高三数学教案圆锥曲线经典例题及总结.docx
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高三数学教案圆锥曲线经典例题及总结
高三数学教案：
圆锥曲线经典例题及总结
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圆锥曲线经典例题及总结，供大家参考!
本文题目：
高三数学教案：
圆锥曲线经典例题及总结
圆锥曲线
1.圆锥曲线的两定义：
第一定义中要重视括号内的限制条件：
椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹;双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的绝对值与|FF|不可忽视。
若=|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：
焦点在轴上时（），焦点在轴上时=1（）。
方程表示椭圆的充要条件是什么?
（ABC0，且A，B，C同号，AB）。
（2）双曲线：
焦点在轴上：
=1，焦点在轴上：
=1（）。
方程表示双曲线的充要条件是什么?
（ABC0，且A，B异号）。
（3）抛物线：
开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：
由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：
由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;
（3）抛物线：
焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
提醒：
在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以（）为例）：
①范围：
;②焦点：
两个焦点;③对称性：
两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2;④准线：
两条准线;⑤离心率：
，椭圆，越小，椭圆越圆;越大，椭圆越扁。
（2）双曲线（以（）为例）：
①范围：
或;②焦点：
两个焦点;③对称性：
两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为;④准线：
两条准线;⑤离心率：
，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大;⑥两条渐近线：
。
（3）抛物线（以为例）：
①范围：
;②焦点：
一个焦点，其中的几何意义是：
焦点到准线的距离;③对称性：
一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）;④准线：
一条准线;⑤离心率：
，抛物线。
5、点和椭圆（）的关系：
（1）点在椭圆外;
（2）点在椭圆上=1;（3）点在椭圆内
6.直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：
直线与椭圆相交;直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件;直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
（2）相切：
直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相切;
（3）相离：
直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。
提醒：
（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：
相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;
（2）过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：
①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条;③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：
一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：
两条切线和一条平行于对称轴的直线。
7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：
，当即为短轴端点时，的最大值为bc;对于双曲线。
如
（1）短轴长为，
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：
（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;
（2）设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则AMF=（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
9、弦长公式：
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则=，若分别为A、B的纵坐标，则=，若弦AB所在直线方程设为，则=。
特别地，焦点弦（过焦点的弦）：
焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
抛物线：
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。
提醒：
因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验!
11.了解下列结论
（1）双曲线的渐近线方程为;
（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0）。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为;
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦;
（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①;②
（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点
12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）给出直线的方向向量或;
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知与的中点三点共线;
（5）给出以下情形之一：
①;②存在实数;③若存在实数,等于已知三点共线.
（6）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角,
（8）给出,等于已知是的平分线/
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）;
（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）;
（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）;
（14）在中，给出等于已知通过的内心;
（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）;
（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;
（3）已知A,B为抛物线x2=2py（p0）上异于原点的两点，，点C坐标为（0，2p）
（1）求证：
A,B,C三点共线;
（2）若=（）且试求点M的轨迹方程。
（1）证明：
设，由得
，又
，，即A,B,C三点共线。
（2）由
（1）知直线AB过定点C，又由及=（）知OMAB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。
即点M的轨迹方程为x2+（y-p）2=p2（x0，y0）。
13.圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、
（1）抛物线C:
y2=4x上一点P到点A（3,4）与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________
（2）抛物线C:
y2=4x上一点Q到点B（4,1）与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。
分析：
（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线内，如图，作QRl交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。
解：
（1）（2，）
（2）（）
1、已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。
（1）求双曲线C2的方程;
（2）若直线l：
与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围。
解：
（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则
故C2的方程为（II）将
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即①
.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
解此不等式得③
由①、②、③得
故k的取值范围为
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,-1），B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，MAAB=MBBA，M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程;（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
（Ⅰ）设M（x,y）,由已知得B（x,-3）,A（0,-1）.所以=（-x,-1-y）,=（0,-3-y）,=（x,-2）.再由愿意得知（+）=0,即（-x,-4-2y）（x,-2）=0.
所以曲线C的方程式为y=x-2.（Ⅱ）设P（x,y）为曲线C：
y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。
则O点到的距离.又，所以
当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.
设双曲线（a0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）
设双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（）.
过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为
已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则=（）0
已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则（）
已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）
设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点。
若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.
椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则;的大小为.
过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________
【解析】设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得:
双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,
由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（-2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.
【解析】设抛物线的准线为直线
恒过定点P.如图过分别作于,于,由,则,点B为AP的中点.连结,则,
点的横坐标为,故点的坐标为
故选D
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
6.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
7.椭圆（a0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.
8.椭圆（a0）的焦半径公式：
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.
11.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，
即。
12.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
13.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
二、双曲线
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：
P在右支;外切：
P在左支）
5.若在双曲线（a0）上，则过的双曲线的切线方程是.
6.若在双曲线（a0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
7.双曲线（ao）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
8.双曲线（ao）的焦半径公式：
（,
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF.
10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.
11.AB是双曲线（a0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
12.若在双曲线（a0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
13.若在双曲线（a0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭圆
1.椭圆（ao）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2.过椭圆（a0）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3.若P为椭圆（a0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,，则.
4.设椭圆（a0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.
5.若椭圆（a0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0
6.P为椭圆（a0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.
7.椭圆与直线有公共点的充要条件是.
8.已知椭圆（a0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.
（1）;
（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.
9.过椭圆（a0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
10.已知椭圆（a0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.
11.设P点是椭圆（a0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则
（1）.
（2）.
12.设A、B是椭圆（a0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，,,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
（1）.
（2）.（3）.
13.已知椭圆（a0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.
14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.
（注:
在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
1.双曲线（a0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2.过双曲线（ao）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3.若P为双曲线（a0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,,，则（或）.
4.设双曲线（a0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.
5.若双曲线（a0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1
6.P为双曲线（a0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.
7.双曲线（a0）与直线有公共点的充要条件是.
8.已知双曲线（b0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.
（1）;
（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.
9.过双曲线（a0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
10.已知双曲线（a0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或.
11.设P点是双曲线（a0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则
（1）.
（2）.
12.设A、B是双曲线（a0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，,,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有
（1）.
（2）.（3）.
13.已知双曲线（a0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.
14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.
（注:
在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.
17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
其他常用公式：
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：
2、直线的一般式方程：
任何直线均可写成（A,B不同时为0）的形式。
3、知直线横截距，常设其方程为（它不适用于斜率为0的直线）
与直线垂直的直线可表示为。
4、两平行线间的距离为。
5、若直线与直线平行
则（斜率）且（在轴上截距）（充要条件）
6、圆的一般方程：
，特别提醒：
只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。
二元二次方程表示圆的充要条件是且且。
7、圆的参数方程：
（为参数），其中圆心为，半径为。
圆的参数方程的主要应用是三角换元：
;
8、为直径端点的圆方程
切线长：
过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）
9、弦长问题：
①圆的弦长的计算：
常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：
;②过两圆、交点的圆（公共弦）系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。
攻克圆锥曲线解答题的策略
:
为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：
知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。
：
知识储备方法储备思维训练强化训练
第一、知识储备：
1.直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：
点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率
②点到直线的距离③夹角公式：
（3）弦长公式
直线上两点间的距离：
或
（4）两条直线的位置关系
①=-1②
2、圆锥曲线方程及性质
（1）、椭圆的方程的形式有几种?
（三种形式）
标准方程：
距离式方程：
参数方程：
（2）、双曲线的方程的形式有两种
标准方程：
距离式方程：
（3）、三种圆锥曲线的通径你记得吗?
（4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?
如：
已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是（）
A、双曲线;B、双曲线的一支;C、两条射线;D、一条射线
（5）、焦点三角形面积公式：
（其中）
（6）、记住焦半径公式：
（1），可简记为左加右减，上加下减。
（2）
（3）
（6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗?
第二、方法储备
1、点差法（中点弦问题）
设、，为椭圆的弦中点则有
，;两式相减得
2、联立消元法：
你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?
经典套路是什么?
如果有两个参数怎么办?
设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。
若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。
一旦设直线为，就意味着k存在。
例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
分析：
第一问抓住重心，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。
第二问抓住角A为可得出ABAC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;
解：
（1）设B（,）,C（,）,BC中点为（）,F（2,0）则有
两式作差有
（1）
F（2,0）为三角形重心，所以由，得，由得，代入
（1）得
直线BC的方程为
2）由ABAC得
（2）
设直线BC方程为，得
代入
（2）式得
，解得或
直线过定点（0，，设D（x,y），则，即
所以所求点D的轨迹方程是。
4、设而不求法
例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。
分析：
本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。
建立直角坐标系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,
建立目标函数，整理,化繁为简.
解法一：
如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，
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