双曲线中常见结论.docx
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双曲线中常见结论
双曲线中常见结论
3
2
A
a
双曲线中常见结论:
2、焦半径
8
6
4
-2
-4
-6
-8
7、P为双曲线上任一点，以PFi直径的圆和
x2+y2=a2相切。
6、P为双曲线上任一点，三角形PF1F2的内切圆圆心在直线x=a或x=-a上。
2222、,
&双曲线笃b（入工0）和务十1有相同的渐近ab'7ab
线和相同的离心率。
9、P为双曲线上一点，贝UPFF2的面积为S=b2-sin-
1cos
10、Fl,F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上任一点，/PFiF2=a,/PF1F2*。
则双曲线的离心率为pe=n）
sinsin
例（湖南卷）已知双曲线
22
%—=1（a>0,b>
ab
0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点
A,△OAF的面积为屯（O为原点），则两条渐近线的夹角为（D）
A.30oB45o
C.60oD.90o
（）
A.3B.（
D•以上都不对
椭圆的几何性质
，、教学目标
（一）知识教学点
通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用.
（二）能力训练点
通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力.
（三）学科渗透点
使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等.
二、教材分析
1.重点：
椭圆的几何性质及初步运用.
（解决办法：
引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结.）
2.难点：
椭圆离心率的概念的理解.
（解决办法：
先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.）
3•疑点：
椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变.
（解决办法：
利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.）
三、活动设计
提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演
板、讲解后归纳、小结.
四、教学过程
（一）复习提问
1.椭圆的定义是什么？
2.椭圆的标准方程是什么？
学生口述，教师板书.
（二）几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是
解析几何的基本问题之一.本节课就根据棘圆的标准方程手■+£=心〉
b>o）来研究椭圆的几何性质.说明：
椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变.
1范围
引导学生从标准方程斗+占一1得出不尊式斗密G
abab
即卩|x|2.对称性
先请大家阅读课本椭圆的几何性质2.
设问：
为什么“把x换成-X，或把y换成-y?
，或把X、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？
事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P（x，y）在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q（-x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称.类似可以证明其他两个命题.
同时向学生指出：
如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称.如：
如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称.
事实上，设P（x,y）在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1（X,-y）必在曲线上•又因为曲线关于原点对称，所以Pi关于原点对称点P2（-x,y）必在曲线上•因P（x，y）、P2（-x，y）都在曲线上，所以曲线关于y轴对称.
最后指出：
x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心.
3•顶点
引导学主从椭圆的标准方程孚+着一1分祈它与靜y轴的交点.
ad
只须令x=0,得y=±b,点Bi（0，-b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y=0,得x=±a,点Ai（-a,0）、A2（a,0）是椭圆和x轴的两个交点•强调指出：
椭圆有四个顶点Ai（-a,0）、A2（a,0）、Bi（0,-b）、B2（0,b）.
教师还需指出：
（1）线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b;
（2）a、b的几何意义：
a是长半轴的长，b是短半轴的长；
这时，教师可以小结以下：
由椭圆的范围、
对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形.
4.离心率
教师直接给出椭圆的离心率的定义:
怖圆術焦距与长轴的比E=-.
a
等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e
的几何意义.
先分析椭圆的离心率e的取值范围：
*/a>c>0,二0vev1.
再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：
（1）当e接近1吋，c越接近a,从耐=5/丄X越小,因此：
椭圆越扁；
（2）当e接近0时，c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆接近圆；
（3）当e=0时，c=0,a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了.
（3）应用
为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用
描点法画图的基本方法，给出如下例1.
例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形.
本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成•后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：
•7J4；4
11）列-責，—=1吏形为丫=-t-x21根据y=+—^25-7
25ioj5
在第一囲限的范围内算岀几个点的坐标（x,刃；
K
0
1
2
2；
4
3
7
4
3.7
27
3.2
2.4
□
（2）描点作图.先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆（图2-19）•要强调：
利用对称性可以使计算量大大减少.
例2点AA（亘，y）与定点F〔c,0）的距离和它到定直线1：
=—的
C
r
距离的比是常数-（a>c>0）,求点M的轨迹.
a
本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：
设d是点M到直线I的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M
.p=—1—
3-2j2cosG'
设…十就可化成：
4^4=1-
ab
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆.
由此例不难归纳出椭圆的第二定义.
（四）椭圆的第二定义
1.定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数
t=时，这个点M的轨迹是椭圆.定点是箭圆的焦点，定宜
a
线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.
2.说明
⑴对于椭圆a+.2=ab
-L相应于焦点F（m0）的准钱方程是蛊=—
C
根据椭圆的对祢性，相应于焦点F'H，0）的准线方程忌.
C
⑵对于椭圆苓+咅=1,相应于焦点F0©的准线方程是丫=丄，abc
相应于焦点"（0,弋的准线方程島一兰.
C
这时还要讲清e的几何意义是：
椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比.
（五）小结
解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关.前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质.布置学生最后小结下列表格：
标®方程
□」
—5-+—y■l（a>b>Q）
72
对称性
顶点
长轴
短瑚
焦点—
五、布置作业
1•求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：
（1）25X2+4y2-100=0，
（2）X2+4y2-1=0.
2•我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦
点的椭圆，近地点距地面266Km远地点距地面1826Km求这颗卫星的轨道方程.
3.点P与一定点F（2,0）的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1:
2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
4.椭圆的中心在原点，一个顶点是®幼离心率史二f,求椭圆
的方程.
作业答案:
1.n）2a=10,2b=4,2c=2721,
e——,焦贞（0,土』TT.i,顶
25
点（山±5）.（+2,0L准线+—
v21
3.=1轨迹是长半轴等于屯建料由等于2苗的椭圆.
1612
4•顶点（o,2）可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情
况求方程:
=1.
六、板书设计
专2円踊同的几何性嚴
（一）提同
U）应用
（四）描囿的整二定义
1.
例1
1•定义：
2.
2・说明：
（二）几何性质
例2
1・
J1
3.
4.
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