一元二次方程学案教案.docx
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一元二次方程学案教案
§22.1.1一元二次方程的解法
学习目标......
学习过程......
试一试解下列方程,并说明你所用的方法,与同伴交流.
(1)x2=4;
(2)x2-1=0;
解:
x=____解:
左边用平方差公式分解因式,得
x=__________________=0,
必有x-1=0,或______=0,
得x1=___,x2=_____.
概 括
(1)这种方法叫做直接开平方法.
(2)这种方法叫做因式分解法.
思 考
(1)方程x2=4能否用因式分解法来解?
要用因式分解法解,首先应将它化成什么形式?
(2)方程x2-1=0能否用直接开平方法来解?
要用直接开平方法解,首先应将它化成什么形式?
(1)x2=4;
(2)x2-1=0;
做一做
1.试用两种方法解方程x2-900=0.
(1)直接开平方法
(2)因式分解法
2.解下列方程:
(1)x2-2=0;
(2)16x2-25=0.
解
(1)移项,得x2=2.
(2)移项,得_________.
直接开平方,得
.方程两边都除以16,得______
所以原方程的解是直接开平方,得x=___.
,
.所以原方程的解是x1=___,x2=___..
3.解下列方程:
(1)3x2+2x=0;
(2)x2=3x.
解
(1)方程左边分解因式,得_______________
所以 __________,或____________
原方程的解是 x1=______,x2=______
(2)原方程即_____________=0.
方程左边分解因式,得____________=0.
所以 __________,或________________
原方程的解是 x1=_____,x2=_________
练 习
1.解下列方程:
(1)x2=169;
(2)45-x2=0;
(3)12y2-25=0;(4)x2-2x=0;
(5)(t-2)(t+1)=0;(6)x(x+1)-5x=0.
2.小明在解方程x2=3x时,将方程两边同时除以x,得x=3,这样做法对吗?
为什么会少一个解?
范例讲解:
(B)
例解下列方程:
(1)(x+1)2-4=0;
(2)12(2-x)2-9=0.
分 析 两个方程都可以转化为2=a的形式,从而用直接开平方法求解.
解
(1)原方程可以变形为(_____)2=____,
(3)原方程可以变形为________________________,
有 ________________________.
所以原方程的解是 x1=________,x2=_________.
课后练习
解下列方程:
(1)(x+2)2-16=0;
(2)(x-1)2-18=0;
(3)(1-3x)2=1;(4)(2x+3)2-25=0.
(5)x(3x+2)-6(3x+2)=0.
§22.1.2一元二次方程的解法
学习目标.....
学习过程......
一.试一试:
解下列方程:
(1)x2+2x=5;
(2)x2-4x+3=0.
思 考能否经过适当变形,将它们转化为2=a
的形式,应用直接开方法求解?
解
(1)原方程化为x2+2x+1=5+1,
_____________________,
_____________________,
_____________________.
(2)原方程化为x2-4x+4=-3+4
_____________________,
_____________________,
_____________________.
二.归 纳
上面,我们把方程x2-4x+3=0变形为(x-2)2=1,它的左边是一个含有未知数的________式,右边是一个_______常数.这样,就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
三.练一练
配方.填空:
(A)
(1)x2+6x+()=(x+)2;
(2)x2-8x+()=(x-)2;
(3)x2+
x+()=(x+)2;
从这些练习中你发现了有什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
四.范例
例:
用配方法解下列方程:
(1)x2-6x-7=0;
(2)x2+3x+1=0.
解
(1)移项,得x2-6x=____.
方程左边配方,得x2-2·x·3+__2=7+___,
即(______)2=____.
所以x-3=____.
原方程的解是 x1=_____,x2=_____.
(2)移项,得x2+3x=-1.
方程左边配方,得x2+3x+(__)2=-1+____,
即_____________________
所以___________________
原方程的解是:
x1=______________x2=___________
五、练习:
用配方法解方程:
(1)x2+8x-2=0
(2)x2-5x-6=0.
(3)x2+px+q=0(p2-4q≥0).
(B)
(4)4x2-6x+()=4(x-)=4(x-)2=(2x-)2.
(C)思考讨论如何用配方法解下列方程?
请你和同桌讨论一下:
当二次项系数不为1时,如何应用配方法?
(1)4x2-12x-1=0;
(2)3x2+2x-3=0.
(3)ax2+bx+c=0(a≠0).
§22.1.3一元二次方程的解法
学习目标....
学习过程.....
思 考:
.显然,前面所学的方程如4x2-12x-1=0都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里?
它们有什么共同特点呢?
概 括:
前面所学的___式方程中都只含有_________未知数,并且未知数的______次数是_________,这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式:
ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数,a___0)其中a、b、c分别叫做二次项____、______系数和_____项.
练 习
2.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)3x2-x=2;化为一般形式_______________________
二次项系数a=__、一次项系数b=___常数项c=__
(2)7x-3=2x2;化为一般形式_______________________
二次项系数a=__、一次项系数b=___常数项c=__
(3)x(2x-1)-3x(x-2)=0
化为一般形式:
_________________________
二次项系数a=__、一次项系数b=___常数项c=__
(4)2x(x-1)=3(x+5)-4.
化为一般形式:
_________________________
二次项系数a=__、一次项系数b=___常数项c=__
3.关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程的条件是什么?
4.(B)已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一个解是0,求m的值.
探索用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
因为a≠0,方程两边都除以a,得
_____________________=0.
移项,得x2+
x=________,
配方,得x2+
x+______=______-
即(____________)2=___________
因为a≠0,所以4a2>0,当b2-4ac≥0时,直接开平方,得
_____________________________.
所以x=_______________________
即x=_________________________
由以上研究的结果,得到了一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式:
x=(b2-4ac≥0)
利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法.
例 解下列方程:
(1)2x2+x-6=0;
(2)x2+4x=2;
(3)5x2-4x-12=0;(4)4x2+4x+10=1-8x.
解
(1)这里a=___,b=___,c=______,
b2-4ac=____________=_________
所以x=
=_________=____________
即原方程的解是x1=_____,x2=_____
(2)将方程化为一般式,得_________________=0.
因为b2-4ac=_________
所以x=_____________=_______________
原方程的解是x1=________,x2=_____
(3)因为___________________,
所以 x=____________=__________=__________
原方程的解是x1=________,x2=__________.
(4)整理,得_______________=0.
因为b2-4ac=_________,
所以 x1=x2=________
课后作业
应用方程公式解方程:
(1)x2-6x+1=0;
(2)2x2-x=6;
(3)4x2-3x-1=x-2;(4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1).
(5)(x-2)(x+5)=8; (6)(x+1)2=2(x+1).
§22.1.4一元二次方程的解法(练习两节课)
学习目标。
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学习过程。
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1.解下列方程
(1)2x2-6=0;
(2)27=4x2;
(3)3x2=4x; (4)x(x-1)+3(x-1)=0;
(5)(x+1)2=2; (6)3(x-5)2=2(5-x).
2.解下列方程
(1)(2x-1)2-1=0;
(2)
(x+3)2=2;
(3)x2+2x-8=0; (4)3x2=4x-1;
(5)x(3x-2)-6x2=0; (6)(2x-3)2=x2.
3.当x取何值时,能满足下列要求?
(1)3x2-6的值等于21;
(2)3x2-6的值与x-2的值相等.
4.用适当的方法解下列方程:
(1)3x2-4x=2x;
(2)
(x+3)2=1;
(3)x2+(
+1)x=0; (4)x(x-6)=2(x-8);
(5)(x+1)(x-1)=
; (6)x(x+8)=16;
(7)(x+2)(x-5)=1; (8)(2x+1)2=2(2x+1).
5.已知y1=2x2+7x-1,y2=6x+2,当x取何值时y1=y2?
思 考
根据你学习的体会,小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法?
通常你是如何选择的?
和同学交流一下.
§22.1.5一元二次方程的解法
学习目标。
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学习过程。
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按提出的问题思考后填空
问题1
绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?
分 析设长方形绿地的宽为x米,则长为________米,不难列出方程____________________
整理可得___________________________
x=_________________,
x1=_____________,x2=_______________
但__________________,应舍去.所以
x=__________≈___________,
x+10≈_________,
因此绿地的宽和长应分别约为_______米和_________米.
问题2
学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
分 析设这两年的年平均增长率为x,则今年年底的图书数是__________万册;同样,明年年底的图书数又是今年年底的_______倍,即_________________________________万册.可列得方程
____________________=7.2
问题3根据题意,列出方程(不必求解):
学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛,要使花坛的面积是余下草坪面积的一半.已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形,求花坛的半径.
设_______________________
列得方程_________________________________________
例1 如图22.2.1,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.
解 设截去正方形的边长为x厘米,根据题意,得
练习(A)
1.学生会准备举办一次摄影展览,在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验,彩纸面积为相片面积的
时较美观,求镶上彩纸条的宽.(精确到0.1厘米)
2.竖直上抛物体的高度h和时间t?
符合关系式h=v0t-
gt2,其中重力加速g以10米/秒2计算.爆竹点烯后以初速度v0=20米/秒上升,问经过多少时间爆竹离地15米?
(B)
3.小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄,到期后自动转存.今年到期扣除利息税(利息税为利息的20%),共取得5145元.求这种储蓄的年利率.(精确到0.1%)
§22.1.6一元二次方程的解法
学习目标。
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学习过程。
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例1 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率.(精确到0.1%)
解 设原价为________,每次降价的百分率为x.根据题意,得
________________________
解这个方程,得x=__________
由于降价的百分率不可能大于1,所以x=_______________不符合题意,因此符合本题要求的x为__________≈29.3%.
答:
每次降价的百分率为29.3%.
例2根据科学分析,舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点(即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段,使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比),视觉和音响效果最好.已知学校礼堂舞台宽20米,求举行文娱会演时主持人应站在何处?
设_______________________
列得方程_________________________________________
练 习(A)
1.市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验,重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖,之后逐年增加,到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.
2.学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形,为便于管理,现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图),要使种植面积为600平方米,求小道的宽.(精确到0.1米)
(B)
3、某商店二月份营业额为50万元,春节过后三月份下降了30%,四月份有回升,五月份又比四月份增加了5个百分点(即增加了5%),营业额达到48.3万元.求四、五两个月平均增长的百分率.
(C)
4、校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙,并利用已有总长为25米的铁围栏.请你设计,如何搭建较合适?
§22.2一元二次方程根的判别式(选学)
学习目标。
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学习过程。
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方程根的判别式
x=_______________________
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有当系数a、b、c满足条件b2-4ac___0时才有实数根
.观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况:
1当b2-4ac>0时,方程有__个________的实数根;(填相等或不相等)
2当b2-4ac=0时,方程有___个____的实数根
x1=x2=________
3当b2-4ac<0时,方程______实数根.
这里的_____叫做一元二次方程的根的判别式,用"__"来表示,用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根,如对方程x2-x+1=0,可由b2-4ac=_____0直接判断它____实数根;
方程根的判别式应用
例1 应用判别式来判断一个一元二次方程是否有实数根
(1)x2+2x-8=0; (2)3x2=4x-1;
因为Δ=b2-4ac=_____
=_____ __0
所以方程______实数根
(3)x(3x-2)-6x2=0; (4)x2+(
+1)x=0;
(5)x(x+8)=16; (6)(x+2)(x-5)=1;
例2 应用判别式来确定方程中的待定系数
1.m取什么值时,关于x的方程x2-2x+m-2=0
有两个相等的实数根?
求出这时方程的根.
解:
因为Δ=b2-4ac=__________________
=______
因为方程有两个相等的实数根
所以Δ=b2-4ac___0即__________
解得m_________________
这时方程的根x=
2.m取什么值时,关于x的方程2x2-(m+2)x+2m-2=0
有两个不相等的实数根?
3.m取什么值时,关于x的方程2x2-(m+2)x+2m-2=0没
有实数根?
4.说明不论m取何值,关于x的方程(x-1)(x-2)=m2总有两个不相等的实根.
解:
把化为一般形式得___________________
Δ=b2-4ac=______________
=___________________
=______________
课后练习
1.k取什么值时,关于x的方程4x2-(k+2)x+k-1=0
有两个相等的实数根?
求出这时方程的根.
4.说明不论k取何值,关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0总有两个不相等的实根.