一元二次方程学案教案.docx
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一元二次方程学案教案
§22.1.1一元二次方程的解法
学习目标．．．．．．
学习过程．．．．．．
试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4；
（2）x2－1＝0;
解:
x=____解:
左边用平方差公式分解因式，得
x=__________________＝0，
必有x－1＝0，或______＝0,
得x1＝___，x2＝_____.
概 括
（1）这种方法叫做直接开平方法.
（2）这种方法叫做因式分解法.
思 考
（1）方程x2＝4能否用因式分解法来解？
要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？
（2）方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？
要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？
（1）x2＝4；
（2）x2－1＝0;
做一做
1.试用两种方法解方程x2－900＝0.
（1）直接开平方法
（2）因式分解法
2.解下列方程：
（1）x2－2＝0;
（2）16x2－25＝0.
解
（1）移项，得x2＝2.
（2）移项，得_________.
直接开平方，得
.方程两边都除以16，得______
所以原方程的解是直接开平方，得x＝___.
，
.所以原方程的解是x1＝___，x2＝___..
3.解下列方程：
（1）3x2＋2x=0；
（2）x2＝3x.
解
（1）方程左边分解因式，得_______________
所以 __________，或____________
原方程的解是 x1＝______，x2＝______
（2）原方程即_____________=0.
方程左边分解因式，得____________＝0.
所以 __________，或________________
原方程的解是 x1＝_____，x2＝_________
练 习
1.解下列方程：
（1）x2＝169；
（2）45－x2＝0；
（3）12y2－25＝0；（4）x2－2x＝0；
（5）（t－2）（t+1）=0；（6）x（x＋1）－5x＝0.
2.小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？
为什么会少一个解？
范例讲解:
（Ｂ）
例解下列方程：
（1）（x＋1）2－4＝0；
（2）12（2－x）2－9＝0.
分 析 两个方程都可以转化为2＝a的形式，从而用直接开平方法求解.
解
（1）原方程可以变形为（_____）2＝____，
（3）原方程可以变形为________________________，
有 ________________________.
所以原方程的解是 x1＝________，x2＝_________.
课后练习
解下列方程：
（1）（x＋2）2－16＝0；
（2）（x－1）2－18＝0；
（3）（1－3x）2＝1；（4）（2x＋3）2－25＝0.
（5）x（3x＋2）－6（3x＋2）＝0.
§22.1.2一元二次方程的解法
学习目标．．．．．
学习过程．．．．．．
一.试一试:
解下列方程：
（1）x2＋2x＝5；
（2）x2－4x＋3＝0.
思 考能否经过适当变形，将它们转化为2＝a
的形式，应用直接开方法求解？
解
（1）原方程化为x2＋2x＋1＝5＋1，
_____________________,
_____________________,
_____________________.
（2）原方程化为x2－4x＋4＝－3＋4
_____________________,
_____________________,
_____________________.
二.归 纳
上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为（x－2）2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
三．练一练
配方.填空：
（Ａ）
（1）x2＋6x＋（）＝（x＋）2；
（2）x2－8x＋（）＝（x－）2；
（3）x2＋
x＋（）＝（x＋）2；
从这些练习中你发现了有什么特点?
（1）________________________________________________
（2）________________________________________________
四.范例
例:
用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0；
（2）x2＋3x＋1＝0.
解
（1）移项，得x2－6x＝____.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋__2＝7＋___，
即（______）2＝____.
所以x－3＝____.
原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____.
（2）移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2＋3x＋（__）2＝－1＋____，
即_____________________
所以___________________
原方程的解是：
x1＝______________x2＝___________
五、练习：
用配方法解方程：
（1）x2＋8x－2＝0
（2）x2－5x－6＝0.
（3）x2＋px＋q＝0（p2－4q≥0）.
（Ｂ）
（4）4x2－6x＋（）=4（x－）＝4（x－）2＝（2x－）2.
（Ｃ）思考讨论如何用配方法解下列方程？
请你和同桌讨论一下：
当二次项系数不为1时，如何应用配方法？
（1）4x2－12x－1＝0;
（2）3x2＋2x－3＝0.
（3）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.
§22.1.3一元二次方程的解法
学习目标．．．．
学习过程．．．．．
思 考:
.显然，前面所学的方程如4x2－12x－1＝0都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？
它们有什么共同特点呢？
概 括:
前面所学的___式方程中都只含有_________未知数，并且未知数的______次数是_________，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是已知数，a___0）其中a、b、c分别叫做二次项____、______系数和_____项.
练 习
2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2；化为一般形式_______________________
二次项系数a=__、一次项系数b=___常数项c=__
（2）7x－3=2x2;化为一般形式_______________________
二次项系数a=__、一次项系数b=___常数项c=__
（3）x（2x－1）－3x（x－2）=0
化为一般形式:
_________________________
二次项系数a=__、一次项系数b=___常数项c=__
（4）2x（x－1）=3（x＋5）－4.
化为一般形式:
_________________________
二次项系数a=__、一次项系数b=___常数项c=__
3.关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是什么？
4.（Ｂ）已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.
探索用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.
因为a≠0，方程两边都除以a，得
_____________________＝0.
移项，得x2＋
x＝________，
配方，得x2＋
x＋______＝______－
即（____________）2＝___________
因为a≠0，所以4a2＞0，当b2－4ac≥0时，直接开平方，得
_____________________________.
所以x＝_______________________
即x＝_________________________
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式：
x＝（b2－4ac≥0）
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
例 解下列方程:
（1）2x2＋x－6＝0；
（2）x2＋4x＝2；
（3）5x2－4x－12＝0；（4）4x2＋4x＋10＝1－8x.
解
（1）这里a＝___，b＝___，c＝______，
b2－4ac＝____________＝_________
所以x＝
＝_________＝____________
即原方程的解是x1＝_____，x2＝_____
（2）将方程化为一般式，得_________________＝0.
因为b2－4ac＝_________
所以x＝_____________＝_______________
原方程的解是x1＝________，x2＝_____
（3）因为___________________，
所以 x＝____________＝__________＝__________
原方程的解是x1＝________，x2＝__________.
（4）整理，得_______________＝0.
因为b2－4ac＝_________，
所以 x1＝x2＝________
课后作业
应用方程公式解方程：
（1）x2－6x＋1＝0；
（2）2x2－x＝6；
（3）4x2－3x－1＝x－2；（4）3x（x－3）＝2（x－1）（x＋1）.
（5）（x-2）（x+5）＝8； （6）（x＋1）2＝2（x＋1）.
§22.1.4一元二次方程的解法（练习两节课）
学习目标。
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学习过程。
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1.解下列方程
（1）2x2－6＝0；
（2）27＝4x2；
（3）3x2＝4x； （4）x（x－1）＋3（x－1）＝0；
（5）（x＋1）2＝2； （6）3（x－5）2＝2（5－x）.
2.解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0；
（2）
（x＋3）2＝2；
（3）x2＋2x－8＝0； （4）3x2＝4x－1；
（5）x（3x－2）－6x2＝0； （6）（2x－3）2＝x2.
3.当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21；
（2）3x2－6的值与x－2的值相等.
4.用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x；
（2）
（x＋3）2＝1；
（3）x2＋（
＋1）x＝0； （4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝
； （6）x（x＋8）＝16；
（7）（x＋2）（x－5）＝1； （8）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
5.已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
思 考
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？
通常你是如何选择的？
和同学交流一下.
§22.1.5一元二次方程的解法
学习目标。
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学习过程。
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按提出的问题思考后填空
问题1
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分 析设长方形绿地的宽为x米，则长为＿＿＿＿＿＿＿＿米，不难列出方程____________________
整理可得___________________________
x＝_________________，
x1＝_____________，x2＝_______________
但__________________，应舍去.所以
x＝__________≈___________，
x＋10≈_________，
因此绿地的宽和长应分别约为_______米和_________米.
问题2
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
分 析设这两年的年平均增长率为x，则今年年底的图书数是__________万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的_______倍，即_________________________________万册.可列得方程
____________________＝7.2
问题3根据题意，列出方程（不必求解）：
学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半.已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径.
设_______________________
列得方程_________________________________________
例1 如图22.2.1，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.
解 设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得
练习（Ａ）
1.学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的
时较美观，求镶上彩纸条的宽.（精确到0.1厘米）
2.竖直上抛物体的高度h和时间t?
符合关系式h＝v0t－
gt2，其中重力加速g以10米/秒2计算.爆竹点烯后以初速度v0＝20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？
（Ｂ）
3.小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）
§22.1.6一元二次方程的解法
学习目标。
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学习过程。
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例1 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解 设原价为________，每次降价的百分率为x.根据题意，得
________________________
解这个方程，得x＝__________
由于降价的百分率不可能大于1，所以x＝_______________不符合题意，因此符合本题要求的x为__________≈29.3%.
答：
每次降价的百分率为29.3%.
例2根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好.已知学校礼堂舞台宽20米，求举行文娱会演时主持人应站在何处？
设_______________________
列得方程_________________________________________
练 习（Ａ）
1.市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.
2.学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽.（精确到0.1米）
（Ｂ）
3、某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月平均增长的百分率.
（Ｃ）
4、校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏.请你设计，如何搭建较合适？
§22.２一元二次方程根的判别式（选学）
学习目标。
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学习过程。
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方程根的判别式
x＝_______________________
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac___0时才有实数根
.观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：
1当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
2当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
3当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
这里的＿＿＿＿＿叫做一元二次方程的根的判别式，用＂＿＿＂来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根；
方程根的判别式应用
例１ 应用判别式来判断一个一元二次方程是否有实数根
（１）x2＋2x－8＝0； （２）3x2＝4x－1；
因为Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿
＝＿＿＿＿＿ ＿＿０
所以方程＿＿＿＿＿＿实数根
（３）x（3x－2）－6x2＝0； （４）x2＋（
＋1）x＝0；
（5）x（x＋8）＝16； （６）（x＋2）（x－5）＝1；
例２ 应用判别式来确定方程中的待定系数
１．m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0
有两个相等的实数根？
求出这时方程的根.
解：
因为Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＝＿＿＿＿＿＿
因为方程有两个相等的实数根
所以Δ＝b2－4ac＿＿＿０即＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
解得ｍ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
这时方程的根ｘ＝
２．m取什么值时，关于x的方程2x2-（m＋2）x＋2m－2＝0
有两个不相等的实数根？
３．m取什么值时，关于x的方程2x2-（m＋2）x＋2m－2＝0没
有实数根？
４．说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实根.
解：
把化为一般形式得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
课后练习
１．ｋ取什么值时，关于x的方程４x2-（ｋ＋2）x＋ｋ－１＝0
有两个相等的实数根？
求出这时方程的根.
４．说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋（２ｋ＋１）x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.
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