完整基本初等函数知识点及练习文档docx.docx
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【指数与指数函数】
一、指数
（一）整数指数幂
1．整数指数幂概念：
an（nN）；
144424443
个a
a
n
（a
0,n
N
）．
规定：
a0
（a
0）．
2．整数指数幂的运算性质：
（1）am
an
，
（2）am
an
（m,nZ）；
（3）am
n
（m,nZ）；
（4）ab
n
（n
Z）．
（二）根式
1．根式的概念（a的n次方根的概念）：
一般地，如果一个数的
n次方等于a
n
1,n
N
，那么这个数叫做
a的n次方根．
即：
若
，则x叫做a的n次方根．
n
1,n
N
例如：
27的3次方根
，
27
的3
次方根
，
32的5次方根
，
32的5次方根
．
说明：
（1）若n是奇数，则a的n次方根记作na；若a
0，则na
，若a
0，则n
a
；
（2）若n是偶数，且a
0，则a的正的n次方根记作na，a的负的
n次方根，记作：
na；
例如：
8的平方根
；16的4次方根
．
（3）若n是偶数，且a
0则na没意义，即负数没有偶次方根
；
（4）Q0n
0n1,nN
，
n00；
（5）式子na叫根式，n叫
，a叫
．
2．a的n次方根的性质
（1）一般地，若n是奇数，则n
an
；若n是偶数，则n
an
．
n
（注意a必须使n
（2）
na
a有意义）．
（二）分数指数幂
1．分数指数幂：
m
规定：
（1）正数的正分数指数幂的意义是
an
a
0,m、n
N,n
1
；
m
（2）正数的负分数指数幂的意义是
a
n
a0,m、n
N
n
1；
（3）0的正分数指数幂等于
，0
的负分数指数幂
．
2．分数指数幂的运算性质：
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
1aras
a0,r,sQ；
1
2
ar
s
a
0,r,s
Q
；
3
ab
r
a
0,b
0,r
Q
．
说明：
当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
例如：
5a10
a
0，
3
a12
a
0
【练习巩固】
（1）3
83
2
（3）43
4
2
1．求下列各式的值：
（2）
10
（4）
abab
2．已知ab0，n1,n
N，
化简：
n
n
n
n
ab
ab．
3．计算：
740740
5
9
5．
4．求值：
4
2
5．用分数指数幂的形式表示下列各式a0：
（1）a2a；
（2）a33a2；（3）aa．
2
1
1
1
1
5
1
3
8
6．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
（1）2a3b2
6a2b3
3a6b6
；
（2）m4n
8；
7．计算下列各式：
（1）
35
125
45；
（2）
a2
a0．
a3
a2
2
二、指数函数
1
．指数函数定义：
一般地，函数
叫做指数函数，其中
是自变量，函数定义域是
．
2
．指数函数yax
在底数a
1及0a
1的图象特征及函数性质：
图象特征
函数性质
图象的伸展：
图象的对称性：
图象的位置：
图象过定点：
自左向右看，图象逐渐
自左向右看，图象逐渐
在第一象限内的图象纵坐标
在第一象限内的图象纵坐标
都
都
在第二象限内的图象纵坐标
在第二象限内的图象纵坐标
都
都
函数值开始增长
，到了
函数值开始减小
，到了
图象上升趋势是越来越
图象下降趋势是越来越
某一值后增长速度
某一值后减小速度
总结：
指数函数y
ax在底数a
1及0
a1这两种情况下的图象和性质：
a
1
0a
1
图
象
（1）定义域：
．
（2
）值
域：
．
性
质
（3
）过点
，即x
0时，y
．
（4
）在R上是
函数，
（4）在R上是
函数，
当x
0时，
；当x
0时，
．当x
0时，
；当x
0时，
．
掌握指数函数在底数不同时的图象变化规律．
当a1时，ayax的图象向上越接近y轴，向下越接近x轴．
当0a1时，ayax的图象向上越接近y轴，向下越接近x轴．
【练习巩固】
一、指数函数的定义问题
3
例：
若f（52x1）
x
2，则f（125）
______________．
练1
．已知指数函数图像经过点
P（
1,
3）
，则f（3）
______________
．
练2
．设函数f（x）
ax
（a
0且a
1），f
（2）
4，则（
）
A．f
（1）
f
（2）
B．f
（1）
f
（2）
C．f
（2）
f
（2）
D．f（3）f
（2）
练3
．已知f
（x）是指数函数，且
f（
3
）
5
2
，则f（3）
．
25
二、指数函数的图像问题
例1：
若函数y
ax
（b
1）（a
0,
a
1）的图像经过第一、三、四象限，则一定有（
）
A．a1且b0
B．0a
1且b
0C．0a1且b
0
D．a1且b1
例2：
画函数y
ax
（a
1）的图像．
练1．方程2xx2的实根的个数为_______．
练2．直线y3a与函数yax1（a0且a1）的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．
练3．若1x0，则下列不等式中成立的是（）
x
x
A.5x
5x
1
B.5x
1
5x
C.5x
5x
2
2
练4．函数y
ax3
3（a
0且a
1）的图象恒过定点____________．
练5．函数yax21（a0且a1）的图像必经过点____________．
x
x
1
D.
1
5x
5x
2
2
练6．设a,b,c,
d都是不等于1的正数，yax,ybx,y
cx,ydx
ybx
y
ycx
在同一坐标系中的图像如图所示，则
a,b,c,d的大小顺序是（
）
yax
ydx
A．abcd
B．abdc
C．badc
D．bacd
x
三、求解有关指数不等式、方程
o
例：
已知（a2
2a5）3x
（a2
2a5）1
x，则x的取值范围是___________．
22
练1．设0a1，解关于x的不等式a2x3x2a2x2x3．练2．解方程3x232x80．
练3．若方程
（1）x
（1）x
a0有正数解，则实数
a的取值范围是
．
4
2
4
练4．设0a
1，使不等式ax2
2x1
ax2
3x5成立的x的集合是
．
四、定义域与值域问题
例：
求下列函数的定义域、值域．
1
1
（1）x
x
a
x
1（a0,a1）．
（1）y
82x1；
（2）y
；
（3）y3
；
（4）y
2
ax
1
练1．当x1,1时，f（x）3x2的值域为________．
练2．已知函数yf（x）的定义域为1,2，则函数yf（2x）的定义域为________．
练3
．设集合S{y|y
3x,x
R},T
{y|yx2
1,x
R}，则SI
T是（
）
A、
B、T
C、S
D、有限集
1
4x
2x1
1
）2x22
练4
．求下列函数的定义域与值域（
1）y
2x3；
（2）
y
1；（3）y
（
．
3
练5．已知2x1
4
五、最值问题
x3
x
，求函数y
1
的值域．
2
例：
函数ya2x
2ax
1（a0且a
1）在区间
1，1
上有最大值14，则a的值是_______．
练1．已知x
3,2，求f（x）
1
1
1的最小值与最大值．
4x
2x
练2．已知1x2，求函数f（x）323x19x的最大值和最小值．
5
练3．设0x
x
1
32x
5的最大值和最小值．
2，求函数y4
2
六、比较大小问题
例：
设1
1
b
1
a
1，则（
）
3
3
3
A．aa
ab
ba
B．aa
ba
ab
C．ab
aa
ba
D．ab
ba
aa
2a
1
3
2a
练1．若
1
1
，则实数a的取值范围是（
）
2
2
A．1,
B．
1,
C．
1
D．
1
2
2
练2．下列三个实数的大小关系正确的是（
）
2
21
2
A．
1
1
B．
1
121
2011
2011
2011
2011
1
2
1
1
1
2
C．1
2
D．1
2
2011
2011
2011
2011
练3．比较下列各组数的大小：
（1）若abc1，比较1
a
b
与
1
a
c
；
（2）若ab0，c0，比较ac与bc；
（3）若ab0，c0，比较ac与bc；（4）若a,b1,，xy0，且axby，比较a与b；
（5）若a,b0,1，xy0，且axby，比较a与b．
七、单调性问题
x2
2x
1
例：
讨论函数
f（x）
的单调性．
3
x2
2x
练1
．函数y
1
的单调增区间为___________．练2．函数y2x2
x
的单调递增区间为
．
2
练3
．函数f（x）
2x2
2（a1）x1
在区间[5,
）上是增函数，则实数
a的取值范围是（
）
A．6,
B．6,
C．
6
D．
6
6
1
x
练4
．函数y
1
的单调增区间为（
）
2
A．
B．0,
C．1,
D．0,1
练5
．函数f（x）
1
在
上（
）
2x
1
A．单调递减无最小值
B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值
D．单调递增有最大值
x2
3x2
练6
．求函数y
2
x2
2x2的定义域，值域和单调区间．
练7．求函数y
1
的单调区间．
3
八、函数的奇偶性问题
例：
当a
1
ax
1
时，证明函数y
是奇函数．
ax
1
练1．如果函数f（x）在区间[2,4a2a]上是偶函数，则a_________．
练2．若函数f（x）a
1
是奇函数，则
a_________．
4x
1
2
练3．若函数f（x）e（xu）的最大值为m，且f（x）是偶函数，则mu________．
练4．设a是实数，f（x）a
2
a,f（x）在R为增函数；
（2）试确定a的值，
（xR），
（1）试证明：
对于任意
2x
1
使f（x）为奇函数及此时
f（x）的值域．
练5．已知f（x）（
x
1
1
1
）x．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数
f（x）的奇偶性；（3）求证：
f（x）0．
2
2
7
【对数与对数函数】
一、对数
1
．对数的概念：
一般地，如果
a
x
N（a
0,a
1）
，那么数
x
．a
．．N
的对数，记作：
x
logaN
叫做以
为底
（其中：
a是
，N是
，logaN是
）
两个重要对数：
（1）常用对数：
以10
为底的对数lgN；常用对数：
lgN
log10N
（2）自然对数：
以无理数e2.71828L
为底的对数的对数
lnN．
自然对数：
lnN
logeN（其中e
2.71828L）；
对数式与指数式的互化：
ax
N
转化
logaN
x
2
．对数的性质：
（1）负数和零没有对数；
（2）1
的对数是零：
loga1
_______；
（3）底数的对数是
1：
logaa
_______；
（4）对数恒等式：
alogaN
_______；
（5）logaan
_______．
3
．对数的运算法则：
loga
MN
M，N
R
；
loga
M
M，N
R；
N
loga
Nn
N
R
；
loga
n
N
N
R
4
．对数换底公式：
logb
N______________
；
5
．由换底公式推出一些常用的结论：
（1）logab·logba
，logab
；
（2）log
a
nbm
；
（3）logan
bn
；
（4）loganam
．
二、对数函数
1
．对数函数的概念：
函数ylogax（a
0且a1）叫做对数函数其中
x是自变量，函数的定义域是
0,
2
．对数函数y
logax在底数a1及0
a
1的图象特征及函数性质：
图象特征
函数性质
a
1
0
a
1
a1
0
a1
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