高数下册知识点.docx

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高数下册知识点

【篇一：

高数下册知识点】

第八章向量与解析几何向量代数两点间的距离公式：

212212212）（）（）（zzyyxxba?

方向角：

非零向量与三个坐标轴的正向的夹角?

向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示（yzajak?

向量有大小、有方向.记作a或ab?

a,,）xxyzaiaaa?

,xxyyzzaprjaaprjaaprja?

模向量a的模记作aa222xyzaaa?

和差cab?

cab?

－?

cab?

xxyyzzababab单位向量0a?

，则aaea?

ae222（,,）?

xyzxyzaaaaaa方向余弦设a与,,则方向余弦分别为cos?

xyz轴的夹角分别为?

，，，?

，cos，coscosyxzaa?

aaa?

，cos，coscosae?

（2?

，cos，cos）22?

+coscoscos?

点乘（数量积）?

cosbaba?

，?

为向量a与b的夹角zzyyxxbababa?

ba叉乘（向量积）bac?

sinbac?

为向量a与b的夹角向量c与a，b都垂直zyxzyxbbbaaakjiba?

定理与公式垂直0abab?

0xxyyzzabababab?

平行//0abab?

//yzxxyzaaaabbbb?

交角余弦两向量夹角余弦baba?

cos222222cosxxyyzzxyzxyzabababaaabbb?

投影向量a在非零向量b上的投影cos（）bab?

prjaaabb?

222xxyyzzbxyzabababprjabbb?

曲面、空间曲线及其方程1、曲面及其方程:

f（x,y,z）=0，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作2、旋转曲面：

yoz面上曲线0）,（:

zyfc，绕y轴旋转一周：

0）,（22?

zxyf绕z轴旋转一周：

0）,（22?

zyxf1、柱面：

0）,（?

yxf表示母线平行于z轴，准线为?

2zb2?

c2?

cy?

2椭圆柱面：

00）,（zyxf的柱面2、二次曲面:

椭圆锥面：

2222yax?

椭球面：

122222?

czbyax旋转椭球面：

122222?

zayax单叶双曲面：

1222222?

czbyax双叶双曲面：

122222?

zbxyax椭圆抛物面：

zbya2x?

2222双曲抛物面（马鞍面）：

zba?

2221222?

byax双曲柱面：

12222?

byax抛物柱面：

ayx?

2空间曲线及其方程:

一般方程：

0）,,（0）,,（zyxgzyxf参数方程：

）（）（）（tzztyytxx如螺旋线：

btztaytaxsincos空间曲线在坐标面上的投影?

0）,,（0）,,（zyxgzyxf，消去z，得到曲线在面xoy上的投影?

00）,（zyxh3:

曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：

投谁便消去谁平面方程与直线方程平面,}点直线,,}mnp法向量{,abcn?

）,,（0000zyxm方向向量{t?

点）,,（0000zyxm方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征?

1cyb一般式0?

dczbyax一般式?

002222111dzxadzcybxa点法式0）（）（）（000?

zzcyybxxa点向式pzznyymxx000?

三点式1112121213131310xxyyzzxxyyzzxxyyzz?

参数式?

ptzzntyymtxx000截距式1xyza?

abbc?

两点式000101010?

xxyzzxxyyzz面面垂直0212121?

ccbaa线线垂直0212121?

ppnnmm面面平行212121ccbba?

线线平行212121ppnnmm?

线面垂直pcnbma?

线面平行0?

cpbnam点面距离ax）,,（0000zyxm0?

dczby面面距离0?

1axbyczd?

20?

axbyczd222000cbadczbyaxd?

12222dddabc?

面面夹角}1c2n?

线线夹角}1p线面夹角},p,,{111ban?

},,{222cba?

,{111nm?

s},,{2222pnm?

s,{nm?

s},,{cba?

n222222212121212121||coscbacbaccbbaa?

222222212121212121cospnmpnmppnnmm?

222222sinpnmcbacpbnam?

第九章多元函数微分法及其应用

（一）基本概念距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

）,（yxfz?

，图形：

ayxfyxyx?

）,（lim）,（）,（001、多元函数：

2、极限：

3、连续：

）,（）,（lim）?

00）,（,（00yxfyxfyxyx?

4、偏导数：

x）yxfyxxfyxfxx?

lim）,（）,（）,（0000000yyxfyyxfyxfyy?

）,（,（lim）,（00000005、方向导数：

coscosyfxflf?

其中?

为l的方向角。

6、梯度：

）,（yxfz?

，则jyxfiyxfygradfyx?

）,（）,（）,（000000?

。

7、全微分：

设）,（yxfz?

，则dddzzzxyxy?

（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

2、3、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）微分法定义：

ux复合函数求导：

链式法则z（,）,（,）,fuvuuxyv?

zuzv?

yu?

隐函数求导：

两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值,（yxfz?

0xf1）2）若（,）vxyu?

zz，则vyzv?

xuxvx?

，zzyvy?

3）1）无条件极值：

求函数）的极值解方程组?

）00yf求出所有驻点，对于每一个驻点）,（00yx，令,（0yxfxx，）,（00yxfbxy?

，）,（00yxfcyy?

，①若02?

bacacacac，0?

0a，函数有极小值，若0，?

a，函数有极大值；②若00，函数没有极值；③若，不定。

偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342）条件极值：

求函数）,?

（yxfz?

x在条件0）,（）?

yx?

下的极值令：

（）,（）,（yxyfyxl?

lagrange函数解方程组?

0）,（00yxllyx2、1）几何应用曲线的切线与法平面?

xx曲线?

）（）（）（:

tzztyyt，则?

上一点）,,（000zyxm（对应参数为0t）处的切线方程为：

）（）（）（000000tzzztyyytxx?

法平面方程为：

0））（（））（（））（（000000?

zztzyytxxt2）曲面的切平面与法线,（:

xf,,（000zyx曲面0）,?

）0zy，则?

上一点,（0xfy）,,（000zyxm处的切平面方程为：

0））（,,（））（,）（0000000?

zzzyxfyyzyxxfzx法线方程为：

）,,（）,,（）,,（000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxzyx?

空间曲线?

：

（）t（）t，（）txyz?

（?

，，）?

切向量?

））（,）0（,）0（（?

0tttt?

切线方程：

）（）（）（000000tzztyytxx?

法平面方程：

0））（（）（）0（）（）0（0000?

zztyytxxt?

（）x（）xyz?

切向量?

））（,）x（,1（xt?

切线方程：

）（）（100000xzzxyyxx?

法平面方程：

0））（（）（）0（）（0000?

zzxyyxxx?

空间曲面?

：

0）,,（?

zyxf法向量?

000000000（（,,）,（,,）,（,,））xyznfxyzfxyzfxyz?

切平面方程：

（,xfxy000000000000,）（）（,,）（）（,,）（）0xxzxxfxyzyyfxyzzz?

法线方程：

xx?

）,,（）,,（）,,（000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfzyx?

）,（yxfz?

0000（（,）,（,）,1）xyn?

fxyfxy?

或?

0000（（,）,（,）,1）?

xynfxyfxy?

切平面方程：

0）（））（,（））（,（0000000?

zzyyyxfxxyxfyx法线方程：

yxfx1）,（）,（0000000?

zzyfyyxxy第十章重积分重积分积分类型二重积分?

d平面薄片的质量质量=面密度?

面积计算方法典型例题?

d,?

yxfi

（1）利用直角坐标系x型?

ddy?

dbaxxdyyxfdxdxdyyxf）（）（21）,（）,（?

y型?

cyydxyxfdxdyyxf）（）（21）,（）,（?

p141例1、例3

（2）利用极坐标系使用原则

（1）积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示（含圆弧,直线段）；

（2）被积函数用极坐标变量表示较简单（含22（）xy?

为实数）21（）?

（）（cos,?

sin）?

（cos,?

sin）?

fddd?

fd?

0（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当d关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）2?

p147例5p141例2应用该性质更方便110（,）fxy（,）xy（,）fxy2（,）fxydxdyfxy（,）（,）xy（,）fxyd?

xfixfdd?

对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分计算步骤及注意事项1．画出积分区域2．选择坐标系标准：

域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3．确定积分次序原则：

积分区域分块少，累次积分好算为妙4．确定积分限方法：

图示法先积一条线，后扫积分域5．计算要简便注意：

充分利用对称性，奇偶性?

截面法byxvzyxf（1dd）,,（三重积分?

空间立体物的质量质量=密度?

面积dvzyxfi）,,（

（1）利用直角坐标?

投影法投影?

ayxzyxzxxyzzyxfy）,（）,（）（）212d）,,（dp159例1p160例2有先一后二和先二后一之分

（2）利用柱面坐标cossinxryrzz?

相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:

○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如bfxyzv?

2222（）（fx）fxyz?

21（）?

（）?

（,,）ddd?

（cos,?

sin,）d?

rarzfz?

p161例3（3）利用球面坐标cossincos?

sinsinsincosxryrzr?

dvrdrdd?

2sin?

适用范围:

○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如，（,）dd（sincos,sinsin,cos）if?

（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性222（）fxyz?

2221112（,）sind?

p16510-

（1）第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分?

曲形构件的质量质量=线密度?

弧长?

lds）yxfi,（参数法（转化为定积分）

（1）:

（）xly?

dtttttfi?

）,?

（）（）（））（（22

（2）（）t:

（）（）txlty?

dxxyxyxfiba?

）

（1））（,（2（3）（）r?

（）r?

（）cos?

（）sinxrlyr?

（?

r（?

rrfi?

）））sin）,cos）（22p189-例1p190－3平面第二类曲线积分?

变力沿曲线所做的功?

lqdypdxi

（1）参数法（转化为定积分）（）:

（（）yt?

）xtlt?

单调地从到ttttqtttpyqxpld）}（）]?

（）,?

（[?

）（）]?

（）,?

（[?

{dd?

p196-例1、例2、例3、例4

（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：

①l封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域d）②p，q具有一阶连续偏导数pqqdypdxd?

满足条件直接应用结论：

dydxyxl?

）（应用：

助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞p205－例4p214-5

（1）（4）（3）利用路径无关定理（特殊路径法）q?

pdx等价条件：

①ypx?

②0?

lqdypdx③?

④（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系?

lqdy与路径无关，与起点、终点有关qdypdx?

具有原函数）,（yxup211-例5、例6、例7?

lldsqpqdypdxi）coscos（?

空间第二类曲线积分ipdxqdyrdz?

变力沿曲线所做的功l?

（1）参数法（转化为定积分）dtttttrtttqttttprdzqdypdx）}（）]?

（）,（）,?

（[?

）]?

（）,（）,?

（[?

）（）]?

（）,（）,?

（[?

（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）条件：

①l封闭，分段光滑，有向②p，q，r具有一阶连续偏导数结论：

p240-例1dxdyypxqdzdxxrzpdydz）zqyrrdzqdypdxl）（）（（?

应用：

助线不是封闭曲线，添加辅投影法?

：

）,（yxzz?

满足条件直接应用第一类曲面积分xfi?

片的质量质量=面密度?

面积dv）zy?

,（曲面薄投影到xoy面dxdyzzyxz,（yxfdv）zyxfixyd?

yx?

221））,,（,,（类似的还有投影到yoz面和zox面的公式

（1）投影法○1ppdydzyz?

：

）,（yxzz?

，?

为?

的法向量与x轴的夹角前侧取+，cos0?

；后侧取?

，cos○2yxpqdzdxyz?

：

）,（zxyy?

，?

为?

的法向量与y轴的夹角右侧取+，cos0?

○3yxqqdxdyyz?

：

）,（zyxx?

，?

为?

的法向量与x轴的夹角上侧取+，cos0?

（2）高斯公式右手法则取定?

的侧条件：

①?

封闭，分片光滑，是所围空间闭区域?

的外侧②p，q，r具有一阶连续偏导数p217-例1、例2第二类曲面积分ipdydzqdzdxrdxdy?

流体流向曲面一侧的流量?

dydz）zyzyxd?

）,,（（0?

dzdx）zzxd?

）,,（,（；左侧取?

，cosdxdyyxz））,（,0?

（；下侧取?

，cos0?

p226-例2结论：

不是封闭曲面，添加辅（3）两类曲面积分之间的联系pdydzqdzdxrdxdy?

）（zryqxprdxdyqdzdzpdydz应用：

助面满足条件直接应用p231-例1、例2（cosp?

zdxdyx?

coscos）?

qrds?

转换投影法：

（）（）zdydzdzdxdxdyy?

p228-例3所有类型的积分：

○1定义：

四步法分割、代替、求和、取极限；○2性质：

对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章级数无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义，nnlims?

存在常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质○1若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛?

○2两个收敛级数的和差仍收敛?

注：

一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.○3去掉、加上或改变级数有限项?

不改变其收敛性?

○4若级数收敛?

则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。

推论?

如果加括号后所成的级数发散?

则原来级数也发散?

注：

收敛级数去括号后未必收敛.○5（必要条件）如果级数收敛?

则0lim?

n0?

nu莱布尼茨判别法若1?

nuu且0lim?

nu，则?

11）1（nnnu收敛nu?

和nv?

都是正项级数，且nnvu?

.若nv?

收敛，则nu也收敛；若nu?

发散，则nv也发散.比较判别法比较判别法的极限形式nu?

和nv?

都是正项级数，且lvunnnlim?

，则○1若?

l0,nu?

与nv?

同敛或同散;○2若0?

l,nv?

收敛,nu?

也收敛；○3如果?

l，nv?

发散，nu?

也发散。

比值判别法根值判别法nu?

是正项级数，?

nnnlimuu1,?

nnnlimu,则1?

时收敛；1?

（?

）时发散；1?

时可能收敛也可能发散.收敛性和函数展成幂级数nn?

0nxa?

nnnlimaa1,1,0;,0;0,.rrr?

缺项级数用比值审敛法求收敛半径）（xs的性质○1在收敛域i上连续;○2在收敛域）,（rr?

内可导，且可逐项求导;○3和函数）（xs在收敛域i上可积分，且可逐项积分.（r不变,收敛域可能变化）.直接展开:

泰勒级数间接展开:

六个常用展开式1（11nx?

11）nxx?

11（）!

xnn?

exxn?

2ttl?

10）sincos

（2）（nnnxbnxaaxf?

dxxfa）（10?

nxdxxfancos）（1?

nxdxxfbnsin）（1收敛定理x是连续点,收敛于）（xf;x是间断点,收敛于）]（）（[21?

xfxf周期延拓）（xf为奇函数，正弦级数，奇延拓；）（xf为偶函数，余弦级数、偶延拓.交错级数

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