七年级数学下册 培优新帮手 专题06 有理数的计算试题 新版新人教版.docx

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专题06有理数的计算

阅读与思考

在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：

首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．

　　数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有：

1．利用运算律．

2．以符代数．

3．裂项相消．

4．分解相约．

5．巧用公式等．

例题与求解

【例1】已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则

的值等于______________．

（湖北省黄冈市竞赛试题）

解题思路：

利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．

【例2】已知整数满足，且，那么等于（）

A．0B．10C．2D．12

（江苏省竞赛试题）

解题思路：

解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式．

【例3】计算：

（1）

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

（2）；

（江苏省泰州市奥校竞赛试题）

（3）

．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：

对于

（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于

（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；（3）中裂项相消，简化计算．

【例4】都是正整数，并且

，

．

（1）证明：

，；

（2）若，求和的值．

（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）

解题思路：

（1）对题中已知式子进行变形．

（2）把

（1）中证明得到的式子代入，再具体分析求解．

【例5】在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计了如图①，所示的几何图形．

（1）请你用这个几何图形求的值．

（2）请你用图②，在设计一个能求的值的几何图形．

（辽宁省大连市中考试题）

解题思路：

求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键．

【例6】记，令称为这列数的“理想数”，已知的“理想数”为2004．求的“理想数”．

（安徽省中考试题）

解题思路：

根据题意可以理解为为各项和，为各项和的和乘以．

能力训练

A级

1．若互为相反数，互为倒数．，的值为____________．

（湖北省武汉市调考试题）

2．若，则=___________．

（“希望杯”邀请赛试题）

3．计算：

（1）＝________________；

（2）

＝__________________．

4．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，，依次类推，直至最后减去余下的，最后的答案是_______________．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

5．右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着－1，2，3，－4，5，6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是___________．

（湖北省仙桃市中考试题）

6．如果有理数满足关系式，那么代数式的值（）

A．必为正数B．必为负数C．可正可负D．可能为0

（江苏省竞赛试题）

7．已知有理数两两不相等，则，，中负数的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．0个或2个

（重庆市竞赛试题）

8．若与互为相反数，则＝（）

A．0B．1C．－1D．1997

（重庆市竞赛试题）

9．如果，，则的值是（）

A．2B．1C．0D．-1

（“希望杯”邀请赛试题）

10．若是互为不相等的整数，且，则等于（）

A．0B．4C．8D．无法确定

11．把，3.7，，2.9，4.6分别填在图中五个Ο内，再在每个□中填上和它相连的三个Ο中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中．找出一种填法，使△中的数尽可能小，并求这个数．

（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）

12．已知都不等于零，且的最大值为，最小值为，求的值．

B级

1．计算：

＝________________．

（“五羊杯”竞赛试题）

2．计算：

＝________________．

（“希望杯”邀请赛试题）

3．计算：

＝____________________．

4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到2020年甚至要达每73翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习”．

已知2000年底，人类知识总量，假入从2000年底xx年底每3年翻一翻；从xx年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．

（1）xx年底人类知识总量是：

__________________；

（2）2019年底人类知识总量是：

__________________；

（3）2020年按365天计算，2020年底类知识总量会是____________________．

（北京市顺义区中考试题）

5．你能比较和的大小吗？

为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论

（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：

（在横线上填写“＞”“=”“＜”）

①，②；③；④；⑤

（2）从第

（1）题的结果中，经过归纳，可以猜想出与的大小关系是_____________________________________________________________________________；

（3）根据以上归纳．猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小_____：

．

（福建省龙岩市中考试题）

6．有xx个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和．若第一个数是1，第二个数是－1，则这个xx个数的和是（）

A．－2B．－1C．0D．2

（全国初中数学竞赛海南省试题）

7．如果，那么的值为（）

A．－1B．1C．D．不确定

（河北省竞赛试题）

8．三进位制数201可用十进制数表示为；二进制数1011可用十进制法表示为

．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数，二进位制数，则与的大小关系为（）．

A．B．C．D．不能确定

（重庆市竞赛试题）

9．如果有理数满足，则（）

A．B．

C．D．

（“希望杯”邀请赛试题）

10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这个1998个有理数的和为（）

A．B．C．D．

（《学习报》公开赛试题）

11．观测下列各式：

，

，

．．．

回答下面的问题：

（1）猜想＝______________．（直接写出你的结果）

（2）利用你得到的

（1）中的结论，计算的值．

（3）计算①的值；

②的值．

专题06有理数的计算

例128或-26

例2D提示：

abcd=5×1×（-1）×（-5），a=-5，b=1，c=-1，d=-5.

例3

（1）提示：

==.

（2）提示：

设s=，则7s=

（3）原式=

+

=1+1-=2-=

例4

（1）A=

==

同理B=

由A-B=-==得

∴m==13-，又∵m，n均为正整数，∴13+n为13×13的因数，∴13+n=

∴n156，m=12.

例5

（1）原式=1-，

（2）

例6由题意知

，即

.又

∴

=2004×500.

故8，，，…，的“理想数“为

””==xx.

A级

1.2提示：

原式==1+1=2.

2.2提示：

M-1+，解得M=2.

3.

（1）；

（2）-8

4.1提示：

设a=1997，由题意原式==

5.-136.B7.B提示：

不妨设x>y>z.

8.B9.D10.A

11.

提示：

设○内从右到左填的数分别为，，，，则△内填的数为.

要使△中填的数尽可能小，则，，分别为2，9，3，7，而剩下的两个为，.

12.1998提示：

时，m=4；时，n-4.

B级

1.612.5提示：

倒叙相加.

2.6提示：

3.4.

（1）

（2）（3）

5.

（1）略

（2）当n<3时，；当n≥3时，（3）>

001-0007

6.A提示：

先写出前面一些数：

1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，…，经观察发现每6个数为一次循环，又xx＝334×6＋5.而每一组中1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＋2＝0，故这xx个数的和，等于最后五个数之和.为1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＝－2.

7.A8.A9.A10A

11.

（1）×π2×（n＋1）2

（2）原式＝×1002×（100＋1）2＝25502500

（3）①原式＝×100×（100＋1）2－×102×（10＋1）2＝25499475;

②原式＝23×（13＋23＋33＋…＋493＋503）＝23××502×（50＋1）2＝13005000.