最新北师大七年级下册数学《第4章三角形》全章教案.docx

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最新北师大七年级下册数学《第4章三角形》全章教案

第四章　三角形

教材简析

本章的主要内容有三角形的有关概念、三角形的三边关系、三角形的内角和、三角形的稳定性、全等三角形的性质与判定、利用尺规作一个三角形与已知三角形全等、利用三角形全等测量距离，三角形全等在实际生活中的应用．

在对三角形的初步认识的基础上，通过观察屋顶框架图引入三角形的有关概念，通过类比和分类讨论学习三角形的角平分线、中线和高，进一步探究三角形全等的条件，进而学会利用三角形全等求距离等．本章是中考的必考内容，主要考查三角形的三边关系、三角形内角和及全等三角形的性质、三角形全等的条件，题型涉及选择题、填空题和解答题，有时会与其他知识综合出现在压轴题中．

教学指导

【本章重点】

三角形的三边关系、全等三角形的性质及三角形全等的条件．

【本章难点】

三角形的三边关系、三角形全等的条件的应用及用尺规作三角形．

【本章思想方法】

1．体会和掌握类比的学习方法，如通过三角形中线的类比，学习三角形的角平分线和高．

2．体会分类讨论思想，如已知等腰三角形的一边长，探究其周长时分类讨论．

3．体会数形结合思想，如三角形全等的条件通过“数”“形”转化，利用三角形测距离通过“数”“形”转化．

4．体会转化思想，如在全等三角形的判定中，常将复杂图形转化到某些三角形中，运用全等的知识解决问题．

课时计划

1　认识三角形4课时

2　图形的全等1课时

3　探索三角形全等的条件3课时

4　用尺规作三角形1课时

5　利用三角形全等测距离1课时

1　认识三角形

第1课时　三角形的内角和

教学目标

一、基本目标

1．通过具体实例，认识三角形的概念及其基本要素，会将三角形按角分类．

2．掌握“三角形三个内角的和等于180°”，能应用三角形内角和解决一些简单的求三角形内角的度数问题，能发现“直角三角形的两个锐角互余”并会利用．

3．通过观察、操作、想象、推理“三角形三个内角的和等于180°”的活动过程，发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力．

二、重难点目标

【教学重点】

三角形三个内角的和等于180°；直角三角形的两个锐角互余．

【教学难点】

探究、发现和验证“三角形三个内角的和等于180°”．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P81～P84的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

（一）三角形

1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2．“三角形”可以用符号“△”表示，如图中顶点是A、B、C的三角形，记作△ABC.△ABC的三边，有时也用a、b、c来表示，如图中，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c来表示．

（二）三角形的内角和

1．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形三个内角的和．

图1　图2

图1：

30°＋60°＋90°＝180°；图2：

45°＋45°＋90°＝180°.

2．探索任意三角形三个内角的和都等于180°.

（1）如图，剪一张三角形的纸片，它的三个内角分别为∠1、∠2和∠3；

（2）将∠1、∠2撕下，按图所示将这两个角拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°；

（3）将∠2、∠3撕下，按下图拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，可得到∠BAC＋∠B＋∠C＝180°；

（4）三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180°.

（三）三角形的分类

1．三角形按内角大小可以分为三类：

锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．

2．

（1）通常，我们用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”．把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边，如图；

（2）直角三角形的两个锐角互余，即上图中∠A＋∠B＝90°.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】如图，DF⊥AB，∠A＝40°，∠D＝43°，则∠ACD的度数是________.

【互动探索】（引发学生思考）DF⊥AB，∠A＝40°→∠AEF＝50°（直角三角形两锐角互余）→∠CED＝50°（对顶角相等），由∠D＝43°→∠ACD＝87°（三角形内角和定理）．

【答案】87°

【互动总结】（学生总结，老师点评）“直角三角形的两个锐角互余”常常和三角形内角和定理综合起来求角的度数．

【例2】如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？

从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

【互动探索】（引发学生思考）（方法一）A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB；（方法二）过点C作AD的垂线，求∠ACB的度数可转化为利用平角为180°来求解．

【解答】（方法一）根据题意，得∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.

因为AD∥BE，

所以∠BAD＋∠ABE＝180°，

所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，

所以∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°，

所以∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°.

即从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.

（方法二）∠ABC的求法同“方法一”中的求法．

如图，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC交BE于点H，则CH⊥BE.

因为∠ACF＝180°－∠FAC－∠AFC＝180°－50°－90°＝40°，

∠BCH＝180°－∠CBH－∠CHB＝180°－40°－90°＝50°，

所以∠ACB＝180°－∠ACF－∠BCH＝180°－40°－50°＝90°.

即从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.

【互动总结】（学生总结，老师点评）由平行线的性质把已知角与三角形的内角相联系，进而利用三角形内角和定理可求出有关角的度数．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．已知一个三角形中一个角是锐角，那么这个三角形是（　D　）

A．锐角三角形　B．直角三角形

C．钝角三角形　D．以上都有可能

2．在△ABC中，BC边的对应角是（　A　）

A．∠A　B．∠B

C．∠C　D．∠D

3．在△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.

4．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为20°，60°，100°.

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B，∠2＝∠3，则图中共有5个直角三角形．

6．如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于点F，交AC于点E.若∠A＝46°，∠D＝50°，求∠ACB的度数．

解：

因为DF⊥AB，所以∠DFB＝90°.

又在△DFB中，∠D＝50°，

所以∠B＝180°－∠DFB－∠D＝40°.

又在△ABC中，∠A＝46°，

所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】探究与发现：

如图1，有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．请写出∠BDC与∠A＋∠ABD＋∠ACD之间的数量关系，并说明理由．

应用：

某零件如图2所示，图纸要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，当检验员量得∠BDC＝145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？

图1　　　　　　　　图2

【互动探索】根据三角形内角和定理探究∠BDC与∠A＋∠ABD＋∠ACD之间的数量关系，然后利用得到的关系求解应用的问题．

【解答】探究与发现：

∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD．理由如下：

因为∠BDC＋∠DBC＋∠DCB＝180°，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋∠ABD＋∠ACD＋∠DBC＋∠DCB＝180°，

所以∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD．

应用：

能，连结BC．

因为∠A＝90°，∠ABD＝32°，∠ACD＝21°，

所以由上述结论，得∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD＝143°.

因为检验员量得∠BDC＝145°≠143°，

所以这个零件不合格．

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题考查了三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．三角形的定义

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

2．三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于180°.

3．三角形按角分类

三角形

4．直角三角形的性质

直角三角形的两个锐角互余．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　三角形的三边关系

教学目标

一、基本目标

1．结合具体实例，认识等腰三角形和等边三角形的概念及基本要素．

2．在度量三角形边长的实践活动中理解三角形三边的不等关系．

3．掌握三角形的三边的不等关系，并能解决相关问题．

4．经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展推理能力和有条理的表达能力．

二、重难点目标

【教学重点】

三角形的三边关系．

【教学难点】

探究三角形的三边关系及灵活应用三边关系解决生活中的实际问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P85～P86的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都相等的三角形叫做等边三角形．

2．三角形的三边关系：

三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边．

3．下列长度的三条线段能否组成三角形？

（1）3,4,8；（不能）

（2）2,5,6；（能）

（3）5,6,10；（能）

（4）5,6,11.（不能）

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）

A．2,3,5　B．4,7,10

C．1,1,3　D．3,4,9

【互动探索】（引发学生思考）根据“三角形任意两边之和大于第三边”逐项判断即可．

A中，2＋3＝5，不能组成三角形；

B中，4＋7＞10，能组成三角形；

C中，1＋1＜3，不能组成三角形；

D中，3＋4＜9，不能组成三角形．

【答案】B

【互动总结】（学生总结，老师点评）判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短线段长度之和大于第三条线段的长度即可．

【例2】用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形．

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？

【互动探索】（引发学生思考）

（1）理解题意，得出等腰三角形的周长是18厘米→列方程求解；

（2）等腰三角形的周长为18厘米→已知边是腰还是底边→分类讨论→得三角形另外两边长→利用三角形三边关系进行判断→得出结论．

【解答】

（1）设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米．

根据题意，得x＋2x＋2x＝18，解得x＝3.6.

所以三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米．

（2）分情况讨论：

①当4厘米长为底边时，设腰长为x厘米，则4＋2x＝18，解得x＝7.

所以等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米．

②当4厘米长为腰长时，设底边长为x厘米，则4×2＋x＝18，解得x＝10.

此时三边长为4厘米、4厘米、10厘米．

而4＋4<10，

所以此时不能构成三角形．

故能围成底边长为4厘米，腰长为7厘米的等腰三角形．

【互动总结】（学生总结，老师点评）当已知等腰三角形的周长和一边长时，需要分类讨论已知的一边长是腰还是底边，再解决问题．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．下列说法：

①等边三角形是等腰三角形；

②三角形任意两边的和大于第三边；

③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；

④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．

其中正确的有（　C　）

A．1个　B．2个　

C．3个　D．4个

2．已知a、b、c为三角形的三边，则|a＋b－c|－|b－c－a|的化简结果是（　D　）

A．2a　B．－2b

C．2a＋2b　D．2b－2c

3．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（　C　）

A．1　B．2　

C．8　D．11

4．已知等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，且它的周长大于14cm，则第三边长为6cm.

5．已知三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于20，求三边的长．

解：

设三角形三边的长分别为x－1，x，x＋1.

根据三角形的三边关系，得x－1＋x＞x＋1，解得x＞2.

因为三角形的周长小于20，

所以x－1＋x＋x＋1＜20，解得x＜.

所以2＜x＜且x为整数，

所以x为3,4,5,6.

当x＝3时，三角形三边长分别为2,3,4；

当x＝4时，三角形三边长分别为3,4,5；

当x＝5时，三角形三边长分别为4,5,6；

当x＝6时，三角形三边长分别为5,6,7.

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．等腰三角形：

有两边相等的三角形．

2．等边三角形：

三边都相等的三角形．

3．三角形的三边关系：

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时　三角形的中线、角平分线

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握三角形的中线、角平分线的定义，认识三角形的重心．

2．能准确画出三角形的中线、角平分线．

3．理解并掌握三角形中线、角平分线的性质．

二、重难点目标

【教学重点】

三角形的中线、角平分线的定义及其性质．

【教学难点】

三角形的中线、角平分线的画法及应用．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P87～P88的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

（一）三角形的中线

1．在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.

2．如图，点D、E、F分别是边BC、AC、AB上的中点．

（1）AB边上的中线是CF，BC边上的中线是AD，AC边上的中线是BE；

（2）因为BE是△ABC中AC边上的中线，

所以AE＝CE＝AC.

因为CF是△ABC中AB边上的中线，

所以AB＝2AF＝2BF.

（二）三角形的角平分线

1．在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线交于一点.

2．

（1）因为BE是△ABC的角平分线，

所以∠ABE＝∠CBE＝∠ABC；

（2）因为CF是△ABC的角平分线，

所以∠ACB＝2∠ACF＝2∠BCF.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

（一）画三角形的中线

如图，线段AD是△ABC中BC边上的中线．

讨论1：

分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系．

作图：

结论：

由作图可得：

（1）三角形的三条中线相交于一点；

（2）锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线都相交于三角形的内部．

（二）画三角形的角平分线

如图，线段AD是△ABC的一条角平分线，图中∠BAD＝∠CAD．

讨论2：

分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系．

作图：

结论：

由作图可得：

（1）三角形的三条角平分线相交于一点；

（2）锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线都相交于三角形的内部．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．如图，在△ABC中有四条线段DE、BE、EG、FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　B　）

A．线段DE　B．线段BE

C．线段EG　D．线段FG

2．如图，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝30度．

3．如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．

解：

因为CD为△ABC的AB边上的中线，

所以AD＝BD．

因为△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，

所以（BC＋BD＋CD）－（AC＋AD＋CD）＝3cm，

所以BC－AC＝3cm.

因为BC＝8cm，

所以AC＝5cm.

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

三角形的中线：

（1）定义；

（2）画法；（3）三角形重心的定义．

三角形的角平分线：

（1）定义；

（2）画法；（3）三角形的三条角平分线交于一点．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第4课时　三角形的高

教学目标

一、基本目标

1．认识三角形的高线，会画任意三角形的高线，了解三角形的三条高所在的直线交于一点．

2．通过折纸、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思维变得更灵活．

二、重难点目标

【教学重点】

三角形高线的定义，会画任意三角形的高．

【教学难点】

画钝角三角形夹钝角的两边上的高和三角形高的应用．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P89～P90的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．

2．三角形的三条高所在的直线交于一点．

3．分别指出下图中△ABC的三条高．

　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　图2

（1）图1中，直角边BC上的高是AB，直角边AB上的高是BC，斜边AC上的高是BD；

（2）图2中，AB边上的高是CE，BC边上的高是AD，AC边上的高是BF.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

用工具准确画出三角形的高

如图，线段AD是△ABC中BC边上的高．

注意：

标明垂直的记号和垂足的字母．

教师点拨：

回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”的画法．

讨论：

分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系．

作图：

结论：

由作图可得：

（1）三角形的三条高线所在的直线相交于一点；

（2）锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部；（3）直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点；（4）钝角三角形的三条高线所在的直线相交于三角形的外部．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．如图，在△ABC中，EF∥AC，BD⊥AC于点D，交EF于点G，则下列说法错误的是（　C　）

A．BD是△ABC的高　B．CD是△BCD的高

C．EG是△ABD的高　D．BG是△BEF的高

2．如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　C　）

A．AB＝2BF　B．∠ACE＝∠ACB

C．AE＝BE　D．CD⊥BE

3．如图，在△ABC中，AB边上的高是CE，BC边上的高是AD；在△BCF中，CF边上的高是BC.

4．若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形.

5．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝130°，∠C＝30°，则∠DAE的度数是5°.

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．

2．三角形的三条高所在的直线交于一点．

三角形的三条高的特性：

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

三角形内部高的数量

3

1

1

三条高是否相交

是

是

否

三条高所在直线的交点位置

三角形内部

直角顶点

三角形外部

练习设计

请完成本课时对应练习！

2　图形的全等

教学目标

一、基本目标

1．通过实例理解全等图形的定义和特征，并能识别图形的全等及用符号语言正确表示两个三角形全等．

2．掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题．

二、重难点目标

【教学重点】

全等图形和全等三角形的性质．

【教学难点】

利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P92～P94的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．能够完全重合的两个图形叫做全等图形.

2．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF.

3．全等三角形的对应边相等，对应角相等.

4．如图，△ABC≌△DEF，则∠A的对应角是∠D，∠B的对应角是∠E，则∠C的对应角是∠F；AB与DE是对应边，BC与EF是对应边，AC与DF是对应边．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】如图，若△BOD≌△COE，指出这两个三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．

【互动探索】（引发学生思考）全等三角形的对应元素该如何找？

【解答】△BOD与△COE的对应边：

BO与CO，OD与OE，BD与CE.

△ADO与△AEO的对应角：

∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.

【互动总结】（学生总结，老师点评）找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．

【例2】如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．

【互动探索】（引发学生思考）求角和线段长，从全等三角形的性质出发去思考．

【解答】因为△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，

所以∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，

所以CF＝BC－BF＝7－4＝3.

【互动总结】（学生总结，老师点评）全等三角形的对应边相等，对应角相等．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（　D　）

A．72°　B．60°　

C．58°　D．50°

2．如图，已知△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是（　A　）

A．5　B．4　

C．3　D．2

3．如图，已知△ABC≌△FED，∠A＝30°，∠B＝80°，则∠EDF＝70°.

4．如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．

（1）写出图中相等的线段与角；

（2）若EF＝2.1cm，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，求MN和HG的长度．

解：

（1）因为△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角，

所以EF＝NM，EG＝NH，FG＝MH，∠F＝∠M，∠E＝∠N，∠EGF＝∠NHM，

所以FH＝GM，∠EGM＝∠NHF.

（2）因为EF＝NM，EF＝2.1cm，

所以MN＝2.1cm.

因为