教案北师大八年级下第一章三角形的证明.docx
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教案北师大八年级下第一章三角形的证明
三角形的证明
教学目标
了解作为证明基础的公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式
重点、难点
能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理
教学内容
1.等腰三角形
一、主要知识点
1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等,对应角相等。
2、等腰三角形的有关知识点。
等边对等角;等角对等边;等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(三线合一)
3、等边三角形的有关知识点。
判定:
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;
三条边都相等的三角形是等边三角形;
三个角都是60°的三角形是等边三角形;
有两个叫是60°的三角形是等边三角形。
性质:
等边三角形的三边相等,三个角都是60°。
4、反证法:
先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法
二、重点例题分析
例1:
如下图,在△ABC中,∠B=90°,M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC,交∠ABC的平分线于点D,求证:
MD=MA.
例2如右图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:
AE=CD.
例3:
如图:
已知AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,
求证:
①AC=AD;②CF=DF。
例4如图1、图2,△AOB,△COD均是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90º,
(1)在图1中,AC与BD相等吗?
请说明理由
(2)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达力2的位置,请问AC与BD还相等吗?
为什么?
例5如图,在△ABC中,AB=AC、D是AB上一点,E是AC延长线上一点,且CE=BD,连结DE交BC于F。
(1)猜想DF与EF的大小关系;
(2)请证明你的猜想。
例6证明:
在一个三角形中至少有两个角是锐角.
2.直角三角形
一、主要知识点
1、直角三角形的有关知识。
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形;
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;
在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。
2、互逆命题、互逆定理
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
二、典型例题分析
例1:
说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形;
(2)两直线平行,同旁内角互补;
(3)如果ab=0,那么a=0,b=0;
(4)在一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边相等
例2:
如图,
中,
,求
的长。
例3:
如图所示的一块地,∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积。
例4:
如图,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯足将向外移多少米?
例5:
如图2-5所示.在等边三角形ABC中,AE=CD,AD,BE交于P点,BQ⊥AD于Q.求证:
BP=2PQ.
3.线段的垂直平分线4.角平分线
一、主要知识点
1、线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
2、角平分线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。
3、逆命题、互逆命题的概念,及反证法
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
二、重点例题分析
例1:
(1)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交BC的延长线于M,∠A=
,求∠NMB的大小
(2)如果将
(1)中∠A的度数改为
,其余条件不变,再求∠NMB的大小
(3)你发现有什么样的规律性?
试证明之.
(4)将
(1)中的∠A改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改
例2:
在△ABC中,AB的中垂线DE交AC于F,垂足为D,若AC=6,BC=4,求△BCF的周长。
例3:
如图所示,AC=AD,BC=BD,AB与CD相交于点E。
求证:
直线AB是线段CD的垂直平分线。
例4:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200,D、F分别为AB、AC的中点,
,E、G在BC上,BC=15cm,求EG的长度。
例5:
:
如图所示,Rt△ABC中,,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F。
求证:
BE垂直平分CD。
例6:
:
在⊿ABC中,点O是AC边上一动点,过点O作直线MN∥BC,与
∠ACB的角平分线交于点E,与∠ACB的外角平分线交于点F,求证:
OE=OF
例7、如图所示,AB>AC,
的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作
于E,
,求证:
BE=CF。
相应练习
1、如图,在△ABC中,AB=AC=BC,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q。
求证:
BP=2PQ
2、如图,△ABC中,AB=AC,P、Q、R分别在AB、BC、AC上,
且BP=CQ,BQ=CR。
求证:
点Q在PR的垂直平分线上。
3、如图,△ABC中,AD为∠BAC的平分线,AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F,连接AF。
求证:
∠B=∠CAF
4、
已知:
如图,AB∥CD,∠BAC的角平分线与∠DCA的角平分线交于点M,经过M的直线EF与AB垂直,垂足为F,且EF与CD交于E
求证:
点M为EF的中点