平面解析几何知识点总结与典型例题解读.docx
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平面解析几何知识点总结与典型例题解读
平面解析几何知识点总结与典型例题解读
平面解析几何
1．直线的倾斜角与斜率：
直线的倾斜角：
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针
方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.倾斜角[0,180）,90斜率不存在.直线的斜率：
k
y2y1x2x1
.（x1x2）,ktan．
2．直线方程的五种形式：
点斜式：
yy1k（xx1）（直线l过点P1（x1,y1），且斜率为k）．
注：
当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx0．斜截式：
ykxb（b为直线l在y轴上的截距）.两点式：
yy1y2y1
xx1x2x1
（y1y2，x1x2）.
注：
①不能表示与x轴和y轴垂直的直线；
②方程形式为：
（x2x1）（yy1）（y2y1）（xx1）0时，方程可以表示任意直线．
截距式：
xayb
1．
注：
不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．
一般式：
AxByC0（其中A、B不同时为0）．
一般式化为斜截式：
y
ABx
CB
AB
即，直线的斜率：
k．
注：
已知直线纵截距b，常设其方程为ykxb或x0．
已知直线横截距x0，常设其方程为xmyx0（直线斜率k存在时，m为k的倒数）或y0．已知直线过点（x0,y0），常设其方程为yk（xx0）y0或xx0．
解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
直线在两坐标轴上的截距相等．．．．直线的斜率为1或直线过原点．
直线两截距互为相反数．．．．．．．直线的斜率为1或直线过原点．直线两截距绝对值相等．．．．．．．直线的斜率为1或直线过原点．4．两条直线的平行和垂直：
若l1:
yk1xb1，l2:
yk2xb2
①l1//l2k1k2,b1b2；②l1l2k1k21.若l1:
A1xB1yC10，l2:
A2xB2yC20，有
①l1//l2A1B2A2B1且A1C2A2C1．②l1l2A1A2B1B20．
5．平面两点距离公式：
（P1（x1,y1）、P2（x2,y2）），P1P2
（x1x2）（y1y2）．x轴上两点间距离：
ABxBxA．
2
2
x1x2x02
线段P1P2的中点是M（x0,y0），则．
yy2y1
02
6．点到直线的距离公式：
点P（x0,y0）到直线l：
AxByC0的距离：
d
7．两平行直线间的距离：
两条平行直线l1：
AxByC10，l2：
AxByC20距离：
d
C1C2AB
2
2
Ax0By0C
AB
2
2
8．直线系方程：
平行直线系方程：
①直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．．
②与直线l:
AxByC0平行的直线可表示为AxByC10．
③过点P（x0,y0）与直线l:
AxByC0平行的直线可表示为：
A（xx0）B（yy0）0．垂直直线系方程：
①与直线l:
AxByC0垂直的直线可表示为BxAyC10．
②过点P（x0,y0）与直线l:
AxByC0垂直的直线可表示为：
B（xx0）A（yy0）0．定点直线系方程：
①经过定点P0（x0,y0）的直线系方程为yy0k（xx0）（除直线xx0）,其中k是待定的系数．
②经过定点P0（x0,y0）的直线系方程为A（xx0）B（yy0）0,其中A,B是待定的系数．共点直线系方程：
经过两直线l1：
A1xB1yC10，l2：
A2xB2yC20交点的直线系方
程为A1xB1yC1（A2xB2yC2）0（除l2），其中λ是待定的系数．
9．曲线C1:
f（x,y）0与C2:
g（x,y）0的交点坐标方程组10．圆的方程：
222
圆的标准方程：
（xa）（yb）r．
圆的一般方程：
xyDxEyF0（DE4F0）．圆的直径式方程：
若A（x1,y1），B（x2,y2），以线段AB为直径的圆的方程是：
（xx1）（xx2）（yy1）（yy2）0．注：
（1）在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是（
D2,E2），r
12
D
2
f（x,y）0
的解．
g（x,y）0
2222
E
2
4F．
一般方程的特点：
2222
①x和y的系数相同且不为零；②没有xy项；③DE4F0二元二次方程AxBxyCy
2
2
DxEyF0表示圆的等价条件是：
2
2
①AC0；②B0；③DE4AF0．
11．圆的弦长的求法：
几何法：
当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r。
则：
“半弦长2+弦心距2=半径2”——2d2r2；
2l
代数法：
设l的斜率为k，l与圆交点分别为A（x1,y1），B（x2,y2），则
|AB|
k
2
|xAxB|
1k
2
|yAyB|
12．点与圆的位置关系：
点P（x0,y0）与圆（xa）2（yb）2r2的位置关系有三种
①P在在圆外dr（x0a）2（y0b）2r2．②P在在圆内dr（x0a）2（y0b）2r2．
③P在在圆上dr（x0a）2（y0b）2r2．【P
到圆心距离d13．直线与圆的位置关系：
直线AxByC0与圆（xa）2（yb）2r2的位置关系有三种（d
AaBbC
2
2】
）:
AB
圆心到直线距离为d，由直线和圆联立方程组消去x后，所得一元二次方程的判别式为．
dr相离0；dr相切0；dr相交0．
14．两圆位置关系:
设两圆圆心分别为O1,O2，半径分别为r1,r2，O1O2d
dr1r2外离4条公切线；dr1r2内含无公切线
；
dr1r2外切3条公切线；dr1r2内切1条公切线；
r1r2dr1r2相交2条公切线．
15．圆系方程：
x2y2DxEyF0（D2E24F0）
过直线l：
AxByC0与圆C:
x2y2DxEyF0的交点的圆系方程：
xyDxEyF（AxByC）0,λ是待定的系数．
2
2
过圆C1:
x2y2D1xE1yF10与圆C2:
x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程：
xyD1xE1yF1（xyD2xE2yF2）0,λ是待定的系数．
2222
特别地，当1时，xyD1xE1yF1（xyD2xE2yF2）0就是
2222
（D1D2）x（E1E2）y（F1F2）0表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．
16．圆的切线方程：
2222
过圆xyr上的点P（x0,y0）的切线方程为:
x0xy0yr．
过圆（xa）2（yb）2r2上的点P（x0,y0）的切线方程为:
（xa）（x0a）（yb）（y0b）r2．当点P（x0,y0）在圆外时，可设切方程为yy0k（xx0），利用圆心到直线距离等于半径，即dr，求出k；或利用0，求出k．若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线xx0．
17．把两圆xyD1xE1yF10与xyD2xE2yF20方程相减
即得相交弦所在直线方程:
（D1D2）x（E1E2）y（F1F2）0．18．对称问题：
中心对称：
①点关于点对称：
点A（x1,y1）关于M（x0,y0）的对称点A（2x0x1,2y0y1）．
②直线关于点对称：
法1：
在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．法2：
求出一个对称点，在利用l1//l2由点斜式得出直线方程．轴对称：
①点关于直线对称：
点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．
2
2
2
2
kl1kAA·AA⊥l
点A、A关于直线l对称
AA中点在l上AA中点坐标满足
②直线关于直线对称：
l方程
．
法1：
若a,b相交，求出交点坐标，并在直线a上任取一点，求该点关于直线l的对称点．若a//l，则b//l，且a,b与l的距离相等．
法2：
求出a上两个点A,B关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程．
点（a,b）关于x轴对称：
（a,-b）、关于y轴对称：
（-a,b）、关于原点对称：
（-a,-b）、
点（a,b）关于直线y=x对称：
（b,a）、关于y=-x对称：
（-b,-a）、
关于y=x+m对称：
（b-m、a+m）、关于y=-x+m对称：
（-b+m、-a+m）．19．若A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），则△ABC的重心G的坐标是
x1x2x3
3
yy2y31．
3
20．各种角的范围：
直线的倾斜角0180两条相交直线的夹角090两条异面线所成的角090
高中数学必修2解析几何知识点
一、直线与方程
直线的倾斜角
定义：
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
直线的斜率
①定义：
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k
当0,90时，k0；当90,180
②过两点的直线的斜率公式：
k时，k0；当90时，k不存在。
y2y1（x1x2）x2x1
注意下面四点：
（1）当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
（2）k与P1、P2的顺序无关；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
直线方程
①点斜式：
yy1k（xx1）直线斜率k，且过点x1,y1
注意：
当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：
ykxb，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
yy1xx1直线两点x1,y1，x2,y2y2y1x2x1
xy④截矩式：
1ab
其中直线l与x轴交于点（a,0）,与y轴交于点（0,b）,即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。
③两点式：
⑤一般式：
AxByC0
1各式的适用范围○2特殊的方程如：
注意：
○
平行于x轴的直线：
yb；平行于y轴的直线：
xa；
直线系方程：
即具有某一共同性质的直线
平行直线系
平行于已知直线A0xB0yC00的直线系：
A0xB0yC0
过定点的直线系
斜率为k的直线系：
22yy0kxx0，直线过定点x0,y0；
过两条直线l1:
A1xB1yC10，l2:
A2xB2yC2
两直线平行与垂直
当l1:
yk1xb1，l2:
yk2xb2时，0的交点的直线系方程为，其中直线l2不在直线系中。
A1xB1yC1A2xB2yC20
l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21
注意：
利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
两条直线的交点
l1:
A1xB1yC10l2:
A2xB2yC20相交
A1xB1yC10交点坐标即方程组的一组解。
A2xB2yC20
方程组无解l1//l2；方程组有无数解l1与l2重合
两点间距离公式：
设A（x1,y1）。
则|AB|
点到直线距离公式：
一点Px0,y0到直线l1:
AxByC0的距离d
两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
Ax0By0CAB22
二、圆的方程
1、圆的定义：
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
标准方程xaybr2，圆心22a,b，半径为r；
22一般方程xyDxEyF01DE，半径为当DE4F0时，方程表示圆，此时圆心为rD2E24F,22222
当DE4F0时，表示一个点；当DE4F0时，方程不表示任何图形。
求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：
先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：
如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
设直线l:
AxByC0，圆C:
xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距离为dAaBbC，则有d
A2B22222rl与C相离；drl与C相切；drl与C相交
22设直线l:
AxByC0，圆C:
xaybr2，先将方程联立消元，得到一个
一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有
0l与C相离；0l与C相切；0l与C相交
2注：
如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0yy0r去解直线与圆相切的问题，其中
x0,y0表示切点坐标，r表示半径。
（3）过圆上一点的切线方程：
2①圆x2+y2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为xx0yy0r（课本命题）．
②圆（x-a）2+（y-b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2（课本命题的推广）．
4、圆与圆的位置关系：
通过两圆半径的和，与圆心距之间的大小比较来确定。
22设圆C1:
xa12yb12r2，C2:
xa2yb2R2
两圆的位置关系常通过两圆半径的和，与圆心距之间的大小比较来确定。
当dRr时两圆外离，此时有公切线四条；
当dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当RrdRr时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当dRr时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当dRr时，两圆内含；当d0时，为同心圆。
解析几何知识点
一、基本内容
直线的方程
1、直线的方程
确定直线方程需要有两个互相独立的条件，而其中一个必不可少的条件是直线必须经过一已知点．确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围．
2、两条直线的位置关系
两条直线的夹角，当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2
≠
外注意到角公式与夹角公式的区别．
（2）判断两直线是否平行，或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断．但若直线斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断．
圆的方程
（1）圆的方程
1、掌握圆的标准方程及一般方程，并能熟练地相互转化，一般地说，具有三个条件（独立的）才能确定一个圆方程．在求圆方程时，若条件与圆心有关，则一般用标准型较易，若已知圆上三点，则用一般式方便，注意运用圆的几何性质，去简化运算，有时利用圆系方程也可使解题过程简化．
2、圆的标准方程为（x－a）2+（y－b）2＝r2；一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心坐标（
为D2,E2），半径
。
3、在圆（x－a）2+（y－b）2＝r2，若满足a2+b2=r2条件时，能使圆过原点；满足a=0，r＞0条件时，能使圆心在y轴上；满足br时，能使圆与x
轴相切；满足r条件时，能使圆与x－y＝0相切；
满足|a|=|b|=r条件时，圆与两坐标轴相切．
4、若圆以A（x1，y1）B（x2，y2）为直径，则利用圆周上任一点P（x，y），kPAkPB1求出圆方程（x－x1）（x－x2）+（y－y1）（y－y2）＝0
（2）直线与圆的位置关系
①在解决的问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用△＞0，△=0，△＜0，而用圆心到直线距离d＜r，d=r，d＞r，分别确定相关交相切，相离的位置关系．涉及到圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算交弦长时，要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形，当然，不失一般性弦长式
（三）曲线与方程
（1）求曲线方程的五个步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；建标
（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}；设点
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0列式
（4）化方程f（x，y）=0为最简方程化简
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是这条曲线上的点．
除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤（5）可以不写，也可以省略步骤
（2），直接列出曲线方程．
求曲线方程主要有四种方法：
（1）条件直译法：
如果点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达，我们可以把这些关系直译成含“x，y”（或ρ，θ）的等式，我们称此为“直译法”．
（2）代入法（或利用相关点法）：
有时动点所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动，称之为相关点．如果相关点满足的条件简明、明确，就可以用动点坐标把相关的点的坐标表示出来，再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动点的轨迹．
（3）几何法：
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律．
（4）参数法：
有时很难直接找出动点的横纵坐标之间关系．如果借助中间参量（参数），使x，y之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程．
圆锥曲线
椭圆
（1）椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
这里应特别注意常数大于|F1F2|因为，当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1,F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在．
椭圆的标准方程
之所以称它为标准方程，是因为它的形式最简单，这与利用对称性建立直角坐标系有关．同时，还应注意理解下列几点。
1）标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．
2）焦点F1，F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型．也就是说，知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种类型．
3）任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可以写成标准形式，当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式．
1）范围：
焦点在x轴时，椭圆位于直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形里．
2）对称性：
椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的，这时坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆中心．
3）顶点：
椭圆与对称轴的交点为椭圆的顶点A1（－a，0）A2（a，0）B1（0，b）B2（0，－b）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴，短轴，长分别为2a，2b．
＜1．e越接近于1，则椭圆越扁，反之，e越接近于0，椭圆越接近于圆．
5）焦半径：
椭圆上任一点到焦点的距离为焦半径．
如图所示，当焦点在x轴上时，任一点到左焦点的焦半径为r1＝a+ex0．
6）|A1F1|=a-c|A1F1|=a+c
7）椭圆的第二定义：
平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e（e＜1＝的点的轨迹．
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