双曲线二级结论大全.docx
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双曲线二级结论大全
双曲线
1』PF!
PF2II2a
2
x
2.标准方程一2
a
b2
3.
PF1
di
4.点P处的切线PT平分△PFi巨在点P处的内角.
5.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.
6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切
&设P为双曲线上一点，贝U△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.
22
9.双曲线jX2与1（a>0,b>0）的两个顶点为A（a,0）,A2（a,0），与y轴平行的直线
ab
22
Xy
交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.
ab
2
x
10.若P0（x0,y0）在双曲线-
a
2
每1（a>0,b>0）上，则过F0的双曲线的切线方程是
b
X0X河
a2b2
1.
2
x
11.若P0（xd,y0）在双曲线~
a
2
%1（a>0,b>0）夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切
b
点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是西¥^21.
ab
22
12.AB是双曲线孑b
（a>0,b>0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中
b2
点，则koMkAB~2.
a
13•若P）（X0,y°）在双曲线
2
y
1（a>0,b>0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是
b
X0Xy°yX0
~2-
a
b2
2
y。
b2
14•若P°（X0,y°）在双曲线
2
X
2
a
2
E1（a>0,b>0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
b
x°xy°y
22
PQ是双曲线笃爲1（b>a>0）上对中心张直角的弦，则
ab
11
孑訂1|OP|,r2
g）.
16.
22
若双曲线1（b
ab
>a>0）上中心张直角的弦L所在直线方程为
Ax
By1（AB0），则
（1）丄
a
2a2b2,2）l2、mF.
b2|a2A2b2B21
17.
给定双曲线C1:
b2x2a2y2a2b2（a>b>0）,C2:
b2x2a2y2
2,2
zab2（r2ab）,
ab
C2上一定点
则（i）对G上任意给定的点P（x。
，yo）,它的任一直角弦必须经过
2.22.2
ab、，ab、
M（~2~2x,~2—2y0）.
abab
（ii）对C2上任一点P（xo,yo）在Ci上存在唯一的点M，使得M的任一直角弦都经过P点.
2
x
18.设P（x0,y0）为双曲线—
a
2
y
21（a>0,b>0）上一点，P1P2为曲线C的动弦，且弦PPi,
b
PF2斜率存在，记为
ki,k2,
则直线P1P2通过定点M（mx）,my0）（m1）的充要条件是
2
1mb
-~.
1ma
2
x
19.过双曲线—
a
2
占1（a>0,b>o）上任一点A（x°,y0）任意作两条倾斜角互补的直线
b
交双曲线于
B,C两点，则直线BC有定向且kBC
ay。
（常数）•
20.双曲线
2
x
2
a
2
匸1（a>0,b>o）的左右焦点分别为
Fi,F2，点P为双曲线上任意一点
F1PF2
则双曲线的焦点角形的
面积为S
F1PF2
b2c%，
P（
c2b2cot
c\
bl-ot—）.
2
22.
若P为双曲线
PF1F2
2
X
双曲线一2
a
2y_b2
2
y
PF2F1
当M（Xo,y°）在右支上时,
当M（X0,y°）在左支上时,
22
23.若双曲线/卡
（a>0,b>0）
ca
，则一
ca
右（或左）支上除顶点外的任一点
tancot—（或
2
（a>0,b>0）的焦半径公式:
|MF1|ex0a,|MF2|
|MF1|
Fi,F2是焦
-—atan—cot）.ca22
F1（c,0）,F2（c,0）
ex0a.
exja,|MF2|ex0a.
（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1
vew...21时，可在双曲线上求一点P,使得PF是P到对应准线距离d1与PD的比例中项.
24.
P为双曲线
2
每1（a>0,b>0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定
b
则|AF2|
2a
|PA|IPF1|，当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.
25.
2
X
双曲线~
a
2
y
21（a>0,b>0）上存在两点关于直线I:
yk（xx°）对称的充要条
b
件是x）2（a
.2\2
a2b^k0且kb
26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应
焦点的连线必与切线垂直.
27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,
则该点与焦点的连线必与焦
半径互相垂直.
28.P是双曲线
asec
（a>0,b>0）上一点，则点
btan
P对双曲线两焦点张直角的充要
条件是e2
1tan2
2
x
29.设A,B为双曲线—
a
2
占k（a>0,b>0,k0,kb
1）上两点，其直线AB与双曲线
笃y21相交于P,Q,则APBQ.ab
22
dxy2H
122acosht
ab
b2sinh2t,cotht
ayxbx‘
0时t
0,
弦两端点在两支上
22
冷y21a2sinh2t
ab
22
bcosht,cotht
bx
yay
0时t
0,
弦两端点在同支上
22
30.在双曲线一221中，定长为2m（m0）的弦中点轨迹方程为
ab
2
31.
x
S为双曲线一2
a
2yb2
（a>0,b>0）
的通径,
定长线段
L的两端点
A,B在双曲线右
支上移
动，记|AB|=
M（X。
，y°）
是AB中点，
S时，有
（X0）min
2.
al
（c
c2e
b2,e
-）;当l
a
S时，有（X°）min
22
32.双曲线7古
1（a>0,b>0）与直线AxBy
0有公共点的充要条件是
"222,22
AaBbC.
33.双曲线（x：
0）
a
j21（a>0,b>0）与直线
b2
Ax
ByC0有公共点的充
要条件是A2a2B2b2
2
（Ax0By0C）.
2
x
34.设双曲线—
a
2
y_
b2
1（a>0,b>0）的两个焦点为F1、
F2,P（异于长轴端点）为双曲线
上任意一点，
在△PF1F2中，记F1PF2
PF1F2
F1F2P,则有
sin
（sinsin）
c
e.
a
22
35.经过双曲线x"^21（a>0,b>0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任
ab
22
xy
36•已知双曲线—牙1（b>a>0）,0为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.
ab
（1）
1
2
|0P|
1
2
|0Q|
1
~~2
a
1
;
（2）|0P|2+|0Q|2的最小值为b2
4a2b2
b2a2
（3）S0PQ的最
小值是
22
ab
7~22.
ba
2
x
37•MN是经过双曲线—
a
2
y
21（a>0,b>0）过焦点的任一弦（交于两支），若AB是经过
b
双曲线中心0且平行于MN的弦，贝y|AB|22a|MN|.
22
xy
38•MN是经过双曲线—2
ab
1（a>b>0）焦点的任一弦（交于同支），若过双曲线中心
0的半弦OP
MN,
2
a|MN|
1
|0P|2
2
x
39•设双曲线一2
a
2
顶点外的任一点,
笃1（a>0,b>0）,M（m,o）为实轴所在直线上除中心,b
过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q（A1,A2为两顶点）的交点N在
2
直线l:
x—上.
m
40•设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结
AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，贝UMF丄NF.
41•过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P
和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,贝UMF丄NF.
22
42•设双曲线方程令占1,则斜率为k（k工的平行弦的中点必在直线l:
ykx的共轭
ab
直线yk'x上，而且kk
bl
2.
a
22
1（a>0,b>o）上四点，AB、CD所在直线的倾斜角
xy
43.设A、B、C、D为双曲线—2
ab
直线AB与CD相交于P且P不在双曲线上，则
|PA||PB|b2cos2a2sin2|PC||PD|b2cos2a2sin2
2
x
44.已知双曲线—
a
y_
1（a>0,b>0），点P为其上一点Fi,F2为双曲线的焦点,
F1PF2
的内（外）角平分线为
l，作Fi、
的轨迹方程是x2y2
2,22
a（cy
F2分别垂直I于R、S,当P跑遍整个双曲线时，R、S形成
22.22
aybxxc
~2~）.
c
45.设厶ABC三顶点分别在双曲线
上，且AB为
的直径，I为AB的共轭直径所在的直线,
l分别交直线
AC
BC于E和F,又D为l上一点，贝yCD与双曲线相切的充要条件是D为
EF的中点.
46•过双曲线
1（a>0,b>0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,
弦MN的垂直平分线交
x轴于P,则
|PF|e
|MN|2
47.设A（X1,y1）是双曲线
2
x
~2
a
2
y
1（a>0,b>0）上任一点，过A作一条斜率为
爭的
ay1
直线L,又设d是原点到直线
L的距离，na分别是A到双曲线两焦点的距离，贝U•rr2dab.
48.已知双曲线
22
xy
2,2
ab
2
‘十x
1（a>0,b>0）和一2
a
2yb2
（0
1）,一条直线顺次与
它们相交于A、
B、C、D四点，贝U|AB|=|CD|.
49.已知双曲线
2
1（a>0,b>0）,A、b2
B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线
与x轴相交于点
P（x°,0）,则X。
2.2
7或
a
X。
a2b2
22
xy’
50.设P点是双曲线一221
ab
（a>0,b>0）上异于实轴端点的任一点尸、F2为其焦点记
F1PF2
，则
（1）|PF1||PF2|
2b2
.
（2）S
1cos
PF1F2
b2cot
2
51.设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴
的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN:
xn于M,N两点，则
MBN90o
22anmb2（na）2
2
x
52.L是经过双曲线—
a
2y_b2
1（a>0,b>0）
焦点F且与实轴垂直的直线,
A、
B是双曲线
的两个顶点，e是离心率，点P
L,若APB
1
，则是锐角且sin或
e
.1arcsine
（当且仅当|PF|b时取等号）
22
53.l是经过双曲线Orb
1（a>0,b>0）
的实轴顶点
A且与x轴垂直的直线,
E、F是
双曲线的准线与x轴交点，点
焦距，则是锐角且
sin
e是离心率，EPF
1
arcsin（当且仅当
e
H是L与X轴的交点c是半
|PA|时取等号）.
c
2
X
54.L是双曲线—2
a
（a>0,b>0）焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线
与x轴交点，H是L与x轴的交点，点PL,
1
为锐角且sin-2或
e
arcsing（当且仅当
e
EPF，离心率为e,半焦距为c,则
IPF1|bF
c
2
c时取等号）
2
X
55.已知双曲线一2
a
2yb2
1（a>0,b>0）,直线
L通过其右焦点
F2,且与双曲线右支交于A、
222
B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则IF1AI|F1B|（*2）（当且仅当AB丄x
a
轴时取等号）
56.设A、
B是双曲线
2X~2a
b1（a>0,b>0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点,
PAB
PBA
BPA
c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有
⑴|PA|
2
2ab|cos
'~222
|accos
L.
（2）tan
I
22a2b2
tan1e.（3）Spab22cot
ba
57.设A、B是双曲线
b21
（a>0,b>0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的
区域）、外部的两点，且
XA、XB的横坐标XaXb
2
a,
（1）若过A点引直线与双曲线这一
支相交于P、Q两点，贝UPBAQBA;
（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q
两点，贝UPBAQBA180°.
22
xy
58.设A、B是双曲线—21（a>0,b>0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的
ab
区域），外部的两点，
（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若BP交双
曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称），且PBAQBA,则点A、B的横坐标
Xa、
2
Xb满足XaXba;
（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于
Q两点，且
PBAQBA180o,则点A、B的横坐标满足X
2
Xba.
22
xy
59.设代A是双曲线一221的实轴的两个端点，
ab
qq'是与aa'垂直的弦,
则直线AQ
与AQ的交点
22
xy
P的轨迹是双曲线—21.
ab
60.过双曲线
22
xy
2,2
ab
（a>0,b>0）的右焦点
F作互相垂直的两条弦
AB、CD,则
|AB||CD|
8ab2
I~2,2.
|ab|
|AB||CD|
22
xy
61.到双曲线—
ab
1（a>0,b>0）两焦点的距离之比等于
（c为半焦距）的动
点M的轨迹是姊妹圆（x
ec）2y2（eb）2.
22
xy
62•到双曲线—21
ab
（a>0,b>0）
的实轴两端点的距离之比等于
--（c为半焦距）b
的动点M的轨迹是姊妹圆
/、22
（xc）y
b2.
22
xy
63.到双曲线—21
ab
（a>0,b>0）
ca
的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半
b
焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（xa）2
2b2
y
（一）（e为离心率）.
e
22
xy'
64.已知P是双曲线—21（a>0,b>0）上一个动点，A,A是它实轴的两个端点，且
ab
2,22
xby
AQAP,AQAP，贝UQ点的轨迹方程是—1.
aa
65.双曲线的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项•
22
xy'
66.设双曲线—21（a>0,b>0）实轴的端点为代A,P（X1,y1）是双曲线上的点过P
ab
bx
作斜率为—的直线l,过代A分别作垂直于实轴的直线交I于M,M，则
（1）
aY1
''2
|AM||AM|b2.
（2）四边形AMAM面积趋近于2ab.
22
67•已知双曲线务与1（a>0,b>0）的右准线I与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F
ab
X轴，则直线AC经过线段
的两条互相垂直的弦，O为
OA、OB为直径的两圆的另
的直线与双曲线相交于A、B两点，点C在右准线I上，且BC
EF的中点.
22
（xa）y
68.OA、OB是双曲线221（a>0,b>0,且ab）
ab
ab2
坐标原点，则
（1）直线AB必经过一个定点（严2,0）.
（2）以
ba
一个交点Q的轨迹方程是（x2——2『
ba
y2（需%）2（除原点）。
ba
22
69.P（m,n）是双曲线（x2a）yy
ab
弦，则
（1）直线AB必经过一个定点
1（a>0,b>0）上一个定点，PA、PB是互相垂直的
严22m（b：
a2）,略Q）.
（2）以PA、PB为
baba
直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是
22224222
“abam、2“bn、2a[bn（ab）]”-
（x2—）（y-22）2卡（除P点）.
baba（ba）
70.如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点Fi、F2到直线L的距离分别为di、d2，那么
（1）
2
d1d2b,且F1、F2在L异侧直线L和双曲线相切，或L是双曲线的渐近线•
（2）
侧直线L和双曲线相交
22
xy
71.AB是双曲线一22
ab
1（a>0,b>0）的实轴，N是双曲线上的动点，过
N的切线与
过A、B的切线交于C
D两点，则梯形ABDC的对角线的交点
M的轨迹方程是
4y2
b2
i（yo）.
22
72.设点P（Xo,y0）为双曲线一22
ab
1（a>0,b>0）的内部（（含焦点的区域）
）一定点,
AB是双曲线过定点
P（xo,yo）的任一弦.
（1）女口ab,贝U当弦
AB垂直于双曲线实轴所在直线时
（|PA||PB|）min
2222、（bXoayo）
2
a
a2b
⑵如ab,则当弦ab平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时
（|PA||PB|）min
2222、（bXoayo）
a2b
73.双曲线焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切
74.双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点
75.双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与c-a.
76.双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a.
77.双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心
率）.注:
在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点•
78.双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
79.双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项
80.双曲线焦三角形中双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点
到同侧焦点的距离成比例•
81.双曲线焦三角形中，半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点
与同侧焦点连线段成比例•
82.双曲线焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线，则双曲线中心与垂足连
线必与另一焦半径所在直线平行•
83.双曲线焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线，则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长•
，垂足就是垂足同侧焦半
84.双曲线焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线
径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点
85•双曲线焦三角形中为定值e.
，非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比
86•双曲线焦三角形中
，非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线.
87•双曲线焦三角形中
，非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.
88•双曲线焦三角形中
直径的圆必过两焦点.
，过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交，则以两交点为
22
89.已知双曲线笃爲1（a0,b0）上有一点P，过P分别引其渐近线的平行线，分别
2
（1）|OM||ON|a；
（2）
ab
交x轴于M,N，交y轴于R,Q，O为原点，则:
2
|OQ||OR|b.
b
90.过平面上的P点作直线l1:
y-x及l2:
y
a
b
-x的平行线，分别交x轴于M,N，交
a
2
y轴于R,Q.
（1）若|OM||ON|a，则P的轨迹方程是
b2
1（a0,b0）.
（2）
22
若|OQ||OR|b2，则P的轨迹方程是笃当ab
1（a0,b0）.
22
91•点P为双曲线笃当1（a0,b0）在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、y轴
ab
的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线y
ab
积为S,S2，则：
S21.
2
K
-x于Q,R，记OMQ与ONR的面a
92.点P为第一象限内一点，过
P引x轴、y轴的平行线，交y轴、
x轴于M,N，交直线
y-x于Q,R，记OMQ与ONR的面积为3,S2，已知IS1S2I邑，则P的轨
a2
2222
迹方程是务占1（a0,b0）或占—21（a0,b0）
abba
双曲线性质92条证明
3•双曲线第二定义。
1•双曲线第一定义。
2•由定义即可得双曲线标准方程。
4•设P（x°,y°）在第一象限，切线PT（即I
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