人教版七年级下册 数学《平面直角坐标系》全章导学案.docx

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人教版七年级下册数学《平面直角坐标系》全章导学案

《平面直角坐标系》全章导学案

【知识点】一、坐标

1、数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。

数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫这个点在数轴上的坐标。

数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都有唯一的一个数与之对应。

2、平面直角坐标系由互相垂直、且原点重合的两条数轴组成。

横向（水平）方向的为横轴（x轴），纵向（竖直）方向的为纵轴（y轴），平面直角坐标系上的任一点，都可用一对有序实数对来表示位置，这对有序实数对就叫这点的坐标。

（即是用有顺序的两个数来表示，注：

x在前，y在后，不能随意更改）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，每一个点，都有唯一的一对有序实数对与之对应。

【知识点】二、象限及坐标平面内点的特点

1、四个象限平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限（或第Ⅰ象限）、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）。

注：

ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限。

例点A（3，0）和点B（0，-5）

ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标也相应发生改变。

【典型例题】1．教室里，从前面数第8行第3位的学生位置记作（8，3），则坐在第3行第8位的学生位置可表示为　　．

2．已知a，b都是实数，设点P（a+2，

），且满足3a＝2+b，我们称点P为“梦之点”．

（1）判断点A（3，2）是否为“梦之点”，并说明理由．

（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“梦之点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．

3．如图，直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，8，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2021的坐标为　　．

【巩固练习】1．电影院中5排6号记为（5，6），则6排5号记为（　　）

A．（6，5）B．（6，﹣5）C．（5，6）D．（﹣6，5）

2．在下列说法中，能确定位置的是（　　）

A．禅城区季华五路

B．中山公园与火车站之间

C．距离祖庙300米

D．金马影剧院大厅5排21号

3．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称P（m，n+2）为“开心点”．例如点A（6，6）为“开心点”．

因为当A（6，6）时，m＝6，n+2＝6，得m＝6，n＝4．

所以2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12，

所以2m＝8+n．

所以A（6，6）是“开心点．

（1）判断点B（4，5）　　（填“是”或“不是”）“开心点”；

（2，若点M（a，a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限？

并说明理由．

2、坐标平面内点的位置特点①、坐标原点的坐标为（0，0）；

②、第一象限内的点，x、y同号，均为正；③、第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；

④、第三象限内的点，x、y同号，均为负；⑤、第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；

⑥、横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：

y=0（表示一条直线）

⑦、纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：

x=0（表示一条直线）

例：

若P（x,y）,已知xy>0,则P点在第____________象限，已知xy<0，则P点在第____________象限。

【典型例题】1．若点P（m，﹣2）在第三象限内，则m的值可以是（　　）

A．2B．0C．﹣2D．±2

2．点A（x，y）在第四象限，则点B（﹣x，y﹣2）在第几象限（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．点P（3，m+1）在直角坐标系的x轴上，m等于　　．

4．如图，小海龟位于图中点A处，按下述口令移动：

前进3格；向右转90°，前进5格；向左转90°，前进3格；向左转90°，前进6格；向右转90°，后退6格；最后向右转90°，前进1格；用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形．

【巩固练习】1．平面直角坐标系中，点P（2022，a）（其中a为任意实数），一定不在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．直线y＝x上D．坐标轴上

2．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）位于（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．在平面直角坐标系中，点A（8，﹣2022）在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

4．下列各点位于平面直角坐标系内第二象限的是（　　）

A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）

5．平面直角坐标系中，点（a2+1，2022）所在象限是（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

6．若点P（a+2，a）在y轴上，则点P的坐标为（　　）

A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．（2，0）D．（0，2）

7．如果P（a，b）在第三象限，那么点Q（a+b，ab）在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

8．若点P（a，b）在第四象限，则点Q（﹣a，﹣b）在第　　象限．

9．在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限，则点B（﹣ab，b）在第　　象限．

10．在平面直角坐标系中，已知点P1，P2的坐标分别为P1（a﹣

，a+

），P2（

b﹣1，b+4），根据下列条件，解决问题．

（1）若点P1在y轴上，求点P1的坐标．

（2）若点Q的坐标为（﹣5，7），直线P2Q∥y轴，求点P2的坐标．

3、点到坐标轴的距离坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离。

例：

点A（-3，7）表示到横轴的距离为_______，到纵轴的距离为_______；点B（-9，0）表示到横轴的距离为_______,到纵轴的距离为_______。

注:

①、已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，可能有多个解的情况，应注意不要丢解。

例：

点P（x,y）到x轴的距离是3，到y轴的距离是7，求点P的坐标为________________。

再例：

已知A（3，2），AB平行x轴，且AB=4，求B点的坐标为___________________。

【典型例题】1．在平面直角坐标系中，点A在x轴上，位于原点左侧，距离原点4个单位长度，则点A的坐标为（　　）

A．（0，4）B．（0，﹣4）C．（4，0）D．（﹣4，0）

2．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣5）到y轴的距离是　　．

【巩固练习】1．已知点P坐标为（1﹣a，2a+4），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（　　）

A．（2，2）B．（2，﹣2）

C．（6，﹣6）D．（2，2）或（6，﹣6）

2．在平面直角坐标系中，点P在第二象限，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标为（　　）

A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）

3．已知在平面直角坐标系中，点M（x+2y，x﹣y）在第一象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，则2x+y的值为　　．

4．若点A在第二象限，且A点到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点A的坐标为　　．

4、特殊直线上坐标的特点

①、平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，这条直线上的坐标可表示为：

（x,a）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值；

②、平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，这条直线上的点可表示为：

（b,x）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值。

例如：

已知平面直角坐标系内两点A（2,4），B（m，5），若直线AB∥y轴，则m=2，这种说法是______的。

（填正确或错误）

【典型例题】1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，3），若AB∥x轴，且AB＝5，当点B在第二象限时，点B的坐标是（　　）

A．（﹣9，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（1，3）

2．线段AB＝5，AB平行于x轴，A在B左边，若A点坐标为（﹣1，3），则B点坐标为　　．

3．已知点A（3a+2，2a﹣4），试分别根据下列条件，求出a的值．

（1）点A在y轴上；

（2）经过点A（3a+2，2a﹣4），B（3，4）的直线与x轴平行；

（3）点A到两坐标轴的距离相等．

【巩固练习】1．已知点P的坐标为（2x，x+3），点M的坐标为（x﹣1，2x），PM平行于y轴，则P点的坐标（　　）

A．（﹣2，2）B．（6，6）C．（2，﹣2）D．（﹣6，﹣6）

2．若A点的坐标是（2，﹣1），AB＝4，且AB平行于y轴，则点B的坐标为　　．

3.在平面直角坐标系中，点A（m，﹣2），B（3，m﹣1），且直线AB∥x轴，则m的值是　　．

4．点P（﹣2，﹣3）和点Q（3，﹣3）的距离为　　．

5．如图，在象棋盘上，若每一格代表1个单位长度，其中“士”的坐标是（﹣1，﹣1）．

（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；

（2）根据所建立的坐标系，分别写出“兵”“炮”和“車”的坐标．

6．已知点P（

a+2，2a﹣3），根据下列条件，求出点P的坐标．

（1）点P在y轴上；

（2）点Q的坐标为（﹣3，a），直线PQ∥x轴．

5、象限角平分线的特点

①、第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）；例：

A（3，____）和B（-5，____）均在第一、三象限的角平分线上。

②、第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数（异号）。

例A（-3，____）和B（5，____）均在第二、四象限的角平分线上。

【典型例题】1．如图，在平面直角坐标内有点A0（1，0），点A0第一次跳动到点A1（﹣1，1），第二次点A1跳动到A2（2，1），第三次点A2跳动到A3（﹣2，2），第四次点A3跳动到A4（3，2），……依此规律动下去，则点A2018的坐标是　　．

【巩固练习】2．在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数，我们称P（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1，﹣2），点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．

（1）点A和点B的

系和点的坐标为　　（直接写出答案）；

（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．

①求m的值；

②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，求k的值．

3．已知平面直角坐标系中有一点M（m﹣1，2m+3）．

（1）点M在象限的角平分线上，求点M的坐标；

（2）点M到x轴的距离为1时，求点M的坐标．

4．已知点（m+1，2m﹣3）到两坐标轴的距离相等，求m的值．

【知识点】三、坐标方法的简单应用

1、求面积

①、已知三角形的顶点坐标求三角形的面积将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差；例：

ⅰ、已知平面直角坐标系中，点A（2，4），点B（6，2），求△AOB的面积？

ⅱ、已知A（-4，3），B（0，0），C（-2，-1），求△ABC的面积？

②、已知多边形各顶点坐标求多边形的面积将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差。

例：

顺次连接坐标平面上四点A（2，2）、B（-2，2）、C（-3，-2）、D（3，-2），求这个四边形的面积？

【典型例题】1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．

（1）画出三角形ABC，并求其面积；

（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过　　平移得到的．

（3）已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是（　　，　　）．

2．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：

向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：

A→B（+1，+4），从B到A记为：

B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中

（1）A→C（　　，　　），B→C（　　，　　），

C→D（　　，　　）；

（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最少路程；

（3）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置．

【巩固练习】

1．如图是莉莉绘制的某公园一角平面简图的一部分，已知卫生间的坐标为（2，4），凉亭的坐标为（﹣2，3）．

（1）根据上述坐标，建立平面直角坐标系；

（2）根据你建立的平面直角坐标系，写出保安室的坐标；

（3）已知便利店的坐标为（4，﹣2），请在图中标出便利店的位置．

2．如图，这是一所学校的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置．

2、平移

①、点的平移一个点左、右（水平）平移，横坐标改变，纵坐标不变。

具体为：

向左平移几个单位，则横坐标减少几个单位；向右平移几个单位，则横坐标增加几个单位。

“左减右加”

一个点上、下（竖直）平移，纵坐标改变，横坐标不变。

具体为：

向下平移几个单位，则纵坐标减少几个单位；向上平移几个单位，则纵坐标增加几个单位。

“下减上加”

②、图形的平移图形是由无数个点组成的，所以，图形的平移实质上就是点的平移。

关键是把图形的各个顶点按要求横向或纵向平移，描出平移后的对应顶点，再连接全部对应顶点即可。

注：

图形平移后的新图形与原图形在形状、大小方面是完全相同的，唯一改变的是原图形的位置。

【典型例题】1．如图，点A的位置用数对（3，4）表示，将点A先向左平移2格，再向下平移2格，平移后的位置用数对表示为（　　）

A．（1，2）B．（2，2）C．（2，1）D．（3，1）

2．如图，点A、B的坐标分别是为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（　　）

A．18B．20C．28D．36

3．如图是象棋棋盘的一部分，如果用（1，﹣2）表示帅的位置，那么点（﹣2，1）上的棋子是（　　）

A．相B．马C．炮D．兵

4．在平面直角坐标系中，把点P（a﹣1，5）向左平移3个单位得到点Q（2﹣2b，5），则2a+4b+3的值为　　．

【巩固练习】

1．将点P（﹣5，4）向右平移4个单位，得到点P的对应点P′的坐标是（　　）

A．（﹣5，8）B．（﹣1，4）C．（﹣9，4）D．（﹣5，0）

2．如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为（﹣2，3），白棋（甲）的坐标为（2，3），则白棋（乙）的坐标为（　　）

A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（1，1）D．（﹣1，﹣1）

3．将点P（m+2，3）向右平移1个单位长度到P′，且P′在y轴上，那m的值是（　　）

A．﹣2B．﹣1C．﹣3D．1

4．如图，围棋盘的方格内，白棋②的位置是（﹣5，﹣2），白棋④的位置是（﹣4，﹣6），那么黑棋①的位置应该表示为　　．

5．如图，AB∥CD∥x轴，且AB＝CD＝3，A点坐标为（﹣1，1），C点坐标为（1，﹣1），请写出点B，点D的坐标．

6．在平面直角坐标系中，点B（3，2）是由点A（﹣2，2）向右平移a个单位长度得到，则a的值为　　．

【拔高与规律】

1．在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60的扇形组成一条连续的曲线（如图），点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点P在直线上的速度为1个单位长度/秒，在弧线上的速度为

个单位长度/秒，则2021秒时，点P的坐标是　　．

2．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是　　．

3．对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：

若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB＜180°时，称P为线段AB的“近轴点”．

（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“轴点”是　　；线段AB的“近轴点”是　　．

（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围　　．

4．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．

（1）填写下列各点的坐标：

A4　　，A8　　，A12　　．

（2）写出点A4n的坐标（n为正整数）　　．

（3）蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向是　　．（填“向上”、“向右”或“向下”）

5．先阅读一段文字，再回答下列问题：

已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为P1P2＝

，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴，距离公式可简化成|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．

（1）已知A（3，5），B（﹣2，﹣1），试求A，B两点的距离；

（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点的距离．

（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），你能断定此三角形的形状吗？

说明理由．

6．点P坐标为（x，2x﹣4），点P到x轴、y轴的距离分别为d1，d2．

（1）当点P在坐标轴上时，求d1+d2的值；

（2）当d1+d2＝3时，求点P的坐标；

（3）点P不可能在哪个象限内？