高中数学《课堂讲义》湘教版必修一 专题1集合与函数 113.docx

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高中数学《课堂讲义》湘教版必修一专题1集合与函数113

1.1.3　集合的交与并

[学习目标]　1.能说出两个集合的交集与并集的含义.2.会求两个集合的交集、并集.3.能记住充分条件、必要条件、充要条件的定义.4.会判断充分条件、必要条件、充要条件.5.知道什么是维恩（Venn）图．

[知识链接]

下列说法中，不正确的有________：

①集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,3,4,5}；

②通知班长或团支书到政教处开会时，班长和团支书可以同时参加；

③集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的公共元素组成的集合为{3}．

答案　①②

[预习导引]

1．维恩（Venn）图

用来表示集合关系和运算的图，叫维恩（Venn）图．

2．并集与交集的概念

知识点

自然语言描述

符号语言表示

Venn图表示

交集

在数学里，把所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A，B的交集

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集

把集合A，B中的元素放在一起组成的集合，叫作A和B的并集

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

3.交集与并集的运算性质

交集的运算性质

并集的运算性质

A∩B＝B∩A

A∪B＝B∪A

A∩A＝A

A∪A＝A

A∩∅＝∅

A∪∅＝A

4.集合与推理

一般来说，甲⇒乙，称甲是乙的充分条件，也称乙是甲的必要条件．如果既有甲⇒乙，又有乙⇒甲，就说甲是乙的充分必要条件，简称充要条件．

要点一　集合并集的简单运算

例1　

（1）设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于（　　）

A．{3,4,5,6,7,8}　　　　B．{5,8}

C．{3,5,7,8}D．{4,5,6,8}

（2）已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于（　　）

A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1≤x≤4}

C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}

答案　

（1）A　

（2）C

解析　

（1）由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．

（2）在数轴上表示两个集合，如图．

规律方法　解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点值不在集合中时，应用“空心点”表示．

跟踪演练1　

（1）已知集合A＝{x|（x－1）（x＋2）＝0}，B＝{x|（x＋2）（x－3）＝0}，则集合A∪B是（　　）

A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}

C．{1，－2,3}D．{1，－2，－3}

（2）若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝　　　　.

答案　

（1）C　

（2）{x|x＜－5，或x＞－3}

解析　

（1）A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，

∴A∪B＝{1，－2,3}．

（2）将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来．

∴M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．

要点二　集合交集的简单运算

例2　

（1）已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于（　　）

A．{2}B．{4}

C．{0,2,4,6,8,16}D．{2,4}

（2）设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于（　　）

A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}

答案　

（1）D　

（2）A

解析　

（1）观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}．

（2）在数轴上表示出集合A与B，如下图．

则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．

规律方法　1.求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似．

2．当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合．

跟踪演练2　已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥

}，求A∩B.

解　∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥

}，

把集合A与B表示在数轴上，如图．

∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x≤0，或x≥

}

＝{x|－1＜x≤0，或

≤x≤3}．

要点三　已知集合交集、并集求参数

例3　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．

解　由A∩B＝∅，

（1）若A＝∅，有2a＞a＋3，∴a＞3.

（2）若A≠∅，如下图：

∴

解得－

≤a≤2.

综上所述，a的取值范围是{a|－

≤a≤2，或a＞3}．

规律方法　1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．

2．建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到．最好是把端点值代入题目验证．

跟踪演练3　设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求实数a的取值范围．

解　如下图所示，

由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.

故a的取值范围是{a|1＜a≤3}

要点四　集合与推理

例4　指出下列各题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”中选出一种）．

（1）p：

数a能被6整除，q：

数a能被3整除；

（2）p：

x＞1，q：

x2＞1；

（3）p：

△ABC有两个角相等，q：

△ABC是正三角形；

（4）p：

x2＋2x＋1＝0，q：

x＝－1.

解　

（1）p⇒q，但q⇏p，所以p是q的充分而不必要条件；

（2）方法一　p⇒q，但q⇏p，所以p是q的充分而不必要条件；

方法二　p对应的集合A＝{x|x＞1}，q对应的集合B＝{x|x2＞1}＝{x|x＞1，或x＜－1}，由于AB，所以p是q的充分而不必要条件．

（3）p⇏q，但q⇒p，所以p是q的必要而不充分条件．

（4）方法一　p⇒q且q⇒p，所以p是q的充要条件．

方法二　p对应的集合A＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，q对应的集合B＝{－1}，而A＝B，所以p是q的充要条件．

规律方法　1.判断p是q的什么条件，实质是判断两个推出是否成立．若p⇒q但q⇏p，则p是q的充分而不必要条件；若p⇏q，但q⇒p，则p是q的必要而不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件．

2．我们还可以从集合的观点去认识充分必要条件．若命题p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可借助集合知识来判断：

（p：

A＝{x|p（x）}，q：

B＝{x|q（x）}）

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分而不必要条件，如图①.

（2）若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要而不充分条件，如图②.

（3）若A＝B，则p，q互为充要条件，如图③.

跟踪演练4　用“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”填空：

（1）“a＋b＜0且ab＞0”是“a＜0且b＜0”的　　　　；

（2）“a＝2”是“a2－2a＝0”的　　　　　　　　；

（3）“三角形的三条边相等”是“三角形的三个内角相等”的　　　　.

答案　

（1）充要条件　

（2）充分而不必要条件　（3）充要条件

1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于（　　）

A．{0,1,2,3,4}　　　　　B．{1,2,3,4}

C．{1,2}D．{0}

答案　A

解析　集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素．故选A.

2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{2}B．{3}

C．{－3,2}D．{－2,3}

答案　A

解析　注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．

3．集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于（　　）

A．{1,2}B．{0,1,2}

C．{x|0≤x＜3}D．{x|0≤x≤3}

答案　B

解析　由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，

故P∩M＝{0,1,2}．

4．已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－

＜x＜

}，则（　　）

A．A∩B＝∅B．A∪B＝R

C．B⊆AD．A⊆B

答案　B

解析　∵A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－

＜x＜

}，

∴A∩B＝{x|－

＜x＜0，或2＜x＜

}，A∪B＝R.故选B.

5．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为　　　　.

答案　{k|k≤6}

解析　因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－

}，

且M∩N≠∅，所以－

≥－3⇒k≤6.

1.对并集、交集概念的理解

（1）对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：

x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．

（2）A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.

2．集合的交、并运算中的注意事项

（1）对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．

（2）对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．

一、基础达标

1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于（　　）

A．{x|x≥－1}　　　　　　B．{x|x≤2}

C．{x|0＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}

答案　A

解析　结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．

2．已知集合M＝{x|（x－1）2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于（　　）

A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}

答案　A

解析　集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.

3．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于（　　）

A．{0}B．{0,2}

C．{－2.0}D．{－2,0,2}

答案　D

解析　集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.

4．“x＞2”是“x2＞1”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．以上都不对

答案　A

解析　由x＞2一定可推得x2＞1，但由x2＞1不一定可推得x＞2，所以“x＞2”是“x2＞1”的充分而不必要条件．

5．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是（　　）

A．t＜－3B．t≤－3

C．t＞3D．t≥3

答案　A

解析　B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t＜－3.

6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝　　　　.

答案　2

解析　∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，

∴a＝2.

7．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．

（1）求A∩B；

（2）若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．

解　

（1）∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．

（2）∵C＝{x|x＞－

}，B∪C＝C⇔B⊆C，

∴－

＜2，即a＞－4.

故a的取值范围是{a|a＞－4}．

二、能力提升

8．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为（　　）

A．0　　　　B．1C．2　　　　D．4

答案　D

解析　∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.

9已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则（　　）

A．－3≤m≤4B．－3＜m＜4

C．2＜m＜4D．2＜m≤4

答案　D

解析　∵A∪B＝A，∴B⊆A.又B≠∅，

∴

即2＜m≤4.

10．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤4}，C＝{x|－3＜x＜2}，且集合A∩（B∪C）＝{x|a≤x≤b}，则a＝　　　　，b＝　　　　.

答案　－1　2

解析　∵B∪C＝{x|－3＜x≤4}，∴A（B∪C）．

∴A∩（B∪C）＝A，

由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}．

∴a＝－1，b＝2.

11．已知集合S＝{x|1

B＝{x|3≤x<7}．

求：

（1）∁SA∩∁SB；

（2）∁S（A∪B）；（3）∁SA∪∁SB；（4）∁S（A∩B）．

解　如图所示，可得

A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，

∁SA＝{x|1

∁SB＝{x|1

由此可得：

（1）∁SA∩∁SB＝{x|1

（2）∁S（A∪B）＝{x|1

（3）∁SA∪∁SB＝{x|1

＝{x|1

（4）∁S（A∩B）＝{x|1

＝{x|1

三、探究与创新

12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

解　∵A∪B＝A，∴B⊆A.

若B＝∅，2a＞a＋3，即a＞3；

若B≠∅，

解得：

－1≤a≤2，

综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2，或a＞3}．

13．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．

（1）当m＝－1时，求A∪B；

（2）若A⊆B，求实数m的取值范围；

（3）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．

解　

（1）当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}，

则A∪B＝{x|－2＜x＜3}．

（2）由A⊆B知，

得m≤－2，即实数m的取值范围为{m|m≤－2}．

（3）由A∩B＝∅得：

①当2m≥1－m即m≥

时，B＝∅，符合题意；

②当2m＜1－m即m＜

时，需

或

得0≤m＜

或∅，即0≤m＜

.

综上知m≥0，

即实数m的取值范围为{m|m≥0}．