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大学矩阵数学论文1200字

（一）：

浅谈矩阵在离散数学中的应用

摘要：

离散数学是计算机学科的一门重要的专业基础课，扎实的基础是非常重要的。

本文就矩阵在离散数学中的各种应用展开讨论，并实例说明。

关键词：

矩阵；离散数学；运用

引言：

随着计算机科学的发展，重点研究有限系统的离散数学已经成为一门越发重要的科学，数字计算机本质上是一个有限结构，它的许多性质都可以在有限数学系统的框架下得到解释。

矩阵是一种有力的数学工具，本文就矩阵在离散数学中的应用展开讨论，总结了矩阵在离散数学中的应用类型，以期对初学者和数学工作者在学习离散数学时提供学习辅导和参考资料。

定义1给出m×n个数，按一定顺序排成一个m行、n列的矩形数表

此数表称为m行n列矩阵。

常记a=，或a=（），或。

有关应用及其举例

一、二元关系的表示

定义2设a，b为有限集，构造一个矩阵，以a的元素和b的元素分别标注其行与列，对于a∈a和b∈b。

视a，b是否具有关系r，在a行和b列交叉处标上1或0.这样得到的矩阵称为关系矩阵。

例如：

a={1，2，3，4}，在a上定义二元关系r为大于关系，表示x大于y，采用列举法为r={<2，1>，<3，1>，<4，1>，<3，2>，<4，2>，<4，3>}.则关系矩阵为

二、图的表示和邻接矩阵

定义3设无向图g=，v={v1，v2，vn}，e={e1，e2，，em}。

令为节点vi与边ej关联的次数，则称矩阵为g的关联矩阵，记为m（g）。

例如：

无向图g如下所示，则m（g）为：

定义4设图g=为有向图，v={v1，v2，vn}，即有n个节点，令是vi邻接到vj的边的数目，则称矩阵为g的邻接矩阵，记为a（g）。

例如：

有向图ｇ如下

三、用矩阵求关系合成和偏序中的盖住关系

（一）关系合成

设和分别表示关系r和s的矩阵，令m=，则m中的非零元素表示其对应的元素具有关系。

（其中加法“+”是逻辑加，即0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1.）

例如：

r={<1，a>，<2，d>，<3，a>，<3，b>，<3，d>}，s={，，，}求

解：

（二）求解偏序中的盖住关系

同上，记为偏序集s的关系矩阵，将中的自反关系对应的元素全部置0且记该改变后的矩阵为，令m=，则中去掉m中为1的元素后所剩元素表示cov（s）.

例如：

给定a={1，2，3}上的关系，r={<1，1>，<1，2>，<2，2>，<3，1>，<3，2>，<3，3>}，求出cov（r），并画出哈斯图。

解：

，则cov（r）={<1，2>，<3，1>}

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（二）：

地图与数学的组合\排列及三角矩阵

【摘要】本文从“整体元素循序逐增”这一地图形成的基本原理中，发现了地图、数学的组合及排列、三角数学之间的联系，找到了数学的组合、排列的“源”和“流”：

“循序逐增”是地图与数学的组合、排列共有的基本原理，地图的结构模式——C2n组合模式与数学的组合数、排列数，均可表达为三角矩阵.

【关键词】地图；循序逐增；组合；排列；三角矩阵

笔者在《从地图的形成原理看“图论”证明方法的缺陷》一文（发表于《数学学习与研究》2011年第五期）证明到，“整体元素循序逐增”是地图形成的基本原理，并遵循这一基本原理证明到地图的结构模式是C2n组合模式.笔者在研究四色猜想命题时进一步发现，地图的“循序逐增”的形成原理，也是数学的组合、排列共有的基本原理；地图的C2n组合模式与数学的组合数、排列数，均可以三角矩阵表达出来.

一、地图的C2n组合模式是由“1（-1）”组成的三角矩阵

根据地图的C2n组合模式中每个相邻点和非相邻点均为C22组合和“C22＝1”的原理，将相邻点和非相邻点分别转换为“1”“-1”来表示，并依照“循序逐增”的原理表达出来，地图的C2n组合模式实质是由“1”和“-1”组成的三角矩阵（如图1）.

从三角矩阵中的“1”和“-1”所处的位置，可直接知道地图中哪两个面是相邻关系或是非相邻关系.如图2的三角矩阵中，第一列第一行的“1”，表明是“1”“2”两个面相邻，第二列第三行的“－1”，表明是“2”“4”两个面非相邻.

二、“循序逐增”是数学的组合、排列共有的基本原理

“整体元素循序逐增”是地图形成的基本原理.事实证明：

“整体元素循序逐增”，也是数学的组合、排列中客观存在的基本原理.

1.“循序逐增”是数学的组合的基本原理

图3是反映C2n组合过程的一个图表.从该图表看出，当组合元素仅有“1”一个元素时，不存在组合；当组合元素增加“2”这个元素后，便产生了“12”这个组合；当组合元素增加“3”这个元素后，便产生了“3”与“1”“2”的组合，即增加了“13，23”2个组合，使之为3个组合；当组合元素增加“4”这个元素后，便产生了“4”与“1”“2”“3”的组合，即增加了“14，24，34”3个组合，使之为6个组合.可见，数学的组合是“循序逐增”的过程，“循序逐增”是其基本原理.

图4是C2n至C5n的“逐增数”和“累计数”（即得数）的统计表.从图4看出，C2n的“累计数”就是C3n下一栏的“逐增数”；C3n的“累计数”则是C4n下一栏的“逐增数”；C4n的“累计数”则是C5n的下一栏的“逐增数”.可见，在数学的组合中，“循序逐增”的基本原理十分凸显.

2.“循序逐增”也是数学的排列的基本原理

图5是反映P2n排列过程的图表.从该图表看出，当排列元素仅有“1”一个元素时，不存在排列；当排列元素增加“2”这个元素后，便产生了“12，21”这2个排列；当排列元素增加“3”这个元素后，便产生了“3”与“1”“2”的排列，即增加了“13，31，23，32”4个排列，使之为6个排列；当排列元素增加“4”这个元素后，便产生了“4”与“1”“2”“3”的排列，即增加了“14，41，24，42，34，43”6个排列，使之为12个排列.可见，数学的排列是“循序逐增”的过程，“循序逐增”是其基本原理.

图6是P2n至P5n的“逐增数”和“累计数”（即得数）的统计表.从图6看出，P23的“累计数”就是P33的“逐增数”；P34的“累计数”则是P44的“逐增数”；P45的“累计数”则是P55的“逐增数”.可见，在数学的排列中，“循序逐增”的基本原理也十分凸显.

“循序逐增”，这是数学的组合、排列中客观存在的基本原理.它不仅体现在组合、排列的整体元素的增加过程之中，而且体现在新增元素与前有元素形成组合、排列的空间扩展之中.认识和遵循这一基本原理，这对于研究和应用数学的组合、排列具有积极的意义.但是，笔者从一些有关数学的组合、排列的教科书中发现，人们忽视这一基本原理的存在，所举例证并非是遵循“循序逐增”这一基本原理来对数学的组合、排列进行诠释，而是以某个组合、排列实例的整体元素组合、排列情况来说明，有的教科书则以“倒序逐取”来诠释数学的组合、排列.其实，这都是有悖于“循序逐增”这一基本原理的.

三、数学的组合数、排列数均可表达为三角矩阵

1.数学的组合数均可表达为由“1”组成的三角矩阵

数学中的组合，不论其取出元素的m（＞1）是几，其任何一个取出m元素的组合，均为Cmm组合.因“Cmm＝1”，又新增元素与前有元素的组合是循序逐增的过程，所以，任何一个组合数均是由“1”有序组成的三角矩阵.如图7，是C2n的三角矩阵.从该图看出，矩阵中的“1”是“逐1”增加的.

图8是C3n的三角矩阵.从该图看出，矩阵中的“1”是循着2，3，4，…逐增的.其实，C4n，C5n…的三角矩阵中的“1”均是循着它的规律逐增的.正因为数学的组合存在这一规律，从中又发现了组合数与组合数之间的关系，即遵循循序逐增的原理，组合数的三角矩阵，还可转换为正三角矩阵来表达.

如图9所示，C3n，C4n，C5n正三角矩阵是以C2n的正三角矩阵为模型，依照循序逐增的原理，将纵列数字逐加而得来的.

依照归纳法，可把这个规律以下列公式表达出来：

Cmn1+（Cmn2+Cm+1n2）+（Cmn3+Cm+1n3）+（Cmn4+Cm+1n4）+（…+…）=Cm+2n+2（公式中m＝n1，m+1＝n2）.

3.数学的排列数也是三角矩阵

图12是P2n的排列数的三角矩阵.从该矩阵看出，它是由“2”组成的三角矩阵.其实，矩阵中的这个“2”，乃是取出2个元素的“2”的排列数，即“1×2=2”.而“2”的排放，是遵循循序逐增的原理来进行的有序排放.将P2n的三角矩阵与前文图7C2n的三角矩阵相比较，就会发现P2n的三角矩阵的“2”的排放，与C2n的三角矩阵的“1”的排放相对应，这也就是说，P2n的排列数与C2n的组合数存在这样的关系：

P2n＝C2n×（1×2），即P2n＝C2n×2！

.

图13是P3n的排列数的三角矩阵.从该矩阵看出，它是由“6”组成的三角矩阵.其实，矩阵中的这个“6”，乃是取出3个元素的“3”的排列数，即“1×2×3＝6”，而“6”的排放，是遵循循序逐增的原理来进行的有序排放.现将P3n的三角矩阵与前文图8C3n的三角矩阵相比较，就会发现P3n的三角矩阵的“6”的排放，与C3n的三角矩阵的“1”的排放相对应，这也就是说，P3n的排列数与C3n的组合数存在这样的关系：

P3n＝C3n×（1×2×3），即P3n＝C3n×3！

.

全排列数也可表达为三角矩阵，如图14.从图14看出，全排列数的三角矩阵也是循序逐增的.

4.组合数与排列数之间的关系

从图12、图13的证明中可知，排列数与组合数有着密切联系.已知P2n＝C2n×2！

，P3n＝C3n×3！

.

依照归纳法，那么，排列数与组合数之间关系的公式为：

Pmn＝Cmn×m！

（公式中n≥m，如n＝m，则Pmn＝Cmn×m！

＝n！

）

“Pmn＝Cmn×m！

”，这个公式不仅简单明了、准确表达了排列数与组合数之间的关系，而且对全排列数“n！

”也可从中得到简单明了的证明.

四、自然数（n＞1）及其平方数与C2n，“1”的三角矩阵

本人研究结果表明，任何一个自然数（n＞1）都可表达为两个“1”三角矩阵之差，任何一个自然数（n＞1）的平方数都可表达为由“1”组成的方阵.

1.任何一个自然数（n＞1）都可表达为两个“1”三角矩阵之差

从图15看出，C23的三角矩阵减去C22的三角矩阵，其差为2，即C23－C22＝2.而C23可表达为C22+1，又C22+1－C22＝2.

从图16看出，C24的三角矩阵减去C23的三角矩阵，其差为3，即C24－C23＝3.而C24可表达为C23+1，又C23+1－C23＝3.

从图17看出，C25的三角矩阵减去C24的三角矩阵，其差为4，即C25－C24＝4.而C25可表达为C24+，又C24+1－C24＝4.

综图15至图17的证明，已知：

2＝C22+1－C22，即n＝C2n+1－C2n；

3＝C23+1－C23，即n＝C2n+1－C2n；

4＝C24+1－C24，即n＝C2n+1－C2n.

依照归纳法，得任何一个自然数（n＞1）均可表达为两个“1”三角矩阵之差（即2个C2n组合数之差），其公式为n=C2n+1－C2n.

2.任何一个自然数（n＞1）的平方数均可表达为由“1”组成的方阵

任何一个自然数（n＞1）的平方数均可表达为由“1”组成的方阵，又任何一个由“1”组成的方阵均是由2个“1”的三角矩阵组成.因此，任何一个自然数（n＞1）的平方数均可表达为两个“1”的三角矩阵，即均可表达为两个C2n组合数之和.

图18是22的方阵图，由C22的三角矩阵和C23的三角矩阵组成，亦即22＝C22+C23.而C23可表达为C22+1，又22＝C22+C22+1.

图19是32的方阵图，由C23的三角矩阵和C24的三角矩阵组成，亦即32＝C23+C24.而C24可表达为C23+1，又32＝C23+C23+1.

图20是42的方阵图，由C24的三角矩阵和C25的三角矩阵组成，亦即42＝C24+C25.而C25可表达为C24+1，又42＝C24+C24+1.

综图18至图20的证明，已知：

22＝C22+C22+1，即n2=C2n+C2n+1；

32＝C23+C23+1，即n2=C2n+C2n+1；

42＝C24+C24+1，即n2=C2n+C2n+1.

依照归纳法，那么，任何一个自然数（n＞1）的平方数均可表达为两个“1”三角矩阵之和（即2个C2n组合数之和），其公式为n2＝C2n+C2n+1.

综图15至图20的证明，已知n＝C2n+1－C2n，n2＝C2n+C2n+1，那么，得（C2n+1－C2n）×（C2n+1－C2n）＝C2n+C2n+1＝n2.

又根据“n＝C2n+1－C2n”和“n2＝C2n+C2n+1”，得任何一个自然数（n＞1）的3次方均可表达为n3＝（C2n+1－C2n）×（C2n+C2n+1）.

又根据“n2＝C2n+C2n+1”，得任何一个自然数（n＞1）的4次方均可表达为n4＝（C2n+C2n+1）×（C2n+C2n+1）.

　　以上发现，尤其是一些公式也许不属于我张尔光的新发现，而是属于前人“已发现”.但是，本人发现的意义是在于寻到了地图及其结构模式在数学上的“根”，找到了自然数以及数学的组合、排列的“源”和“流”.所谓“源”，是指一切自然数以及组合数、排列数皆源自于“1”；所谓“流”，是指一切自然数以及组合数、排列数皆形成于“循序逐增”原理.甚至本人还有这样无知的联想：

这些发现对于人们另辟蹊径破解“哥德巴赫猜想”“费马大定理”也许会有有益的启示.