最新人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》全章教学设计精品教案.docx
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最新人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》全章教学设计精品教案
第十四章 整式的乘法与因式分解
14．1 整式的乘法
14．1.1 同底数幂的乘法
1．理解同底数幂的乘法法则．
2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．
重点
正确理解同底数幂的乘法法则．
难点
正确理解和应用同底数幂的乘法法则．
一、提出问题，创设情境
复习an的意义：
an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．
（出示投影片）
提出问题：
（出示投影片）
问题：
一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？
[生]运算次数＝运算速度×工作时间，
所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：
1015×103.
[师]1015×103如何计算呢？
[生]根据乘方的意义可知
1015×103＝（10×10×…×10）15个10×（10×10×10）＝（10×10×…×10）18个10＝1018.
[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．
二、探究新知
1．做一做
（出示投影片）
计算下列各式：
（1）25×22；
（2）a3·a2；
（3）5m·5n.（m，n都是正整数）
你发现了什么？
注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．
[生]
（1）25×22＝（2×2×2×2×2）×（2×2）
＝27＝25＋2.
因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得
a3·a2＝（a·a·a）（a·a）＝a5＝a3＋2.
5m·5n＝（5×5·…·5）,\s\do4（m个5））×（5×5·…·5）,\s\do4（n个5））＝5m＋n.
[生]我们可以发现下列规律：
am·an等于什么（m，n都是正整数）？
为什么？
（1）这三个式子都是底数相同的幂相乘；
（2）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
2．议一议
（出示投影片）
[师生共析]
am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
am·an＝（a×a·…·a）m个a·（a×a·…·a）n个a＝a·a·…·a（m＋n）个a＝am＋n
于是有am·an＝am＋n（m，n都是正整数），用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．
[生]am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m＋n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·an＝am＋n.
[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．
3．例题讲解
出示投影片
[例1]计算：
（1）x2·x5;
（2）a·a6；
（3）2×24×23;（4）xm·x3m＋1.
[例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？
[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？
[生1]
（1），
（2），（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．
[生2]（3）也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．
[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．
生板演：
（1）解：
x2·x5＝x2＋5＝x7；
（2）解：
a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；
（3）解：
2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；
（4）解：
xm·x3m＋1＝xm＋（3m＋1）＝x4m＋1.
[师]接下来我们来看例2.受（3）的启发，能自己解决吗？
与同伴交流一下解题方法．
解法一：
am·an·ap＝（am·an）·ap
＝am＋n·ap＝am＋n＋p；
解法二：
：
am·an·ap＝am·（an·ap）＝am·an＋p＝am＋n＋p；
解法三：
am·an·ap＝（a·a…a）m个a·（a·a…a）n个a·（a·a…a）p个a＝am＋n＋p
归纳：
解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．
[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．
[师]是的，能不能用符号表示出来呢？
[生]am1·am2·am3·…amn＝am1＋m2＋m3＋…mn.
[师]鼓励学生．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了．
2×24×23＝21＋4＋3＝28.
三、随堂练习
1．m14可以写成（ ）
A．m7＋m7B．m7·m7
C．m2·m7D．m·m14
2．若xm＝2，xn＝5，则xm＋n的值为（ ）
A．7B．10C．25D．52
3．计算：
－22×（－2）2＝________；
（－x）（－x2）（－x3）（－x4）＝________．
4．计算：
（1）（－3）2×（－3）5；
（2）106·105·10；
（3）x2·（－x）5；
（4）（a＋b）2·（a＋b）6.
四、课堂小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：
一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·an＝am＋n（m，n是正整数）．
五、课后作业
教材第96页练习．
本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．
14．1.2 幂的乘方
1．知道幂的乘方的意义．
2．会进行幂的乘方计算．
重点
会进行幂的乘方的运算．
难点
幂的乘方法则的总结及运用．
一、复习引入
（1）叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：
（2）计算：
①a2·a5·an；②a4·a4·a4.
二、自主探究
1．思考：
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：
（1）（32）3＝32×32×32＝3（ ）；
（2）（a2）3＝a2·a2·a2＝a（ ）；
（3）（am）3＝am·am·am＝a（ ）．（m是正整数）
2．小组讨论
对正整数n，你认识（am）n等于什么？
能对你的猜想给出验证过程吗？
幂的乘方（am）n＝am·am·am…amn个
＝am＋m＋m＋…m,\s\up6（n个m））
＝amn
字母表示：
（am）n＝amn（m，n都是正整数）
语言叙述：
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
注意：
幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把（a5）2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.
三、巩固练习
1．下列各式的计算中，正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5 B．（x3）2＝x6
C．（xn＋1）2＝x2n＋1 D．x3·x2＝x6
2．计算：
（1）（103）5;
（2）（a4）4；
（3）（am）2;（4）－（x4）3.
四、归纳小结
幂的乘方的意义：
（am）n＝amn.（m，n都是正整数）
五、布置作业
教材第97页练习．
运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．
14．1.3 积的乘方
1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．
2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
重点
积的乘方运算法则及其应用．
难点
幂的运算法则的灵活运用．
一、问题导入
[师] 提出的问题：
若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
[生] 它的体积应是V＝（1.1×103）3cm3.
[师] 这个结果是幂的乘方形式吗？
[生] 不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．
[师] 积的乘方如何运算呢？
能不能找到一个运算法则？
用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．
二、探索新知
老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．
（出示投影片）
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
（1）（ab）2＝（ab）·（ab）＝（a·a）·（b·b）＝a（ ）b（ ）；
（2）（ab）3＝________＝________＝a（ ）b（ ）；
（3）（ab）n＝________＝________＝a（ ）b（ ）．（n是正整数）
2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．
3．解决前面提到的正方体体积计算问题．
4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？
请验证你的想法．
5．完成教材第97页例3.
学生探究的经过：
1．
（1）（ab）2＝（ab）·（ab）＝（a·a）·（b·b）＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出
（2），（3）题；
（2）（ab）3＝（ab）·（ab）·（ab）
＝（a·a·a）·（b·b·b）＝a3b3；
（3）（ab）n＝（ab）·（ab）·…·（ab）n个ab
＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝anbn.
2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
用符号语言叙述便是：
（ab）n＝an·bn.（n是正整数）
3．正方体的V＝（1.1×103）3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：
V＝（1.1×103）3＝1.13×（103）3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109（cm3）．
通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：
（ab）n＝an·bn.（n为正整数）
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
再考虑如下问题：
（abc）n如何计算？
是不是也有类似的规律？
3个以上的因式呢？
学生讨论后得出结论：
三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即（abc）n＝an·bn·cn.（n为正整数）
4．积的乘方法则可以进行逆运算．即an·bn＝（ab）n.（n为正整数）
分析这个等式：
左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．
对于an·bn＝（a·b）n（n为正整数）的证明如下：
an·bn＝（a×a×…×a）n个a（b×b×…×b）n个b——幂的意义
＝（ab）（ab）（ab）（ab）…（ab）n个（ab）——乘法交换律、结合律
＝（a·b）n——乘方的意义
5．[例3]
（1）（2a）3＝23·a3＝8a3；
（2）（－5b）3＝（－5）3·b3＝－125b3；
（3）（xy2）2＝x2·（y2）2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；
（4）（－2x3）4＝（－2）4·（x3）4＝16·x3×4＝16x12.
（学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获）
[师] 通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：
（1）积的乘方法则：
积的乘方等于每一个因式乘方的积．即（ab）n＝an·bn.（n为正整数）
（2）三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如（abc）n＝an·bn·cn；（n为正整数）
（3）积的乘方法则也可以逆用．即an·bn＝（ab）n，an·bn·cn＝（abc）n.（n为正整数）
三、随堂练习
1．教材第98页练习．
（由学生板演或口答）
四、课堂小结
（1）通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？
（2）在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？
五、布置作业
（1）（－2xy）3；
（2）（5x3y）2；（3）[（x＋y）2]3；（4）（0.5am3n4）2.
本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。
实际问题情境的设置，在于让学生感受到研究新问题的必要性，带着问题思考本节课，更容易理解重点、突破难点．
14．1.4 整式的乘法（4课时）
第1课时 单项式乘单项式和单项式乘多项式
1．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
2．会进行整式的混合运算．
重点
单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则及其应用．
难点
灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算．
一、复习导入
1．知识回顾：
回忆幂的运算性质：
am·an＝am＋n（m，n都是正整数），
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（am）n＝amn（m，n都是正整数），
即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（ab）n＝anbn（n为整数），
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
口答：
幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述的内容作复习．
2．练一练
（a2）2＝____________；
（－23）2＝____________；
[（－
）2]3＝____________；
（a3）2·a3____________；
23·25＝____________；
（
xy2）2＝____________；
（－
）5（－
）5＝____________．
二、探究新知
问题：
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米？
注：
从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．
地球与太阳的距离约为（3×105）×（5×102）千米．问题是（3×105）×（5×102）等于多少呢？
学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：
（3×105）×（5×102）＝（3×5）×（105×102）＝15×107（为什么？
）
在此处再问学生更加规范的书写是什么？
应该是地球与太阳的距离约为1.5×108千米．
请学生回顾，我们是如何解决问题的．
问题：
如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗？
学生独立思考，小组交流．
注：
从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．
学生分析：
跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．
ac5·bc2
＝（a·c5）·（b·c2）
＝（a·b）·（c5·c2）
＝abc5＋2
＝abc7.
注：
在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．
[探究一]
类似地，请你试着计算：
（1）2c5·5c2；
（2）（－5a2b3）·（－b2c）．
ac5和bc2，2c5和5c2，（－5a2b3）和（－4b2c）都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法？
注：
先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．
学生小结：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3．算一算
例1：
教材例4.
在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则．分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．
例2 小民的步长为a米，他量得家里卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米？
注：
将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力．
4．辩一辩
教材第99页练习2.
注：
辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．
[探究二]
1．师生共同研究教材第99页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．
注：
这个实际问题来源于学生的实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学习不难得到结论．
2．试一试
计算：
2a2·（3a2－5b）．（根据乘法分配律）
注：
因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论．
3．想一想
从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘？
学生发言，互相补充后得出结论：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
4．做一做
教材例5.（在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号）
注：
学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．
教材第100页练习．
三、课外巩固
1．必做题：
教材第104～105页习题14.1第3，4题．
2．备选题：
（1）若（－5am＋1b2n－1）（2anbm）＝－10a4b4，则m－n的值为________；
（2）计算：
（a3b）2·（a2b）3；
（3）计算：
（3a2b）2＋（－2ab）（－4a3b）；
（4）计算：
（－
xy）·（
xy2－2xy＋
y）．
本节课采用引导发现法．通过教师精心设计的问题链，引导学生将需要解决的问题转化成用已经学过的知识可以解决的问题，充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用，学生始终处在观察思考之中．
第2课时 多项式乘多项式
经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则，灵活运用多项式乘以多项式的运算法则．
重点
多项式乘法的运算．
难点
探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“负号”的问题．
一、情境导入
教师引导学生复习单项式×多项式运算法则．
整式的乘法实际上就是：
单项式×单项式；
单项式×多项式；
多项式×单项式．
组织讨论：
问题 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长am，宽pm的长方形绿地，加长了bm，加宽了qm．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
如何计算？
小组讨论，你从计算过程中发现了什么？
由于（a＋b）（p＋q）和（ap＋aq＋bp＋bq）表示同一个量，
即有（a＋b）（p＋q）＝ap＋aq＋bp＋bq.
二、探索新知
（一）探索法则
根据乘法分配律，我们也能得到下面等式：
在学生发言的基础上，教师总结多项式与多项式的乘法法则并板书法则．
让学生体会法则的理论依据：
乘法对加法的分配律．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（二）例题讲解与巩固练习
1．教材例6计算：
（1）（3x＋1）（x＋2）；
（2）（x－8y）（x－y）；
（3）（x＋y）（x2－xy＋y2）．
2．计算下列各题：
（1）（x＋2）（x＋3）；
（2）（a－4）（a＋1）；
（3）（y－
）（y＋
）；
（4）（2x＋4）（6x－
）；
（5）（m＋3n）（m－3n）；
（6）（x＋2）2.
3．某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S.
练习点评：
根据学生的具体情况，教师可选择其中几题，分析并板书示范，其余几题，可由学生独立完成．在讲解、练习过程中，提醒学生对法则的灵活、正确应用，注意符号，不要漏乘．
注意 一定要用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在计算时要注意多项式中每个单项式的符号．
三、课堂小结
指导学生总结本节课的知识点，学习过程的自我评价．主要针对以下方面：
1．多项式×多项式．
2．多项式与多项式的乘法．
用一个多项式中的每项乘另一个多项式的每一项，不要漏项．在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是这两个多项式项数之积．
四、布置作业
教材第102页练习题．
本节课由计算绿地面积出发，通过几种不同的计算图形面积方法，得出多项式相乘的法则，整个教学过程的主线和重点定在学生如何自主地探索多项式乘法法则的过程以及如何熟练运用法则解决问题，充分调动了学生学习的积极性．教师不仅是教给学生知识，还要重视学习方法的指导和培养．
第3课时 同底数幂相除
1．掌握同底数幂的除法的运算法则．
2．会用同底数幂的除法的法则进行计算．
重点
准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．
难点
根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．
一、问题导入
1．叙述同底数幂的乘法运算法则．
同底数幂相乘，指数相加，底数不变．即am·an＝am＋n.（m，n是正整数）
2．问题：
一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M＝210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？
移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位．移动存储器的容量为26×210＝216K.所以它能存储这种数码照片的数量为218÷28.
218，28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？
二、探究新知
请同学们做如下运算：
1．
（1）28×28；
（2）52×53；（3）102×105；（4）a3·a3.
2．填空：
（1）（ ）·28＝216；
（2）（ ）·53＝55；
（3）（ ）·105＝107；（4）（ ）·a3＝a6.
除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是一种除法运算，所以这四个小题等价于：
（1）216÷28＝（ ）；
（2）55÷53＝（ ）；
（3）107÷105＝（ ）；（4）a6÷a3＝（ ）．
再根据第1题的运算，我们很容易得到答案：
（1）28；
（2）52；（3）102；（4）a3.
其实我们用除法的意义也可以解决，请同学们思考、讨论．
（1）216÷28＝
（2）55÷53＝
（3）107÷105＝（4）a6÷a3＝
从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？
am÷an＝am－n.（a≠0，m，n都是正整数，且m≥n）
三、例题讲解
例1（教材例7） 计算：
（1）x8÷x2；
（2）（ab）5÷（ab）2.
解：
（1）x8÷x2＝x8－2＝x6；
（2）（ab）5÷（ab）2＝（ab）5
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