线性代数练习题答案三.docx
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线性代数练习题答案三
线性代数练习题答案三
一、温习巩固
?
x1?
2x2?
x3?
x4?
0?
1.求解齐次线性方程组?
3x1?
6x2?
x3?
3x4?
0
?
5x?
10x?
x?
5x?
0
234?
1
解：
化系数矩阵为行最简式
?
121?
1?
?
120-1?
?
?
行变换?
?
A?
?
36?
1?
30010?
?
5101?
5?
?
0000
因此原方程同解于?
?
x1?
?
2x2?
x4
令x2?
k1,x4?
k2，可求得原方程的解为
x3?
0?
?
?
2?
?
110?
x?
k1k2?
?
，其中k1,k2为任意常数。
000?
?
1
?
4x1?
2x2?
x3?
2
?
2.求解非齐次线性方程组?
3x1?
x2?
2x3?
10
?
11x?
3x?
8
12?
解：
把增广矩阵化为阶梯形
?
42?
12?
?
13?
3?
8?
?
13-3-8?
?
?
r1?
r2?
?
行变换?
?
?
?
3?
12103?
12100-101134?
?
113?
113?
0008?
08?
0-6
因此R?
2?
R?
3，所以原方程组无解。
3.设?
?
?
?
。
求向量?
，使2?
?
3。
解：
?
?
151?
?
3,,0,?
?
33?
?
4.求向量组
?
1?
T,?
2?
T,?
3?
T,?
4?
T,?
5?
T的
秩和一个极大线性无关组。
解：
将?
1,?
?
5作为列向量构成矩阵，做初等行变换
?
11A?
?
2?
?
4?
二、练习提高⒈判断题
03130?
11722140
2?
?
1?
?
1?
?
050?
?
?
60
312
312?
?
1
?
?
303?
?
0
1010?
?
?
2?
4?
20
100
312?
?
101?
?
000?
0?
4?
4?
?
所以向量组的秩为3，?
1,?
2,?
4是一个极大线性无关组。
⑴初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。
⑵设A为m?
n矩阵，Ax?
0是非齐次线性方程组Ax?
b的导出组，则
若Ax?
0仅有零解，则Ax?
b有唯一解。
若Ax?
0有非零解，则Ax?
b有无穷多解。
若Ax?
b有无穷多解，则Ax?
0有非零解。
?
A
⑶设A为n阶矩阵，?
是n维列向量，若RT
?
?
AT?
?
?
?
?
R，则线性方程组?
0?
零
解
。
x?
y00
必有非
⑷对矩阵?
A?
E?
施行若干次初等变换，当A变为E时，相应的E变为A?
1。
⑸设向量组?
1,?
2,?
3线性无关，?
1可由?
1,?
2,?
3线性表示，而向量?
2不能由
?
1,?
2,?
3线性表示，则对于任意常数k，必有?
1,?
2,?
3，k?
1?
?
2线性相关。
⑹设n维列向量组?
1,?
2,?
?
s线性相关，A是m?
n矩阵，则A?
1,A?
2,?
A?
s线性相
B和A的秩分别为RB和RA，⑺若向量组B能由向量组A线性表示，则RB?
RA。
关。
R?
r?
m?
n，⑻设A为m?
n矩阵，则A的r?
1阶子式不能为0。
⑼设n元齐次线性方程组的一个基础解系为?
1,?
2,?
3,?
4，则
?
1,?
1?
?
2,?
1?
?
2?
?
3,
?
1?
?
2?
?
3?
?
4仍为该齐次线性方程组的基础解系。
⑽集合V?
{x?
x1?
x2?
xn?
0,xi?
R}是一个向量空间。
⒉填空题
⑴齐次线性方程组A4?
3X3?
1?
0有非零解的充要条件是__R?
3
?
x1?
x2?
?
a1?
x?
x?
a?
232
⑵若线性方程组?
有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足的条件是
?
x3?
x4?
?
a3?
?
x4?
x1?
a4
a1?
a2?
a3?
a4?
0
?
12?
2
⑶设三阶矩阵A?
?
212?
，三维列向量?
?
T，已知A?
与?
线性相
?
304
关，
则a?
?
1
⑷若?
?
能由?
1?
?
2?
?
3?
唯一线性表示，则
k满足条件k?
0且k?
?
3
⑸设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n?
1，则线性方程组Ax?
0
的通解为。
⑹由向量组?
1?
T,?
2?
T,?
3?
T,?
4?
T生成的向量空间的维数为。
⒊计算题
?
?
x1?
x2?
x3?
1
?
⑴?
取何值时，方程组?
x1?
?
x2?
x3?
?
有唯一解，无解或有无穷多解？
在有无
?
x?
x?
?
x?
?
23?
1
穷多解时求解。
解：
对此线性方程组的增广矩阵进行初等行变换可得
?
?
11?
1?
?
11r1?
r31?
?
1B?
?
Ab1?
?
1
1111?
1?
?
111?
?
1r2?
r1
r3?
?
r1r3?
r20?
?
1?
100?
?
1?
10
22
10?
?
21?
?
2?
01?
?
10
?
所以当?
?
0,?
1时，R?
R?
3线性方程组有唯一解。
当?
?
0时，R?
2?
3?
R线性方程组无解。
当1时，R?
R?
2?
3线性方程组有无穷多解。
若
?
?
1
，
?
111?
1?
?
110?
1?
001?
0?
rr
B?
?
Ab00?
2?
0
00?
2?
0000?
0?
?
，解为
?
x11?
?
1?
?
x?
?
c?
102?
1x300?
?
?
11?
1?
?
1?
?
10?
1?
?
1?
010?
0?
，解为rr
?
?
0?
20?
0?
若?
?
1，B?
?
Ab000?
0000?
0x1?
?
11?
?
x?
?
c?
00?
。
?
2?
2x310?
?
⑵已知?
1,?
2,?
3线性无关，若?
1?
2?
2,2?
2?
a?
3,3?
3?
2?
1线性相关，求a的值。
解：
由题意知存在不全为0的k1,k2,k3，使得
k1?
k2?
k3?
0，整理得?
1?
?
2?
?
3?
0
?
k1?
2k3?
0
?
因为?
1,?
2,?
3线性无关，从而有齐次线性方程组?
2k1?
2k2?
0
?
ak?
3k?
0
3?
2
由k1,k2,k3不全为0知方程组有非零解，则系数行列式必为0?
a?
?
3
2
⑶设向量?
1,?
2,?
?
t是齐次方程组Ax?
0的一个基础解系，向量?
不是方程组
Ax?
0的解，即A?
?
0。
试证明：
向量组?
1,2,?
t线性无关。
解：
设有一组数k,k1,?
kt，使得
k?
?
k1kt?
0
整理该式得?
?
k1?
1kt?
t?
0①用A左乘上式两边，注意A?
i?
0，故有A?
?
0因为A?
?
0?
k?
k1kt?
0②
将②代回①式，得到k1?
1kt?
t?
0，因为?
1,?
?
t线性无关，故必有
k1kt?
0，再由②式，可得k?
k1kt?
0
⑷已知向量组?
1?
T,?
2?
T,?
3?
T与向量组?
1?
T，
?
2?
T,
?
3?
T具有相同的秩，且?
3可由?
1,?
2,?
3线性表示，求a,b的值。
解：
对矩阵?
?
1,?
2,?
3?
做初等行变换
?
139?
?
139
?
206012?
，所以R?
?
1,?
2,?
3?
?
2，且?
1,?
2是一个极大无关组?
?
31?
7?
?
000
又因为R?
?
1,?
2,?
3?
?
R?
?
1,?
2,?
3?
，所以1
ab
21?
0?
a?
3b
?
110
另一方面，
?
3可由?
1,?
2,?
3线性表示，所以?
3可由?
1,?
2线性表示，即
13b
201?
0?
b?
?
310
?
x1?
x2?
0
⑸设4元齐次线性方程组为?
，又已知某齐次线性方程组
x?
x?
04?
2
的通解为k1T?
k2T。
求：
①方程组的基础解系；②方程组和是否有非零公共解？
若有则求出所有的非零公共解。
?
1100?
①Ⅰ的系数矩阵为A010?
1?
?
，R?
2
?
?
故Ⅰ的基础解系含有4?
2?
2个解向量，可取为和②Ⅱ的通解为x1?
?
k2,x2?
k1?
2k2,x3?
k1?
2k2,x4?
k2，代入Ⅰ可得
线性代数测试题
一、选择题1.设A.
A,B为n阶方阵，满足等式AB?
0，则必有
A?
0或B?
0；B.A?
B?
0；C.A?
0或B?
0；D.A?
B?
0.
2.四阶行列式
a1
00b4
0a2b300b2a30
b100a4
的值等于A.
a1a2a3a4?
b1b2b3b4
；
B.；C.a1a2a3a4?
b1b2b3b4；D..
等于A.3
n
A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A?
2，则3A*
n?
1
2n?
1；
B.3?
2
3n
；C.
2
；D.3?
2
n?
2
.
4.设B.
A是n阶方阵，且A=0，则A.A中必有两行的元素对应成比例；
A中任意一行向量是其余各行向量的线性组合；C.A中必有一行向量是其余各行向量
A中至少有一行向量的元素为0.
的线性组合；D.
5.设
A为m?
n矩阵，齐次线性方程组Ax?
0仅有零解的充分必要条件是A.A的列向量组线
A的列向量组线性相关；C.A的行向量组线性无关；D.A的行向量组线性相关.
分）1.设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且A?
a,B?
b,C
性无关；B.
二、填空题1.计算行列式
33244212333431243444
.
?
301
ABAB?
A?
2BA?
1102.设矩阵和满足关系式，其中?
?
.求矩阵B.
?
014
3.已知a1
?
T,a2?
T求：
与a1,a2都正交的向量；与a1,a2等价
A
的特征值是1，2，3，矩阵
的规范正交向量组..设三阶实对称矩阵
A
的属于特征值1,2的特征向量分别是
a1?
T,a2?
T求A的属于特征值3的特征向量；求矩阵A.
5.设
线性代数测试题答案
一、选择题1.C；.D；.A；.C；.A.二、填空题
A是对称矩阵，B是反对称矩阵，试证明：
A2?
B2是对称矩阵.
?
0
ab；.?
1.
?
A?
1?
mnB?
1?
111
?
；.abc?
0；.－1；5.1.
2340?
?
三、计算证明题
1．解：
第2行提取公因子2，第3行提取公因子3，第4行提取公因子4，再利用范德蒙行列式的结果得:
11222332442123
.＝4！
*3！
*2！
3
343
1
01
12
?
1
2．解：
由题设
AB?
A?
2B,得B?
A，因为A?
2E?
1?
10?
?
1?
0
所以
A?
2E
可逆，且
?
101?
?
3011
B?
A?
?
1?
10?
?
110?
?
012?
?
014
?
2?
1?
1?
?
301?
?
5?
2?
2?
?
?
2?
2?
1?
?
1104?
3?
2?
.?
?
111?
301422?
3．解：
设向量?
＝
解：
用施密特正交化公式，取?
1
所以与a1，a2都正交的向量是
?
a1?
T
?
2?
a2?
7
?
1?
a2?
a1?
a2?
a1?
T
7
于是?
1,?
2是与a1,a2等价的正交向量组..解：
由于
A是实对称矩阵，所以它的不同特征值对应的特征向量正交.
设
A
属于特征值3的特征向量为
a?
T
，则
a1a?
0,a2a?
0
.故
TT
即
?
－x1?
x2?
x3?
0
解之，得基础解系为T?
?
x1?
2x2?
x3?
0
向量为
A的属于特征值3的全部特征
kT
，其中k是不为零的任意常数.
?
?
111?
?
1001
取P1?
20?
，由PAP?
?
020?
有
?
1?
11?
?
003
?
1001
A?
P?
020?
P
?
003
5.证：
T?
ATAT?
BTBT?
2?
2?
A2?
2?
A2?
B2
即
A2?
B2为对称矩阵.
线性代数习题及参考答案3
单项选择题
1.
答案：
B
2.设m×n矩阵A的秩为m，则___。
C、对于任一m维列向量b，矩阵[Ab]的秩都为m
3.设α1,α2,α3是方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也可作为方程组Ax=0的基础解系的是___。
D、α1+α2,α1-α2,α3
?
100210001?
?
则用P左乘A，相当于将A___。
A、第1行的4.设A为3阶矩阵,P=?
2倍加到第2行
?
x1?
2x2?
3x3?
0?
?
x+x?
x4=05.齐次线性方程组?
23的基础解系所含解向量的个数为___。
B、2
6.设4阶矩阵A的秩为3，?
1，?
2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，c为任意常数，则该方程组的通解为___。
A、?
1?
c?
1?
?
2
2
7.已知4阶方阵A的行列式det=0，则A中___。
C、必有一列向量是其余列向量的线性组合
8.n元齐次线性方程组Ax=0存在非零解的充要条件是___。
C、A的列线性相关
9.n阶方阵A有n个互不相同的特征值是A与对角矩阵相似的___。
B、充分非必要条件
判断题
1.如果Rn中两向量x,y满足||x+y||2=||x||2+||y||2，则x与y是正交的。
答案：
正确
2.设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，又β1=α1+α2+α3,β2=α2-α3,β3=α2+α3，则β1,β2,β3也也是Ax=0的一个基础解系。
答案：
正确
3.若f=x12+tx22-4x1x2正定，则实数t的取值范围是t＞4。
答案：
正确
4.向量组α1=,α2=,α3=线性无关。
答案：
错误
5.设β1=α1,β2=α1+α2,…,βm=α1+α2+…+αm，则向量组α1,…,αm与向量组β1,…,βm等价。
答案：
正确
6.向量空间V的任何两个基所含向量个数都相同。
答案：
正确
7.若A为不可逆方阵，则A必有一个特征值为0.答案：
正确
8.若可逆方阵A有一个特征值为2，则方阵-1必有一个特征值为0.75.答案：
正确
填空题
1.设A为3阶矩阵，且|A|=6，若A的一个特征值为2，则A*必有一个特征值为_________。
答案：
3
222x?
x?
3x1231232.二次型f=的正惯性指数为_________。
答案：
2
计算题
已知
答案：
?
?
T?
3?
An?
?
?
T?
?
?
Tn?
1?
?
?
1
?
1?
11?
n?
1Tn?
1332?
?
2?
3?
233?
11?
23?
2?
?
13?
?
31?
2?
β?
23?
设A?
?
T?
?
求A及An.。
解答题
?
2?
112是否可对角化？
若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。
A?
判断矩阵
答案：
由|?
E?
A|2
11?
2?
1?
?
2=0，
得A的特征值?
1?
1，?
2?
3。
（E?
A）X?
O对?
1?
1，解方程组，得其一个基础解系1?
?
11?
；
?
1?
?
21（3E?
A）X?
O?
?
3?
?
；对，解方程组，得其一个基础解系
因为矩阵A有两个线性无关的特征向量，所以A可相似对角化．
?
1?
1?
?
10?
P11?
，则P?
1AP=?
=?
03?
。
取
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