高考立体几何复习题型归纳.docx
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高考立体几何复习题型归纳
题型一：
空间几何体的结构、三视图、旋转体、斜二测法
了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。
能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。
了解空间几何体的不同表示形式。
能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。
会画某建筑物的视图与直观图。
例2.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数
例4：
如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）
A．12B．16
C．32D．8
例5：
四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图，则四棱锥PABCD的表面积为（）
A.3a2B.2a2C.3a22a2D.2a22a2
例6：
三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积
例7：
如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA'与底面相邻两边
真题：
1
2017年山东卷第13题】由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积
2017年浙江卷第
3题】某几何体的三视图如图所示（单位：
cm），则该几何体的体积（单位：
cm3）是
A.+1B.
2
+3C.3+1
22
D.32+3
2017年新课标II
第6题】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何
体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
1、
2016年山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三
视图如图所示.则该几何体的体积为
A）1+2π（B）1+2π
3333
C）1+2π
36
D）1+2π
6
答案】D
3、（2016年天津高考）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，
得到的几何体的正视图与俯视图
答案】B
答案】A
【答案】C
7、（2016年全国III卷高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该
多面体的表面积为
（A）18365（B）54185（C）90（D）81
【答案】B
1、（2016年北京高考）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_
3【答案】3.
2
2、（2016年四川高考）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积
【答案】3
3
3、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：
cm），则该几何体的表面积是cm2,体积是
3
cm.
斜二测法：
S斜2S原
4
例9：
一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为
45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平
面图形的面积是（
A．12
22
22C．12D．12
2
例10：
对于一个底边在
x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）
A．2倍B
22倍D．21倍
例11：
如图，已知四边形
ABCD的直观图是直角梯形A1B1C1D1，且A1B1＝B1C1＝2A1D1＝2，
则四边形ABCD的面积为（
A．3
D．6
例12：
用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（
旋转体：
例13：
下列几何体是旋转体的是（
C
将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成
例14：
如图，在四边形ABCD中，DAB900，
CD22，AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
真题：
2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为的曲面所围成的几何体的体积为（
题型二：
定义考察类题型
例15：
已知直线
l、
m,平面
，则下列命题中假命题是
A．若//
则l//
B．若//，l
则l
C．若l//，
则l//m
D．若
ml,则m
则这线平行于交线
例16：
给定下列四个命题：
1若一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的平面与这个面相较，
2若一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任一直线
3若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行
4若两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两直线垂直
其中，为真命题的是（）
A．○1和○2B．○2和○3C
．○3和○4D．○2和○4
17：
已知m,n是两条不同直线，
,是三个不同平面，下列命题中正确的是（
A．若
C．若m‖
18：
已知m、
①若m
③若m
，m,则m
m‖,则‖
n是两条不同的直线，
n//，则m//n；
mn，则n；
其中真命题的个数是（
A．1个B．2个C
B．若
则‖
l,lc,
是两个不同的平面，有下列命题：
②若m//
④若m
，m//
m
19：
如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面
D
，则//
列结论
中不正确的是（）
A、AC⊥SBB、AB∥平面SCD
C、SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D、AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
真题：
【2016年浙江高考】已知互相垂直的平面，交于直线
l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）
∥l∥n⊥l
⊥n
【答案】C
【2015高考浙江，文4】设，
是两个不同的平面，
l
，m是两条不同的直线，且
l，m（）
A．若l，则
B．
若
，则lm
C．若l//，则//
D．
若
//，则l//m
【2015高考广东，文6】若直线l1
和l2是异面直线，
l1在平面内，l2在平面内，
l是平面与平面的交
线，则下列命题正确的是（）
A．l至少与l1，l2中的一条相交
B
．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D
．l与l1，l2都不相交
【2015高考湖北，文5】l1,l2表示空间中的两条直线，
若
p：
l1,l2是异面直线；q：
l1,l2不相交，则（）
A．p是q的充分条件，但不是
q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是
q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
题型三：
直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
证明平行的方法：
线线平行：
相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）。
线面平行：
（1）根据定理证明（线//线线//面）；
（2）通过面面平行的性质定理（面//面线//面）
法向量平行
例21：
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，
侧面PAD
底面ABCD，且PAPD
22AD，若E、F分别
为PC、BD的中点.
（1）求证：
EF∥平面PAD；
（2）求证：
平面PDC平面PAD.
E
D
F
A
B
例23：
如图，直棱柱ABC
A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，
AA1=AC=CB=2AB。
2
例27：
已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在PA、BD、PD上,且PM：
MA=BN：
ND=PQ：
QD.求证：
平面MNQ∥平面PBC.
题型四：
线与面、面与面的垂直的证明方法
三垂线定理：
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条直线垂直。
三垂线逆定理：
如果：
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平面内的射影垂直。
例28：
直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABBC，E是A1C的中点，EDA1C且交AC
例29：
如图所示，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形；PA平面ABCD,
PAADAC，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：
PA//平面BFD；（Ⅱ）求证面PACBFD．
例30：
如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别
是CB、CD、CC1的中点。
1）求证：
平面AB1D1//平面EFG；
∠BAC=90o,点D是棱B1C1
2）求证：
EF平面AA1C
例31：
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，
的中点.
Ⅰ）求证：
A1D⊥平面BB1C1C；
Ⅱ）求证：
AB1//平面A1DC；
例32：
如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=，2M为PC的中点。
（1）求证：
BM∥平面PAD；
（2）在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；
（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
1）求证：
BC1//平面CA1D
2）求证：
平面CA1D⊥平面AA1B1B
例33：
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为
MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA．
（Ⅰ）求证：
平面EFG平面PDC;
（Ⅱ）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比．
例34：
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是
AB的中点。
例35：
如图所示，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（Ⅰ）求证：
BCA1D；
（Ⅱ）求证：
平面A1BC平面A1BD；（Ⅲ）求三棱锥A1BCD的体积．
BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在
真题：
【2016年上海高考】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF
相交的是（）
（A）直线AA1（B）直线A1B1（C）直线A1D1（D）直线B1C1
2017年新课标I卷第6题】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中
AB与平面MNQ不平行的是
点，则在这四个正方体中，直接
）
D．A1E⊥AC
A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1
2015高考山东，文18】
如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点.
I）求证：
BD//平面FGH；
II）若CFBC，ABBC，求证：
平面BCD平面EGH.
题型五：
空间中的夹角
知识点：
夹角的分类：
线线夹角、线面夹角、面面夹角
三者在计算或证明时的转换关系：
面面线面线线
计算三种夹角的方法：
勾股定理、向量、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤：
①找角，②证明所找的角，③计算所找角的大小（切记不可找出来之后不证明就开始计算）
异面直线的夹角问题：
例36：
在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，
BAD90,AD//BC,ABBCaAD2a,PA底面ABCD,PD与底面成30°
1）若AEPD,E为垂足，求证：
BEPD；
2）在
（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的正切值；
例37：
如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点
MNMNBC4
PA43
MD
A1B1C1D1MNCDCC1A1MDN
ABCD
D
A1
ABCA1B1C1
ABC
BC
AB
CC1
E,FAB',BC'
BB'
EMF
ABCD
EF
AD'
ABCDA'B'C'D'
0
ABC
A1B1C1
ABACAA1B1C
DEBCC1
1）
证明：
AB=AC
求B1C与平面
BCD所成的角的大小
2）设二面角A-BD-C为60
B
真题：
2016年全国I卷高考】如平面
过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，
//平面CB1D1,I平面ABCDm，
I平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为
A）3（B）2（C）3（D）1
2233
2015高考浙江，文18】如图，在三棱锥ABC-A1B1C1中，ABC90o，ABAC2,AA14,A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.
1）证明：
A1D平面A1BC；
2）求直线A1B和平面BB1CC1所成的角的正弦值
【2014高考，文18】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC22，PA2，E是PC上的一点，PE2EC。
Ⅰ）证明：
PC平面BED；
Ⅱ）设二面角APBC为90o，求PD与平面PBC所成角的大小。
2015高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，
E,F分别是BC,CC1的中点。
（I）证明：
平面AEF平面B1BCC1；
II）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45o，求三棱锥FAEC的体积。
题型六：
距离问题：
点线距离（定义法、等体积法、向量法、空间坐标法）；线面距离；面面距离。
例47：
已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的地面边长为1，则棱场为2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE
的距离。
到的距离是（
ABC,OA底面ABCD,
例50：
如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，OA2,M为OA的中点，N为BC的中点
（Ⅰ）证明：
直线MN‖平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
例51：
和为平面，l,A,B,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为
2
2.若二面角l的大小为，求，点B到平面的距离为
3
例52：
P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是5，17，13，则P到A点的距离是（）
C.3
A′，B′，AA′＝3，BB′＝
例53：
如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，
ABC,OA底面ABCD,OA2,M为OA的中点，N为BC的中点4
Ⅰ）证明：
直线MN‖平面OCD；
Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离
例54：
如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1
真题：
2017年新课标II第18题】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
1AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°。
2
（1）证明：
直线BC∥平面PAD;
（2）若△PAD面积为27，求四棱锥P-ABCD的体积
【2017年新课标III卷第19题】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：
AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【2016年全国I卷高考】如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.
（I）证明：
G是AB的中点；
（II）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
【2016年全国II卷高考】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AECF，EF
交BD于点H，将DEF沿EF折到D'EF的位置.
（Ⅰ）证明：
ACHD'；
I）证明MNP平面PAB；
II）求四面体NBCM的体积.
2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD，
I）证明：
平面AEC平面BED；
II）若ABC120o，AEEC,三棱锥EACD
的体积为6，求该三棱锥的侧面积
3
【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥VC中，平面V平面C，V为等边三角形，
CC且CC2，，分别为，V的中点．
（I）求证：
V//平面C；（II）求证：
平面C平面V；（III）求三棱锥VC的体积．
【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段2
AC上，且AD=DE=EC=，2PD=PC=，4点F在线段AB上，且EF（Ⅰ）证明：
AB平面PFE.（Ⅱ）若四
棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
题型八：
翻折与展开问题及探索问题
例60：
如图所示，等腰△ABC的底边AB66，高CD3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BEx，V（x）表
示四棱锥PACFE的体积．
（1）求V（x）的表达式；
（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？
3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．
例61：
在直角梯形ABEF中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF
平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，（Ⅰ）求证：
BE//平面ADF；（Ⅱ）求三棱锥FBCE的体积．
例62：
正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF.以AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P，得到一个四面体，如图
（2）所示．
（1）求证：
AP⊥EF；
（2）求证：
平面APE⊥平面APF.
点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥ABCF,其中BC
E、F分别为BC、AB边的中点
AD把平面PAD折起，使得PAAB（如图乙所示），
1）求证：
PA平面ABCD；
2）求证：
平面PAE平面PDE；
3）试探究在PA上是否存在一点G，使得FG//平面
PDE,
并说明理由
真题：
1
【2015高考陕西，文18】如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC,BAD,ABBCADa，E22
是AD的中点，O是OC与BE的交点，将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.
（I）证明：
CD平面A1OC；
（II）当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为362，求a的值.
【2014高考，文19】如图所示：
边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=2，EDPA1,AB1,AC2,BAC60o（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；（Ⅱ）证明：
在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求PM的值.
MC
【2015高考福建，文20】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，垂直于圆所在的平面，且1．
（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证C平面D；（Ⅱ）求三棱锥PABC体积的最大值；（Ⅲ）若BC2，点E在线段PB上，求CEOE的最小值．
题型九：
球类问题专项练习一：
外接球的有关问题棱锥的内切、外接球问题例69：
正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
例70：
设棱锥MABCD的底面是正方形，且MAMD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
例71：
一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为
例72：
已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）
A.16B.20C.24D.32
例73：
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱
9
柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为
8
例74：
正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、
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