教学设计案例三角形内角和教学案例.docx
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教学设计案例三角形内角和教学案例
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“三角形内角和”教学案例
数学教学应注意将“联系”的观点贯穿教学的全过程,引导学生把握数学知识的内在联系,有效促进学生把数学知识结构内化为自己的认知结构,提高对数学整体性的认识。
下面撷取“三角形内角和”的几个教学片断来具体阐述“如何引导学生把握数学知识的内在联系”。
一、拓宽知识背景,渗透数学联系
师:
我们已经学习了哪些平面图形?
学生回答后,教师呈现多个已学的平面图形（如下图）。
师:
这些平面图形中都有角,我们把图形中相邻两边的夹角称为内角。
那么,长方形有几个内角?
它的内角有什么特点?
生:
长方形有四个内角,它们都是直角。
师:
这四个内角的和是多少呢?
生:
360°。
师:
你是怎么想的呢?
生:
长方形每个内角都是90°,所以四个内角的和就是360°。
师:
（指着黑板上两个大小不同的长方形）所有长方形的内角和都是360°吗?
生:
所有长方形的四个内角都是直角,所以四个内角的和都是360°。
师:
（出示一个三角形）三角形有几个内角呢?
今天我们就来研究三角形的内角和。
……
【感悟】为了使学生整体感知三角形内角和的知识,本片断先从已学的一些平面图形引入,引导学生认识内角,并从长方形的内角和切入,引出三角形的内角和的问题。
这样的教学,将三角形内角和置于平面图形内角和的大背景中,拓展了三角形内角和的数学知识背景,渗透数学知识之间的联系,有效地避免了新知识的“横空出世”。
二、利用知识联系,探索验证规律
师:
三角形的内角和是多少呢?
生:
180°。
师:
其他同学有不同的想法吗?
我们用什么办法才能知道三角形的内角和呢?
生:
先量出三个角的度数,再加一加。
师:
好,那么我们一起来量一量。
请每个小组量一个三角形,然后把量得的角的度数相加,看看结果等于多少。
教师呈现12个大小不同的三角形,其中有两对形状分别相同、大小不同的三角形。
每组学生一个三角形,学生用量角器量出三个角的度数,并把度数直接用水彩笔写在三角形上,算出的度数和也写在三角形上,然后再贴到黑板上共同观察讨论。
师:
（指着黑板上的三角形）我们发现有的三角形的三个内角相加后,正好是180°,但有的是179°,还有181°的。
为什么有的不正好等于180°呢?
生:
因为有时候量得不准。
师:
在度量的时候,由于测量的误差以及我们视力的限制,经常会出现一些小误差。
那么,除了用量的方法,你还能用什么方法验证或说明三角形的内角和是180°呢?
每组发一份操作材料（里面有各种类型三角形）,学生操作尝试,小组讨论交流,然后再全班交流。
生:
我用撕和拼的方法,先把三个内角撕下来,再拼在一起,拼成了一个平角。
所以三个内角的和是180°。
师:
这位同学真厉害!
他利用了什么知识来说明三角形的内角和是180°呢?
生:
他用了平角是180°的知识。
师:
这确实是一种很好的办法,大家用一个三角形试一试,看能不能拼成平角。
还有其他方法吗?
生:
老师,我是用折纸的方法。
我拿一个三角形,（边说边演示）把上面的角沿虚线横折,顶点落在底边上,再将剩下的两个角横折过来,使三个角正好拼在一起,这三个角组成了一个平角。
接着,我还找了另外几个三角形来折,都能拼成一个平角。
所以,三角形内角和是180°。
师:
他还是利用了平角的知识,只是方法上略有区别。
生:
利用长方形也可以说明。
连接长方形的一条对角线,得到两个直角三角形,这两个直角三角形完全相同,并且两个直角三角形的六个角正好组成了长方形的四个内角。
而长方形的内角和是360°,所以每个直角三角形的内角和等于360°÷2=180°。
师:
这又是一种独特的方法。
她利用了什么知识来说明的呢?
生:
她利用了长方形的四个内角的和是360°。
生:
还有,因为长方形正好可以分为两个一样的直角三角形。
师:
看来,我们在遇到一个新的问题时,可以联系已学过的知识来思考,这样往往能较快地找到解决问题的方法。
【感悟】利用已经学过的知识构建新的数学知识,这不仅有助于学生理解新的知识,而且是一种非常重要的学习方法。
在探索三角形内角和规律的教学中,教师应注意引导学生将三角形内角和与平角、长方形四个内角的和等知识联系起来,并使学生在新旧知识的连接点和新知识的生长点上把握好他们之间的内在联系。
首先,学生用度量的方法探索三角形内角和,初步得出
了三角形内角和是180°的结论,并发现了直接度量的局限性。
其次,学生又创造性地与平角知识联系起来,用“撕——拼”“、折——拼”等方法,把三角形的三个内角转化成一个平角,利用平角知识得出三角形内角和是180°的结论。
最后,由于教师提供的学具有长方形的,课始又是从长方形四个内角的和是360°引入的,又有学生利用长方形与三角形的关系推导出了结论。
在整个探索过程中,学生积极思考并大胆发言,他们的创造性思维得到了充分发挥。
三、在运动变化中感悟数学知识的联系,深化知识理解
师:
对于三角形的内角和,你们还有什么问题吗?
生:
大小不同的三角形,它们的内角和怎么会是一样的呢?
师:
（指着黑板上两个大小不同但三个角对应相等的三角形）请大家观察这两个三角形,想一想,这是什么原因呢?
生:
三角形变大了,但角的大小没有变。
生:
角的两条边长了,但角的大小不变。
因为角的大小与边的长短无关。
师:
你们分析得很有道理。
老师这里给大家做一个小小的演示,请大家边观察、边思考:
三角形的形状变了,可是内角和怎么会不变呢?
教师先在黑板上固定小棒,然后用活动角与小棒组成一个三角形,教师手拿活动角的顶点处,往下压,形成一个新的三角形,学生观察发现:
活动角在变大,而另外两个角在变小。
这样多次变化,学生逐步发现:
活动角越来越大,而另外两个角越来越小。
最后,当活动角的两条边与小棒重合时,活动角就是一个平角180°,另外两个角都是0°。
【感悟】小学生由于年龄小,容易受图形或物体的外在形式的影响。
如本片断中的两个问题“:
大小不同的三角形,它们的内角和怎么会是一样的呢?
”“三角形的形状变了,可是内角和怎么会不变呢?
”很多学生难以理解。
教学中,教师能充分利用学具引导学生思考,促进学生对三角形内角和知识的理解和内化。
对于第一个问题,教师主要是引导学生与角的有关知识联系起来,通过让学生观察两个大小不同但三个角的度数对应相等的三角形,引导学生利用“角的大小与边的长短无关”的旧知识来理解说明。
对于第二个问题,主要运用数学本身内在的思想性,如变化、运动、联系等观点,利用了一个精巧的小教具的演示,让学生通过观察、交流、想象,充分感受三角形三个角之间的联系和变化,感悟三角形内角和不变的原因。
四、综合运用知识,沟通知识联系
教学中安排多层次的练习,引导学生综合运用所学知识,体会知识之间的联系。
为简洁、清楚地说明问题,下面只罗列四道习题的内容,具体教学过程略去。
1.求出三角形各个角的度数。
2.一个三角形可能有两个直角吗?
一个三角形可能有两个钝角吗?
你能用今天所学的知识说明吗?
3.
（1）将两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形,这个大三角形的内角和是多少?
（多媒体呈现拼的过程）
（2）将一个大三角形分成两个小三角形,这两个小三角形的内角和分别是多少?
（多媒体呈现分的过程）
4.智力大冲浪:
你能求出下面图形的内角和吗?
【感悟】习题是沟通知识联系的有效手段。
在本节课的四个层次的练习中,能充分注意沟通知识之间的内在联系,使学生从整体上把握知识的来龙去脉和纵横联系,逐步形成对知识的整体认知,构建自己的认知结构,从而发展思维,提高综合运用知识解决问题的能力。
第一题将三角形内角和知识与三角形特征结合起来,引导学生综合运用内角和知识和直角三角形、等边三角形等图形特征求三角形内角的度数。
第二题将三角形内角和知识与三角形的分类知识结合起来,引导学生运用三角形内角和的知识去解释直角三角形、钝角三角形中角的特征,较好地沟通了知识之间的联系。
第三题通过两个三角形的分与合的过程,使学生感受此过程中三角形内角的变化情况,进一步理解三角形内角和的知识。
第四题是对三角形内角和知识的进一步拓展,引导学生进一步研究多边形的内角和。
教学中,学生能把这些多边形分成几个三角形,将多边形内角和与三角形内角和联系起来,并逐步发现多边形内角和的规律,以此促进学生对多边形内角和知识的整体构建.
《摆一摆》教学设计
一、教学目标
1引导学生探索长方形面积计算公式，初步理解长方形和正方形面积的计算方法，会正确地计算长方形和正方形的面积。
2引导学生估计给定的长方形、正方形面积，培养学生的空间观念和几何直观能力。
3经历数学知识的应用过程，感受身边的数学，体验学数学、用数学的乐趣。
二、教材分析
《标准》中“长方形和正方形面积”的具体目标要求为“探索并掌握长方形、正方形的面积公式，能估计给定的长方形、正方形的面积”。
教材从估测三个长方形面积开始，培养学生的估测意识；然后，教材安排“摆一摆”的探索活动，让学生经历通过实验研究建立数学模型的抽象思维过程，通过测量、操作、观察、比较，发现长方形面积与长、宽的关系，从而建立长方形面积的计算公式，并通过类比推理得出正方形的面积计算公式，这样有利于学生建立起长方形、正方形的面积公式的表象。
同时结合学生熟悉的物体引导学生尝试对长方形、正方形的面积进行估测，“导”中带估，以“估”带练，在练中体验估算的方法，培养学生的空间观念和几何直观能力。
三、学校及学生状况分析
对于长方形面积的知识学生不是一张“白纸”，有的学生可能已经看书了解了一些，前面的面积单位的教学中也有了一些体验，有的学生在课外学习中已经学会长方形面积的计算方法，但即使学生已经知道了计算方法，也不一定是真正理解了，特别是空间观念的培养还是远远不够的。
为了了解学生的实际情况，我在第一环节设计“用自己的方法测量出卡片的实际面积”，学生可能会出现三种方法：
用1平方厘米的小正方形直接去摆；用尺量出卡片的长和宽，然后用“长×宽”计算出卡片的面积；利用透明方格纸去数等。
教学过程中，要尊重学生的知识基础和生活经验，根据课堂教学的实际进程，调整教学过程。
四、课堂实录
（一）谈话导入
1师：
前面我们已经学过了面积和面积单位，你知道常用的面积单位有哪些？
你能够比划一下吗？
生：
平方米、平方分米、平方厘米。
2师：
如果要表示教室的面积用什么面积单位比较合适？
如果要表示这张卡片的面积呢？
（教师出示一张“神奇宝贝”小卡片。
）
3揭示课题：
长方形和正方形的面积。
（二）探究悟理
1估计“卡片”的面积。
师：
（出示“神奇宝贝”卡片）请你估计一下这张卡片的面积大约是多少？
生1：
15cm2。
生2：
18cm2。
生3：
28cm２。
师：
同学们估计了很多答案，到底这张卡片的实际面积是多少，你们有办法测量吗？
请你试着测量出卡片的实际面积，可以利用老师给你带来的工具。
2学生动手操作，用自己的方法测量出卡片的实际面积（教师巡视指导）。
3反馈交流，形成猜想。
师：
你实际测量出来这张卡片的面积是多少？
生：
40cm2。
师：
现在都同意40cm2，你是用什么方法测量得到的呢？
生1：
（讲台演示）我用透明方格纸盖在卡片上面，然后数一数，每排有8个1cm2的小正方形，这样有5排，所以卡片的面积是40cm2。
生2：
（讲台演示）我是用1cm2的小正方形摆的。
（该学生摆了一行8个，摆了一列5个，没有铺满。
）
师：
这样摆，你怎么知道卡片的面积呢？
生2：
每行可以摆8个1cm2的小正方形，每列可以摆5个，乘一下就是40个1cm2的小正方形。
师：
他为什么不摆满，你们知道长方形的面积吗？
生3：
每排可以摆8个，每列可以摆5个就是有5排，用每排的个数乘排数就知道了。
生4：
我还有个笨办法，看着他摆的，我可以一排一排去数，也能知道是40cm2。
师：
还有其他方法吗？
生5：
我是用尺量的。
师：
用尺能直接量出面积吗？
我知道尺是用来量长度的，我们一起来听他介绍一下。
生5：
（边演示边说明）我用尺量出卡片的长是8cm，宽是5cm，乘一下面积是40cm2。
师：
他的方法你们听懂了吗？
谁能再解释一下。
生6：
先用尺量出卡片的长和宽，再用长乘宽算出面积。
生7：
长8cm就是可以摆8个1cm2的小正方形，宽5cm就可以摆5个，所以面积是40cm2。
（老师和学生一起用掌声表扬这位同学精彩的解释。
）
师：
这位同学的方法是先用尺量出卡片的长和宽，然后乘一下计算出卡片的面积。
用这种方法得到的答案和我们用小正方形摆出来的结果是一样，看来用长乘宽计算这张卡片的面积是可以的，这种方法对于其他的长方形是否也适用呢？
我们可以怎么办呢？
生：
再找几个长方形来试一试。
师：
这是一个好办法，我们来试一试。
4举例验证，探索方法。
师：
老师这里为大家准备了几个长方形，我们四人小组合作来试一试，小组分工，其中三人每人选一个图形验证，另一个同学画一个长方形试一试，为了计算方便可以画一个长、宽是整厘米数的长方形。
师：
请每位同学先独立试一试，就是用刚才这位同学的方法测量计算面积，再用其他方法验证一下，把有关数据记录下来。
（学生实践操作，教师巡视指导。
）
师：
请在小组里交流一下你得到的结果，你是怎么得到的，并选一名代表发言。
师：
哪个小组来汇报你们的研究结果，并举个例子来说明是怎么验证的？
生1：
我们小组认为这种方法是正确的，比如我画了长是7厘米、宽是5厘米的长方形，7乘5等于35平方厘米，然后我用方格纸验证一下是对的。
生2：
我们选了3号图形，长是11厘米、宽是2厘米，面积就是22平方厘米，我用小正方形摆了一下是对的，所以我们认为这种方法是可以的。
（学生说后教师用课件演示。
）
生3：
我也画了一个长方形，长是4厘米、宽是3厘米，（4+3）×2=14（cm）。
师：
对他的结果你有什么想法？
生4：
他这样计算不对，这样算是周长，刚才的方法应该用4乘3等于12厘米2。
生5：
我们小组也认为这种方法是可以的，比如1号图形长是7厘米、宽是4厘米，7乘4等于28平方厘米，然后验证一下是对的。
生6：
2号图形的边长是3厘米，3×3=9（cm2）。
5小结并得出计算公式。
师：
通过刚才几个长方形面积的测量验证，刚才这位同学的方法是正确的。
现在我们可以知道长方形的面积可以怎样计算呢？
生：
长乘宽。
（教师板书：
长方形的面积=长×宽）
6尝试运用。
师：
我们学会用多种方法测量长方形的面积，也知道了长方形面积的计算方法，下面我们来口答几个图形的面积。
（多媒体逐一出示下列几个图形，口答下列图形的面积是多少？
）
（出示第一个图形）
生：
15cm2。
师：
你怎么想的呢？
生：
因为每个小方格是1cm2，每行3个小方格，有5行，所以是15cm2。
（出示第二个图形）
生：
20cm2。
师：
你的回答非常正确，你能解释一下你的想法吗？
生1：
因为长是5cm，宽是4cm，5乘4等于20cm2。
生2：
从图中可以看出，每行可以摆5个小正方形，可以摆4行，所以是20cm2。
（出示第三个图形）
生1：
36平方分米，因为这是一个正方形，边长是6分米，6乘6等于36平方分米。
生2：
正方形有四条边，6乘4等于24平方分米。
师：
现在有两种意见，你同意谁的意见，为什么？
生1：
我同意第二位同学的意见。
生2：
我认为第二位同学这样算出来是周长，所以是不对的。
师：
大家再看一下，这样算是周长，而我们要求面积。
师：
刚才这位同学说这个图形是正方形，正方形的面积也可以用两条边相乘来计算吗？
生：
因为正方形是特殊的长方形，长方形用“长×宽”，现在正方形四条边都相等，所以可以改为“边长×边长”。
师：
这位同学的解释你们明白吗？
（板书：
正方形的面积=边长×边长）
师：
我们的同学真厉害，归纳出了长方形、正方形面积的计算方法，这样以后计算长方形、正方形的面积就方便了。
（三）联系实际，应用拓展
1想一想，算一算。
师：
（多媒体出示学校足球场）长方形、正方形是很常见的图形，生活中我们经常可以看到。
足球场是一个什么图形？
通过今天这节课的学习，你有什么方法可以知道足球场的面积呢？
生：
可以量出足球场的长和宽。
师：
老师事先测量了一下，足球场的长是50m，宽是33m，那么，面积是多少平方米呢？
（学生计算后反馈：
50×33=1650（m2））
2估一估，量一量，算一算。
师：
正方形、长方形是常见的图形，同学们想不想测量一下我们身边的长方形的面积呢？
就测量这个信封吧，测量前你能不能先估计一下，这个信封的面积大约是多少呢？
生1：
60cm2。
生2：
100cm2。
师：
请每个同学把你估计的结果写在纸上。
你们的估计是否正确呢，请每一位同学量一量，算一算。
（学生测量信封面积。
）
师：
你测量出来信封的面积是多少呢？
你是怎样测量的？
生：
我测量出来是300cm2，先量出宽是15cm，长是20cm，15×20=300（cm2）。
师：
60cm2，100cm2都离正确结果比较远，刚才有没有估计得比较准的同学，你是怎么估计的？
生1：
我估计的结果是200cm2，我先估计长是20cm，再估计宽是10cm，乘一下就知道了。
生2：
我用刚才的卡片去想，我估计可以放6张卡片，所以是240cm2。
（四）总结延伸
1师：
今天这节课我们一起研究了长方形、正方形的面积，你能谈谈你的学习体会和感受吗？
2游戏：
比比谁的眼力好。
师：
你们还想不想再测量其他长方形、正方形的面积，老师给大家介绍一个小游戏，这个小游戏的名称是比比谁的眼力好。
这个游戏可以在课间与同学一起做，也可以回家与爸爸、妈妈一起做。
先选择一个长方形或正方形的面，然后两人都估计它的面积，再量一量，算一算，看谁估计得比较准确，谁的眼力就好，你经常这样去试，你的眼力会越来越好。
五、教学反思
1数学活动要有利于学生的数学理解。
数学课要有“数学味”，数学教学活动的设计要有利于学生理解数学。
长方形面积的教学不仅要让学生知道计算公式、会用面积公式进行计算，更重要的是要引导学生经历探索研究长方形与正方形面积公式的过程，通过实践操作、讨论、交流等活动，自己探索发现长方形面积的计算方法，并能感悟到“长×宽”的算理，促进学生对数学的理解。
本节课中引导学生在活动中学数学，设计了两次不同目的的操作体验（学生独立操作的时间接近9分），力求通过让学生“做”数学，逐步达成使学生既知道长方形、正方形的面积公式，又要在大脑中建立起为什么长方形、正方形的面积公式是“长×宽”和“边长×边长”的表象，较好地获得对计算方法的理解，并为估算方法的形成作铺垫。
从本节课的教学过程及课后对学生的提问和访谈看，学生能较好地举例解释长方形面积的计算公式，教学目标达成度较好。
整个学生的认知过程也较好地体现了布鲁纳“表象模式理论”的三个阶段，即知识的掌握和理解经历三个认知发展阶段：
动作式再现表象阶段—映像式再现表象阶段—符号式再现表象阶段。
2让学生体验知识的“再创造”过程。
荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说过：
“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造’，也就是学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。
”数学学习过程不是让学生被动地接受教材或教师给出的现成结论，而是要让学生经历知识的“再创造”过程，使数学学习成为学生积极参与的、生动活泼的、富有个性的过程。
本节课围绕引导学生探究发现“长方形、正方形的面积公式”，学生经历“测量面积，产生猜想—举例验证，归纳方法—推广应用”的科学研究过程。
即先引导学生测量卡片的面积，逐步产生形成猜想；然后引导学生用几个长方形再试一试去验证，特别是每个组里有一个学生是自己画一个长方形，这样大大丰富了例证，逐步归纳出公式；最后再推广到身边的长方形面积的测量。
这样，从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，促进学生获得对数学的理解。
同时，让学生领悟到在分析、解决问题时要有一种科学的态度。
3“导”中带估，以“估”带练，培养学生的空间观念和几何直觉。
《标准》中“长方形和正方形面积”的具体目标要求为“探索并掌握长方形、正方形的面积公式，能估计给定的长方形、正方形的面积”。
因此，本节课在引导学生探索研究长方形、正方形面积的计算方法的同时，注意结合学生熟悉的物体引导学生尝试对长方形、正方形的面积进行估测，“导”中带估，以“估”带练，在练中体验估算的方法，培养学生的空间观念和几何直觉。
具体地，在这节课中安排研究面积前的“卡片”面积的估测，面积计算方法得出后的信封面积的估测与估测方法讨论，对大屏幕的估测以及课后延伸的游戏“比比谁的眼力好”等，试图通过这些数学学习活动，提高学生估计面积的意识，在估计的过程中初步体验估计的方法与策略，同时在估计一些熟悉的物体时，如卡片、信封、屏幕、教室等，帮助学生逐步建立参照标准体系。
在本节课中学生也出现两种比较好的估计策略：
利用“长×宽”去估，利用“卡片”作参照物去估，较好地达到预期目标。
六、案例点评
《标准》指出：
数学教学是数学活动的教学。
这节课较充分地体现了这一教学理念，教师为学生提供充分从事数学活动和交流的机会，组织学生开展“测量卡片面积、举例验证猜想、测量实物应用、试试自己的眼力”等活动，注重学生的实践体验，引导学生操作、观察、交流，鼓励学生发表自己的见解，引导学生在活动中经历数学知识的形成过程，引导学生在活动中提高估测意识和估测能力。
通过实践活动，使学生切实感受数学与现实生活的联系，帮助学生学会用数学的眼光观察世界。
七、编者点评
“摆一摆”是一节关于长方形和正方形面积计算的课堂教学实录。
本教学设计有两个突出特点。
1教学要求明确、具体，较好地体现了对知识、技能及情感态度诸方面的要求。
2教学活动紧紧围绕教学目标有序展开，重点突出、层次清楚，朴实无华。
在整个教学活动中，教师为学生提供了较充实的从事数学探究活动和交流的机会，并适时加以引导，很好地发挥了主导的作用。
与此同时，学生学习数学的主动性、自主性和创造性也得以充分发挥。
不足之处是课堂容量尚感不
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