数学建模全国奖论文.docx
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数学建模全国奖论文
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则•
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_A
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2011年9月12日
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基于系统综合评价的城市表层土壤重金属污染分析
摘要
本文针对城市表层土壤重金属污染问题，首先对各重金属元素进行分析，然后对各种重金属元素的基本数据进行统计分析及无量纲化处理，再对各金属元素进行相关性分
析，最后针对各个问题建立模型并求解。
针对问题一，我们首先利用EXCEL和SPSS统计软件对各金属元素的数据进行处理，再利用Matlab软件绘制出该城区内8种重金属元素的空间分布图最后通过内梅罗污染
/22卍2
模型：
卩综=P平均+Pmax），其中P平均为所有单项污染指数的平均值，Pmax为土壤环境中
2
各单项污染指数中的最大值。
得到各区内梅罗综合污染指数，进而求得污染程度为:
功能区
生活区
工业区
山区
主干道路区
公园绿地区
P综
2.0904
9.2769
0.8242
6.4625
1.8688
污染
土壤、作物受
土壤、作物受
尚清洁
土壤、作物受
超标
程度
中度污染
严重污染
严重污染
针对问题二,我们首先利用EXCELS件画出8种元素在各个区内相对含量的柱状
图，由图可以明显地看出各个区内各种元素的污染情况，然后再根据重金属元素污染来源及传播特征进行分析，可以得出工业区及生活区重金属的堆积和迁移是造成污染的主要原因，Cu、Hg、Zn主要在工业区和交通区如公路、铁路等交通设施的两侧富集，随时间的推移，工业区、交通区的土壤重金属具有很强的叠加性，受人类活动的影响较大同时城市人口密度，土地利用率，机动车密度也是造成重金属污染的原因。
针对问题三，我们从两个方面考虑建模即以点为传染源和以线为传染源。
针对以点
为传染源我们建立了两个模型：
无约束优化模型D=mlxi-xf■lyi-yf，得到污染
源的位置坐标5567,6782；有衰减的扩散过程模型得位置坐标（8500,5500），模型为:
22
2：
一u2：
一u,2
b2-c2—ku
：
x
:
：
y:
z
针对以线为传染源我们建立了
丫=u°•be"'■模型，并通过线性拟合分析线性污染源
的位置。
针对问题四，我们在已有信息的基础上，还应收集不同时间内的样点对应的浓度以及各污染源重金属的产生率。
根据高斯浓度模型建立高斯修正模型，得到浓度关于时间和空间的表达式C二C。
€上。
在本题求解过程中，我们所建立的模型与实际紧密联系，有很好的通用性和推广性但在求点污染源时，我们假设只有一个污染源，而实际上可能有多个点污染源，从而使得误差增大，或者使污染源的位置够不准确。
关键词内梅罗污染模型无量纲化相关性回归模型高斯浓度模型
一问题重述
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。
为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。
应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。
另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
现要求你们通过数学建模来完成以下任务：
1）给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
2）通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
3）分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
4）分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？
有了这些信息，如何建立模型解决问题？
二基本假设
1）假设土壤中重金属元素以离子态存在，不存在别的形态；
2）假设扩散过程已经达到恒稳状态，离子浓度不在变化；
3）取样点的数据较好的反应了该地区的污染物浓度；
4）假设在确定污染源的位置时，只考虑元素在二维平面上的扩散，不考虑在垂直方向（海拔）的扩散；
5）假设该区域土壤都为粘土；
6）假设取样获得数据是处于标准状态下；
三符号说明
符号
符号的意义
土壤中污染物i的污染指数
土壤中污染物才的背景值
利用单因子质量评价模型所得到的百分比构造评价矩阵
任意两种元素i,j的相关系数
因素重要程度系数
内梅罗综合指数
Dt
重金属离子在粘土介质中得扩散系数
重金属元素的来源方向
污染源距被选取点的距离
Qyt污染源的位置
Jc
表示的是土壤溶质对流通量
表示土壤水分通量
土壤的平均孔隙流速
土壤的体积含水率
Jd
溶质在自由水中的分子扩散通量
Do
表示的是溶质分子在自由水中的扩散系数
Ds
表示的是溶质分子在土壤中的扩散系数
Jds
表示的是溶质分子在土壤中的扩散通量
Jh
表示的是溶质的机械弥散通量
Dh
溶质的机械弥散系数
Z
弥散度
Jdh
表示由于水动力弥散引起的溶质运移通量
D
表示的是有效水动力弥冃攵系数
四、数据处理
4.1对重元素的分析
城市工业“三废”排放，金属采矿和冶炼，家庭燃煤，生活垃圾，汽车尾气排放都增加了城市土壤重金属的负荷。
重金属污染环境的主要有汞、铅、铬、锌镉、铜等。
其中汞的毒性最大，铬、铅、锌等也有相当大毒性。
此外还有砷，砷虽不属于金属•但它
的毒性与重金属相似，因此归于重金属一类阐述，称为类金属。
目前对我国土壤污染比较普遍的重金属有汞、铬、砷。
根据该城区重金属污染的情况，下面对重金属在土壤污染中的来源及传播途径作简要介绍。
4.1.1砷元素
该元素毒性很低，水体中含砷污染物主要来自砷和含砷金属矿的开采、冶炼，以及和砷化物为原料的玻璃、颜料、药物、纸张的生产都可产生含砷的废水，造成水体的砷污染。
砷及砷化物在水中会在水生物体内累积，但累积程度比其他重金属要低。
砷和砷化物，一般可通过水、大气和食物进入人体。
4.1.2镉元素
当环境受到镉污染后，镉可在生物体内富集，通过食物链进入人体引起慢性中毒。
镉的主要污染源是电镀、采矿、冶炼、染料、电池和化学工业等排放的废水。
相当数量的镉通过废气、废水、废渣排入环境，造成污染。
镉对土壤的污染主要有气型和水型两种。
气型污染主要来自工业废气。
镉随废气扩散到工厂周围并自然沉降，蓄积于工厂周围的土壤中，可使土壤中的镉浓度达到40ppm。
水型污染主要是铅锌矿的选矿废水和有关工业（电镀、碱性电池等）废水排入地面水或渗入地下水引起。
4.1.3铬元素
对水体污染的铬主要来源于电镀、制革、铝盐生产以及铬矿石开采所排放的废水。
是我国水体中一种普遍的污染物。
水体中铬污染主要是三价铬和六价铬，它们在水体中的迁移转化有一定的规律性。
4.1.4铜元素
铜（Cu）及其化合物在环境中所造成的污染称为铜污染。
主要污染来源是铜锌矿的开采和冶炼、金属加工、机械制造、钢铁生产等。
冶炼排放的烟尘是大气铜污染的主要来源。
世界铜的年迁移量为：
岩石风化20万吨,河流输送11万吨
4.1.5汞元素
汞是在常温下唯一呈液态的金属元素。
人类活动造成水体汞污染，主要来自氯碱、塑料、电池、电子等工业排放的废水。
由于天然本底情况下汞在大气、土壤和水体中均有分布，所以汞的迁移转化也在陆、水、空之间发生。
4.1.6镍元素
镍污染是由镍及其化合物所引起的环境污染。
大部分煤含有微量镍,通过燃烧过
程被释放出来,这是大气中镍的主要来源。
镍可以在土壤中富集。
土壤中的镍主要来源于岩石风化，大气降尘，灌溉用水（包括含镍废水），农田施肥，植物和动物
残体的腐烂等。
全世界每年镍的迁移状况是：
岩石风化量为320000吨，河流输送量
为19000吨，开采量为560000吨，矿物燃料燃烧排放5600吨。
4.1.7铅元素
铅对环境的污染，一是由冶炼、制造和使用铅制品的工矿企业，尤其是来自有色金属冶炼过程中所排出的含铅废水、废气和废渣造成的。
二是由汽车排出的含铅废气造成的，汽油中用四乙基铅作为抗爆剂（每公斤汽油用1〜3克），在汽
油燃烧过程中，铅便随汽车排出的废气进入大气，成为大气的主要铅污染源
4.1.8锌元素
锌在土壤中富集，会使植物体中也富集而导致食用这种植物的人和动物受害。
金属锌本身无毒，但在焙烧硫化锌矿石、熔锌、冶炼其他含有锌杂质的金属的过程中，以及在铸铜过程中产生的大量氧化锌等金属烟尘，对人有直接的危害。
其他如橡胶轮胎的磨损以及煤的燃烧也是大气锌污染的原因。
各种工业废水的排放是引起水体锌污染的主要原因。
4.2对基本数据的分析
用EXCELL软件和SPSS统计软件处理数据如表1所示：
表1
功能区
丿元糸
As
（卩g/g）
Cd
（ng/g）
Cr
（卩g/g）
Cu
（卩g/g）
Hg
（ng/g）
Ni
（卩g/g）
Pb
（卩g/g）
Zn
（卩g/g）
生活区
平均值
6.27
289.96
69.02
49.40
93.04
18.34
69.11
237.01
取大值
11.45
1044.50
744.46
248.85
550.00
32.80
472.48
2893.47
最小值
2.34
86.80
18.46
9.73
12.00
8.89
24.43
43.37
标准差
2.15
183.68
107.89
47.16
102.90
5.66
72.33
443.64
变异系数
0.34
0.63
1.56
0.95
1.11
0.31
1.05
1.87
工
业
区
平均值
7.25
393.11
53.41
127.54
642.36
19.81
93.04
277.93
最大值:
21.87
1092.90
285.58
2528.48
13500.00
41.70
434.80
1626.02
最小值
1.61
114.50
15.40
12.70
11.79
4.27
31.24
56.33
标准差
1.61
114.50
15.40
12.70
11.79
4.27
31.24
56.33
变异系数:
0.22
0.29
0.29
0.10
0.02
0.22
0.34
0.20
山区
平均值
4.04
152.32
38.96
17.32
40.96
15.45
36.56
73.29
取大值
10.99
407.60
173.34
69.06
206.79
74.03
113.84
229.80
最小值
1.77
40.00
16.20
2.29
9.64
5.51
19.68
32.86
标准差
1.80
78.38
24.59
10.73
27.85
10.43
17.73
30.94
变异系数
0.44
0.51
0.63
0.62
0.68
0.67
0.49
0.42
交通区
平均值
5.71
360.01
58.05
62.21
446.82
17.62
63.53
242.85
最大值
30.13
1619.80
920.84
1364.85
16000.00
142.50
181.48
3760.82
最小值
1.61
50.10
15.32
12.34
8.57
6.19
22.01
40.92
标准差
3.24
243.39
81.61
120.22
2180.27
11.79
32.53
384.78
变异系数
0.57
0.68
1.41
1.93
4.88
0.67
0.51
1.58
公园绿地区
平均值1
6.26
280.54
43.64
30.19
114.99
15.29
60.71
154.24
最大值
11.68
1024.90
96.28
143.31
1339.29
29.10
227.40
1389.39
最小值
2.77
97.20
16.31
9.04
10.00
7.60
26.89
37.14
标准差
2.02
235.84
14.84
22.68
224.28
4.97
45.84
230.92
变异系数
0.32
0.84
0.34
0.75
1.95
0.33
0.76
1.50
4.3元素浓度的无量纲化处理
在利用SPSS统计软件数据进行聚类分析的时候，因为单位不统一需要进行无量纲化处理，我们采用均值化方法，即每一个变量除以该变量的平均值，即
xi
xi
标准化以后各变量的平均值都为1,标准差为原始变量的变异系数。
该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息，差异程度越大的变量对综合分析的影响也越大。
4.4重金属元素间的相关性分析
研究土壤中重金属的相关性可以推测重金属的来源是否相同，若重金属含量有显著
的相关性，说明有相同来源的可能性较大，否则来源可能不止一个.
我们用积差法来计算各重金属之间的相关系数，所谓积差法就是用两个变量的协方差与两个变量的标准差的乘积之比：
\x_xy_y
表2重金属元素间的相关系数
重金属
As
Cd
Cr
Cu
Hg
Ni
Pb
Zn
As
1
Cd
**
0.255
1
Cr
**
0.189
**
0.352
1
Cu
0.160**
0.397**
0.532**
1
Hg「
0.064
0.265**
0.103
0.417**
1
Ni
0.317**
0.329**
0.716**
0.495**
0.103
1
Pb
**
0.290
**
0.660
**
0.383
**
0.520
**
0.298
**
0.307
1
Zn
0.247**
0.431**
0.424**
0.387**
0.196**
0.436**
0.494**
1
由元素间的相关系数（见表2）我们对这些元素进行粗略的分组，大致分为以下两组:
A组：
Cr，Ni，Cu
B组：
Pb,Cd,Zn
而对于As、Hg由相关系数表可见，其相关系数较小，我们认为相关参数小的元素间没有关系，所以将其各自单独一组。
下面我们建立回归模型图像验证它们之间的函数关系：
显然Cr，Ni和Cu及Pb,Cd和Zn显示属于适度空间相关性，反映区域因素（土壤母质）对其含量的影响较大，而As、Hg元素则属于低空间相关性，说明其受到人为因素（工业布局施肥灌溉和土地利用方式等）作用较强。
五、模型的分析、建立与求解
5.1问题一
5.1.1重金属的空间分布
由附件中所给的数据，我们考虑将各采样点的坐标和重金属的浓度建立对应关系,利用Matble软件画出等高线来体现该城区8种重金属的空间分布。
图3城市土壤Cr的空间分x布。
特征图4城市土壤^的空间分X%特征
从图中可以看出：
该城市土壤中As元素的分布没有出现明显的富集，整体有从西向东递减的趋势（见图1）。
说明人类活动对As元素的分布影响不大。
所以可以推断城市土壤中这种元素主要是自然来源，另外它的浓度在中国土壤背景值范围内，这说明它的含量可能主要受成土母质影响。
该城市土壤中Cd元素的分布没有出现明显的富集，整体浓度偏差不大（见图2）。
对比数据可以看出，整个城市除边缘部分外Cd的浓度都明显高于背景值的范围。
可知
该城市Cd污染很严重。
该城市土壤中Cr和Cu两种元素含量的空间分布规律比较相似（见图3、图4）,表现为,在西南部形成一个明显峰值，并且西部Cr和Cu的浓度远远超出背景值的范围。
从整体上看，两种元素的浓度在东部和中部都为零，显然西部高于中东部。
该城市土壤中Hg和Zn两种元素含量的空间分布规律比较相似（见图5、图8）,表现为,一个峰值区出现在西南部，一个峰值区出现在中南部，另外一个峰值区出现在中部。
当然，两图也存在着不同之处。
Hg元素除峰值区外，其他部分的浓度大都为零，而Zn
元素除峰值区外，还有整个的西部浓度远远超出背景值的范围，其余部分的浓度为零。
该城市土壤中Ni和Pb两种元素含量的空间分布规律比较相似（见图6、图7），虽然Pb比Ni多出一个明显峰值区，但可以看到两种元素的峰值区都分布在西南部。
并且两元素在西部的浓度明显高出背景值范围，而在东部的浓度都非常接近背景值的范围，整体有从西向东递减的趋势。
同时，土壤中重金属元素的空间分布还显示出各元素的异常分布区具有地理趋势的相似性，指示其可能受共同的污染源影响
5.1.2不同功能区的污染程度
为了求得各功能区的污染程度，我们建立了内梅罗多因子污染综合评价模型，我们首先求得单项污染指数式为：
Pi
Ci
Si
Si为重金属i
式中：
Pi为区域重金属i的单项污染指数；Ci为重金属i含量的实测值;
含量的起始评价值，其中起始评价值为所给重金属元素的背景值加上两倍的标准差，即
Si=ai;若Pi1，则表示该区域受到污染。
多项污染综合指数式为
22
P平均*Pmax
式中：
P综为综合污染指数--综合反映各重金属对区域土壤的不同作用；P平均为所有单
项污染指数的平均值；Pmax为土壤环境中各单项污染指数中的最大值。
根据模型分别计算出该城区五个功能区的污染指数值，然后与内梅罗综合污染指数的分类标准（见表3）相比较得出五个功能区的污染程度。
表3内梅罗综合污染指数的分类标准
P综
污染等级
污染程度
1
P综<0.7
安全
清洁
2
0.7£P综<1.0
警戒线
尚清洁
3
XOCP综兰2.0
轻污染
超标
4
2.0£P综兰3.0
中污染
土壤、作物受中度污染
5
P综A3.0
重污染
土壤、作物受严重污染
由Matlab软件计算得
18000
16CD0
12000
-10000
e
呦
JOOO
2000
表4各功能区的污染程度
功能
区
生活区
工业区
山区
主干道路区
公园绿地区
P综
2.0904
9.2769
0.8242
6.4625
1.8688
污染
程度
土壤、作物受中度污染
土壤、作物受严重污染
尚清洁
土壤、作物受严重污染
超标
由表4可得污染程度排序为：
工业区＞主干道路区〉生活区〉公园绿地区〉山区
5.2问题二
5.2.1无量纲化处理
在利用SPSS统计软件数据进行聚类分析的时候，因为单位不统一需要进行无量纲化处理，我们采用均值化方法，即每一个变量除以该变量的平均值，即
xi
Xi-，⑷
X
标准化以后各变量的平均值都为1,标准差为原始变量的变异系数。
该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息，差异程度越大的变量对综合分析的影响也越大。
然后取其平均值进行对比。
5.2.2重金属污染的原因分析
对附件中所给数据进行分析，采用均值化方法无量纲化处理后，我们选取8种重金属元素的平均值，用EXCELLO件画出其相对含量的柱状图：
图5各功能区重金属元素无量纲化后数据比较
As⑴Cd
（2）Cr（3）Cu⑷Hg（5）Ni（6）Pb（7）Zn（8）
8种重金属元素经无量纲化处理之后可以相互比较，由柱状图可以看出：
生活区中Cr含量最大,Zn,Pb含量次之；工业区中Cu,Hg含量较高，且其他重金属也相对较多；山区中Ni含量最大，Cr，As次之，且8种重金属含量都相对较少；交通区中各重金属含量都比较集中，Hg最多；公园绿地区中As含量较多，Pb,Cd含量次之。
我们还可以横向来比较8个元素在五个功能区中的相对含量：
As、Cr、Ni在各功能区的含量相对均匀，而CuHg在工业区中的含量与其它区差别明显；CdZn、Pb、CuHg在工业区中的含量和山区相比差异较大，说明它们受人类活动的影响相对明显。
重金属具有富集性，很难在环境中降解且HgCdCr、Pb具有很强的生物毒性。
由于工业生产产生大量废物，汽车尾气排放，汽车轮胎磨损产生大量含重金属的有害气体和粉尘，Cu、Hg、Zn主要在工业区和交通区如公路、铁路等交通设施的两侧富集，随时间的推移，工业区、交通区的土壤重金属具有很强的叠加性。
PbCdAs、Cr主要
在生活区富集，生活区内由于含重金属的废弃物堆积，施用含PbCdAs等的农药，
不合理的施用化肥以及大量使用农用塑料薄膜都会造成重金属污染，综合风向等多种因
素的影响可能会发生迁移且富集，从而造成公园绿地区的重金属污染。
Ni元素在各个功能区中的分布相对均匀，山区分析的8种重金属中Ni含量最多，所以说工业区及生活区污染的富集和迁移，都有可能
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