-1

+k

0

.0.

.1.

1

X=2

其中k为任意常数。

【考点】线性代数一线性方程组一非齐次线性方程组有解的充分

必要条件，非齐次线性方程组的通解

（21）己知二次型f（xlfx2fx3）=F/U在正交变换％=Qy下的标准形

为儿2+琢,且Q的第三列为（¥。

¥卩

（I）求矩阵4；

（II）证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵。

【解析】

⑴二次型/（xlfx2,x3）=%仃U在正交变换％=Qy卜•的标准形为yx2+y22,可知二次型矩阵4的特征值是14,0o

又因为Q的第三列为（乎,0,乎）了，可知口3=（1,0,1/是矩阵4在特

征值;I=0的特征向量。

根据实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，设A关于

久1=久2=1的特征向量为0=（X1,X2,X2y,

则aTa3=0,即X]+x3=0

=（04,0）r,a2=（-1A-1）7

（II）由于矩阵力的特征值是140那么力+E的特征值为2,2,1,因为

力+E的特征值全大于0,所以力+E正定。

【考点】线性代数一二次型一二次型及其矩阵表示，二次型的秩,

二次型的标准形和规范形，二次型及其矩阵的止定性

（22）设二维随机变V）的概率密度为

/（%,y）=Ae~2x2^2xy~y2,-oo

求常数A及条件概率密度fYlx（y\x）o

【解析】

广8f+0°22

fx（x）=f（XJ）dy=辰一2/+2卩-hdy

丿一8丿—8

+8€_（yWdy=Ae^x2

-00

乂1=fxMdx=A\/nex2dx=An

r+8

Ie_（y_v）2dy=Ayjne~x2

丿一8

即4=-

n

当斤（x）>0,等价于一8

加帥）=聞=

y）?

【考点】概率论与数理统计一多维随机变量及其分布一二维连续

型随机变虽的概率密度.边缘概率密度和条件密度，常用二维随机变戢的分布

（23）设总体X的概率分布为

X

1

2

3

p

1-0

e-o2

e2

其中参数8G（0,1）未知，以M表示来自总体X的简单随机样本（样

本容量为n）中等于i的个数（i=1,2,3）,试求常数a19a29a3使

【解析】

记Pi=1—0,p2=0—62,p3=胪,则~B（n,pJi=1,2,3故ER=npi

3

FT=YENi=n[ai（l一8）+a2（fi-02）+a302]

i=l

要令T=为&的无偏估计量，则有

n[flj（1—8）+。

2（&—&彳）+乃毋]

=nat+n（a2—«i）0+n（a3—a2）02=0

可得

此时，T=二也+心），由于MM“故

T——（“2+NJ=-（H—NJ=1

因为叫~B（儿pAN]~B（rU-8）,所以

【考点】概率论与数理统计一参数估计一估计量的评选标准，区间估计的概念，单个正态总体的均值和方差的区间估计

1

已知反常积分f^dx收敛，则#助带）心也收敛。