人教版有理数乘方教案.docx

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人教版有理数乘方教案

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1.5.1有理数的乘方

（1）

教学目标

知识与技能：

通过现实背景，使学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义；能够正确进行有理数乘方运算，并让学生经历探索乘方的有关规律的过程。

过程与方法：

经历“做数学”和“用数学”的过程，感受数学的奇妙性，领会重要的数学建模思想、归纳思想，形成数感、符号感，发展抽象思维。

情感态度与价值观：

认识数学与生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性，提高数学素养。

通过参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲，形成主动学习态度，培养科学探索精神，提升人文素质，鼓励猜想，倡导参与，与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，建立自信心。

重点难点

重点：

理解有理数乘方的意义和表示，会进行乘方运算

难点：

1.幂、底数、指数的概念及其表示，理解有理数乘法运算与乘方间的联系，处理好负数的乘方运算。

2.用乘方知识解决有关实际问题。

教学设计

一、复习提问，导入新课

1.几个不等于零的有理数相乘，积的符号是怎样确定的？

几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正．

2.正方形的边长为2，则面积是多少？

棱长为2的正方体，则体积为多少？

边长为2的正方形的面积为2×2＝4；棱长为2的正方体的体积为2×2×2＝8.

在这里我们发现2×2，2×2×2都是相同因数的乘法，为了简便，我们将它们分别记作：

22，23，22读作“2的平方”（或“2的二次方”），23读作“2的立方”（或“2的三次方”）.

同样：

（－2）×（－2）×（－2）×（－2）记作什么？

读作什么？

（-

）×（-

）×（-

）×（-

）×（-

）记作什么？

读作什么？

a·a·a·a·a·a可以记作什么？

读作什么？

那么：

a·a·…·a像这样n个相同的因数a相乘，记作什么？

读作什么？

记作an，读作a的n次方。

★对于an中的a，不仅可以取正数，还可以取0和负数，也就是说a可以取任意有理数，这就是我们今天要研究的课题：

有理数的乘方。

二、探索新知，讲授新课

一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a……a,记作an,读作a的n次方。

这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．

在an中，a叫底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．

例如，在94中，底数是9，指数是4，94读作“9的4次方”，或“9的4次幂”，它表示4个9相乘，即9×9×9×9；

一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写．

例1：

计算：

（1）（－4）3；

（2）（－2）4；（3）（－

）5；

（4）33；（5）24；（6）（－

）2．

解：

（1）（－4）3=（－4）×（－4）×（－4）=－64

（2）（－2）4=（－2）×（－2）×（－2）×（－2）=16

（3）（－

）5=（－

）×（－

）×（－

）×（－

）×（－

）=－

（4）33=3×3×3=27

（5）24=2×2×2×2=16

（6）（－

）2=（－

）×（－

）=

观察以上运算结果，你发现负数的幂的正负有什么规律？

根据有理数的乘法法则可以得出：

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何次幂都是0．

思考：

①32与23有什么不同？

②（－2）3与－23的意义是否相同？

其中结果是否一样？

③（－2）4与－24呢？

④（

）2与

呢？

解答：

②（－2）3的底数是－2，指数是3，读作－2的3次幂，表示（－2）×（－2）×（－2），结果是－8；－23的底数是2，指数是3，读作2的3次幂的相反数，表示为－（2×2×2），结果是－8．（－2）3与－23的意义不同，但结果相同．

③（－2）4的底数是－2，指数是4，读作－2的四次幂，表示（－2）×（－2）×（－2）×（－2），结果是16；－24的底数是2，指数是4，读作2的4次幂的相反数，表示为－（2×2×2×2），其结果为－16．（－2）4与－24的意义不同，其结果也不同

④（

）2的底数是

，指数是2，读作

的二次幂，表示

×

，结果是

；

表示32与5的商，即

，结果是

．（

）2与

的意义不同，其结果也不同。

因此，当底数是负数或分数时，一定要用括号把底数括起来．

三、运用计算机进行乘方运算

例2：

用计算器计算（－8）5和（－3）6．

解：

用带符号键（－）的计算器．

开启计算器后按照下列步骤进行：

（（－）8）∧5=

显示：

（－8）^5

－32768即（－8）5=－32768

（（－）3）∧6=

显示：

（－3）^6

729即（－3）6=729

用带符号转换键+/－的计算器：

8+/－∧5=

显示：

－32768

3+/－∧6=

显示：

729

所以（－8）5=－32768（－3）6=729

四、巩固练习

课本第42页练习1、2．

五、课堂小结

正确理解乘方的意义，an表示n个a相乘的积．注意（－a）n与－an两者的区别及相互关系：

（－a）n的底数是－a，表示n个－a相乘的积；－an底数是a，表示n个a相乘的积的相反数．当n为偶数时，（－a）n与－an互为相反数，当n为奇数时，（－a）n与－an相等．

六、作业布置

1．课本第47页习题1．5第1、7题，第48页第11、12题．

七、课后反思

1.5.1有理数的乘方

（2）

教学目标

知识与技能：

1.能较熟练地进行有理数的混合运算，培养学生的运算能力。

2.在运算中能自觉地运用运算律。

3.培养学生的探究能力。

过程与方法：

1.通过本课的学习，使学生认识到小学算术里的四则运算同样适用于有理数的范围，体会知识系统性。

2.培养学生的观察探究能力，善于从表面现象看本质联系。

情感态度与价值观：

通过师生互动，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣和热情。

重点难点

重点：

有理数的混合运算。

难点：

正确而合理地进行有理数的混合运算。

教学设计

一、复习提问，导入新课

1．小学我们进行数的混合运算时，运算顺序是怎样的？

2．到现在为止，我们一共学了几种运算，你知道它们的混合运算顺序是怎样的吗？

二、探索新知，讲授新课

观察下面的算式里有哪几种运算？

3+50÷22×（－

）－1①

这个算式里，含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，按怎样的顺序进行运算？

有理数的混合运算，应按以下运算顺序进行：

1．先乘方，再乘除，最后加减；

2．同级运算，从左往右进行；

3．如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

例如上面①式

3+50÷22×（－

）－1

=3+50÷4×（－

）－1

=3+50×

×（－

）－1

=3－

－1

=－

例3：

计算：

（1）2×（－3）3－4×（－3）+15；

（2）（－2）3+（－3）×[（－4）2+2]－（－3）2÷（－2）．

分析：

分清运算顺序，先乘方，再做中括号内的运算，接着做乘除，最后做加减．计算时，特别注意符号问题．

解：

（1）原式=2×（－27）－（－12）+15

=－54+12+15

=－27

（2）原式=－8+（－3）×（16+2）－9÷（－2）

=－8+（－3）×18－（－4.5）

=－8－54+4.5=－57.5

例4：

观察下面三行数：

－2，4，－8，16，－32，64，…①

0，6，－6，18，－30，66，…②

－1，2，－4，8，－16，32，…③

（1）第①行数按什么规律排列？

（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？

（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．

分析：

第①行数，从符号看负、正相隔，奇数项为负数，偶数项为正数，从绝对值看，它们都是2的乘方．

解：

（1）第①行数是

－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，（－2）5，（－2）6，…

（2）对比①②两行中位置对应的数，你有什么发现？

第②行数是第①行相应的数加2．

即－2+2，（－2）2+2，（－2）3+2，（－2）4+2，…

对比①③两行中位置对应的数，你有什么发现？

第③行数是第①行相应的数的一半，即

－2×0.5，（－2）2×0.5，（－2）3×0.5，（－2）4×0.5，…

（3）根据第①行数的规律，得第10个数为（－2）10，那么第②行的第10个数为

（－2）10+2，第③行中的第10个数是（－2）10×0.5．

所以每行数中的第10个数的和是：

（－2）10+[（－2）10+2]+[（－2）10×0.5]

=1024+（1024+2）+1024×0.5

=1024+1026+512=2562

三、巩固练习

课本第44页练习．

四、课堂小结

在进行有理数混合运算时，一般按运算顺序进行，但有时根据运算律会使运算更简便，因此要在遵守运算顺序外，还要注意灵活运用运算律，使运算快捷、准确．

五、作业布置

1．课本第47页至第48页习题1．5第3、8题．

六、课后反思

1.5.2科学记数法

教学目标

知识与技能：

利用10的乘方，进行科学记数，会用科学记数法表示大于10的数，会解决与科学记数法有关的实际问题。

过程与方法：

体会科学记数法的好处和化繁为简的方法。

情感态度与价值观：

正确使用科学记数法表示数，表现出一丝不苟的精神。

重点难点

重点：

用科学记数法表示大于10的数。

难点：

探究用科学记数法表示大于10的数的方法。

教学设计

一、复习提问，导入新课

1．乘方的意义，a表示什么意义？

底数是什么？

指数是什么？

2.102＝；103＝；104＝。

100＝10×10＝（写成幂的形式，下同）；1000＝；10000＝；100000＝。

二、探索新知，讲授新课

例如第五次人口普查时，中国人口约为1300000000人，太阳半径约为696000000，光的速度约为300000000米/秒．读、写这样大的数有一定困难，那么有简单的表示方法吗？

让我们先观察10的乘方有什么特点？

102=100，103=1000，104=10000，…

即10的n次幂等于10…0（在1的后面有n个0），所以可以利用10的乘方表示一些大数，例如567000000=5.67×100000000=5.67×108

读作：

“5.67乘10的8次方（幂）”．

这样不仅可以使书写简短，同时还便于读数．

像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10即1≤a<10，n是正整数），这种记数方法叫科学记数法．

例如用科学记数法表示中国人口约为1.3×109人，太阳半径约为6.96×108米，光的速度约为3×108米/秒．

例5：

用科学记数法表示下列各数．

1000000，57000000，123000000000．

解：

1000000=106（这里a=1省略不写）

57000000=5.7×10000000=5.7×107

123000000000=1.23×100000000000=1.23×1011

思考：

观察上面的式子，等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系？

1000000是7位整数，而10的指数是6，57000000是8位整数，而10的指数为7．

即等号右边10的指数比左边整数的位数小1．

问：

如果一个数是6位整数，用科学记数法表示时，10的指数是多少？

如果一个数有8位整数呢？

用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n－1．

注意：

①“n位整数”是指这个数的整数部分的位数．

例如：

831.5的整数部分是3位，用科学记数法表示为8.315×102．

②用科学记数法表示一个数时，规定a必须是大于或等于1且小于10．（1≤a<10）

三、巩固练习

1．课本第45页习题1．5第1、2、3题．

四、课堂小结

用科学记数法表示较大的数时，注意a×10n中a的范围是1≤a<10，n是正整数，n与原数的整数部分的位数m的关系是m－1=n，反过来由用科学记数法表示的数写出原数时，原数的整数部分的数位m比10的指数大1．（即m=n+1）

另外，对于绝对值较大的负数，如－729000，它可表示为－7.29×105，它的意义是7.29×105的相反数，这里的a仍然是1≤a<10．

五、作业布置

课本第47页习题1．5第4、5、9、10题．

六、课后反思

1.5.3近似数

教学目标

知识与技能：

1.理解精确度和近似数的意义。

2.能准确地说出精确位及按要求进行四舍五入取近似数。

过程与方法：

通过对近似数的学习感受数学与生活的联系。

情感态度与价值观：

培养学生热爱数学热爱生活的乐观态度。

重点难点

重点：

近似数和精确度的意义。

难点：

由给出的近似数求其精确度，按给定的精确度求一个数的近似数。

教学设计

一、探索新知，讲授新课

1.准确数和近似数．

在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数．例如：

对于参加同一个会议的人数，有两种报道，一种报道说：

“会议秘书处宣布，参加今天会议的有513人”．这里数字513确切地反映了实际人数，它是一个准确数，另一种报道说：

“约有500人参加了今天的会议”，500这个数只能接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数．

例如，统计班上喜欢看球赛同学的人数是35，这个数是与实际完全符合的准确数，一个也不多，一个也不少，又如，初一

（1）班有55个学生，某工厂有126台机床，我有8本练习本，这些数都是与实际完全符合的准确数．

再如宇宙现在的年龄约为200亿年，长江长约6300千米，圆周率

约为3.14，这些数都是近似数．

在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数．你还能举出一些日常遇到的近似数吗？

2.关于精确度问题

近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，例如，前面的500是精确到百位的近似数，它与准确数513的误差为13．

我们都知道圆周率

=3.141592…

计算时我们需按照要求取近似数．

如果要求按四舍五入精确到个位，那么≈3；

如果要求按四舍五入精确到0.1（或精确到十分位），那么

≈3.1；

如果要求按四舍五入精确到0.01（或精确到百分位），那么

≈3.14；

如果要求按四舍五入精确到0.001（或精确到千分位），那么

≈_______；

反过来，若

≈3.1416，那么精确到________，或叫精确到_______．

一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．

3．近似数的有效数字．

一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字，一共包含的有效数字的个数，叫这个近似数的有效数字的个数．

例如近似数0.025有两个有效数字：

2，5；1500有4个有效数字：

1，5，0，0；0.103有有3个有效数字：

1，0，3．

对于用科学记数法表示的数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字，例如近似数5.104×106有4个有效数字：

5，1，0，4．

规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求．

一般说，对于同一个数取近似数时，有效数字个数越多，精确程度越高．如果四舍五入法对

取近似数时，若要求保留1个有效数字，则

≈3；若要求保留3个有效数字，则

≈3.14．

例6：

按括号内的要求，用四舍五入法对下列数取近似数．

（1）0.0158（精确到0.001位）；

（2）304.35（精确到个位）；

（3）1.804（精确到0.1位）；

（4）1.804（精确到0.01位）；

（5）3.5046（精确到百分位）；

（6）2.971×104（保留2个有效数字）．

解：

（1）0.0158≈0.016；

（2）304.35≈304；

（3）1.804≈1.8；

（4）1.804≈1.80；

（5）3.5049≈3.50；

（6）2.971×104≈3.0×104．

例7：

下列是由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？

保留几个有效数字？

（1）132.4；

（2）0.0572；（3）2.40万；（4）3000．

解：

（1）132.4是精确到0.1，保留4个有效数字．

（2）0.0572是精确到0.0001，保留3个有效数字．

（3）2.40万是精确到百位，保留3个有效数字．

（4）3000是精确到个位，保留4个有效数字．

二、巩固练习

课本第46页练习．

三、课堂小结

正确理解和掌握近似数、准确数和有效数字的概念，给出一个近似数，能准确地确定它精确到哪一位，有哪几个有效数字，并能按要求求一个数的近似数．

四、作业布置

课本第47页至第48页习题1．5第6题．

五、课后反思

第一章有理数综合复习

教学目标

1.理解有理数、相反数、倒数、绝对值和近似数的意义；

2.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；

3.会用科学记数法表示数，比较有理数的大小，求有理数的相反数与绝对值；

4.能用数轴上的点表示有理数，运用运算律简化运算，运用有理数的运算解决简单的问题。

难点重点

重点1.理解有理数的有关概念：

有理数、相反数、倒数、绝对值和近似数。

2.能进行有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算。

难点1.对绝对值概念的理解；

2.有理数的混合运算。

教学过程

本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。

有理数的概念可以

利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。

有理数的运算是全章的重点。

在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。

一、基础知识：

1、正数（positionnumber）：

大于0的数叫做正数。

2、负数（negationnumber）：

在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

3、0既不是正数也不是负数。

4、有理数（rationalnumber）：

整数和分数统称为有理数。

正整数、0和负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。

5、数轴（numberaxis）：

可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴满足以下要求：

（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）；

（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

（3）选取适当的长度为单位长度。

6、相反数（oppositenumber）：

只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

7、绝对值（absolutevalue）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

记做|a|。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

8、有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

加法交换律：

有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

表达式：

a+b=b+a。

加法结合律：

有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。

表达式：

（a+b）+c=a+（b+c）

9、有理数减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数。

表达式：

a-b=a+（-b）

10、有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0.

乘法交换律：

一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

表达式：

ab=ba

乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

表达式：

（ab）c=a（bc）

乘法分配律：

一般地，一个数同两个的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

表达式：

a（b+c）=ab+ac

11、倒数

乘积是1的两个数互为倒数。

12、有理数除法法则：

两数相除，同号得负，异号得正，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

13、有理数的乘方：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）。

an中，a叫做底数（basenumber），n叫做指数（exponent）。

根据有理数的乘法法则可以得出：

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

14、有理数的混合运算顺序

（1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；

（2）同级运算，从左到右进行；

（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

15、科学技术法：

把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，即0

16、近似数（approximatenumber）：

17、有理数可以写成m/n（m、n是整数，n≠0）的形式。

另一方面，形如m/n（m、n是整数，n≠0）的数都是有理数。

所以有理数可以用m/n（m、n是整数，n≠0）表示。

二、拓展知识：

1、数集：

把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。

（1）所有有理数组成的数集叫做有理数集；

（2）所有的整数组成的数集叫做整数集。

2、任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示，体现了数形结合的数学思想。

3、根据绝对值的几何意义知道：

|a|≥0，即对任何有理数a，它的绝对值是非负数。

4、比较两个有理数大小的方法有：

（1）根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；

（2）根据规定进行比较：

两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；

（3）做差法：

a-b>0⇔a>b;

（4）做商法：

a/b>1，b>0⇔a>b.

三、基础训练（见小卷）

四、作业布置（见小卷）

五、课后反思