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粘弹性
粘弹性功能梯度有限元法
摘要：
有效离散的问题域的能力，使一个有吸引力的仿真技术的有限元方法造型复杂的边界值问题，如沥青混凝土路面材料非均匀性。
专门“分级元素”已被证明是提供高效，准确的功能梯度材料的模拟工具。
以前的研究一直局限于功能梯度材料数值模拟弹性材料的行为。
因此，当前的工作重点是对功能梯度材料的粘弹性材料有限元分析。
在执行分析，使用弹性-粘弹性对应原理，和粘弹性材料的级配占内的元素广义ISO参数化配方。
本文强调粘弹性沥青混凝土路面和几个例子的行为，包括核查问题领域的大规模应用，提交证明本办法的特点。
DOI:
10.1061/_ASCE_MT.1943-5533.0000006
CE数据库标题：
粘弹性;沥青路面混凝土路面;有限元方法。
关键词：
粘弹性功能梯度材料，沥青路面，有限元法;通信原则。
概况
功能梯度材料（FGMs_）的特点是空间创建非均匀分布的各种微观结构巩固阶段将具有不同属性的大小和形状、，以及，通过转乘的加固作用和连续的方式（Suresh和莫滕森基质材料）。
他们通常被设计成产生财产渐变旨在优化下不同类型的结构响应加载条件（thermal，机械、电气、光学、etc）。
（Cavalcanteetal.2007）。
这些属性渐变是在生产几种方法，例如通过循序渐进的含量变化相对于另metallic），采用热的一个阶段ceramic障涂层，或通过使用数量足够多具有不同的属性（Miyamotoetal的构成阶段。
1999_可以根据定制设计器粘弹性FGMs（VFGMs）符合设计要求等作用下粘弹性柱轴向和热加载（Hilton2005）。
最近，Muliana（2009_）提出了黏弹性细观力学模型FGMs的行为。
除了设计或量身定制的功能梯度材料，几个土木工程材料的自然表现出梯度材料的性能。
席尔瓦等人。
（2006）已研究和仿真竹子，这是一个自然发生的梯度材料。
除了自然发生，各种材料和结构呈现非均质物质的分布和构成属性层次生产或建设的做法，老龄化的结果，不同金额暴露恶化代理商，等沥青混凝土路面是一个这样的例子，即老龄化和温度变化产量连续分级的非齐次构性质。
老化和温度引起的财产梯度已经有据可查的一些研究人员沥青路面1995年_garrick领域;米尔扎和witczak的1996年，2006年apeagyei;chiasson等。
2008_。
目前沥青路面粘弹性模拟状态限于要么忽视非均质财产梯度2002年_kim和buttlar;萨阿德等。
2006年，2006年BAEK和AL-卡迪;戴夫等。
，2007_或者他们考虑通过分层的方法，例如，在美国的关联模型国家公路和运输官员_aashto_机械经验路面设计指南_mepdg__araINC。
，EC。
2002_。
精度从使用的重大损失沥青路面层状弹性分析方法有被证明_buttlar等。
2006_。
广泛的研究已经进行了高效，准确地模拟功能梯度材料。
例如，cavalcante等人。
_2007_，张和保利诺_2007_，arciniega雷迪_2007_，歌曲和保利诺_2006_都报道功能梯度材料的有限元模拟。
然而，大多数的以前的研究一直局限于弹性材料行为。
一各种土木工程材料，如聚合物，沥青混凝土，水泥混凝土等，表现出显著的速率和历史影响。
这些类型的材料的精确模拟必须使用粘弹性本构模型。
1postdoctoral副研究员，DEPT。
土木与环境工程大学。
伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校，分校，IL61801_correspondingauthor_。
工程，系2donaldBIGGAR威利特教授。
公民权利和环境工程，大学。
在厄巴纳香槟分校，伊利诺伊州，IL61801。
3professor和narbey哈恰图良的教师学者，部。
民间
与环境工程，大学。
位于Urbana-Champaign的伊利诺斯州，分校，IL61801。
注意:
这个手稿于2009年4月17日完成，2009年10月15日提交了批准，2010年2月5日在线发表。
直到2011年6月1日，讨论期间打开，必须提交单独讨论个别文件。
本文是在民事部分的材料杂志
工程，第一卷。
23，没有。
1，2011年1月1日起，。
ASCE，ISSN0899-1561/2011/1-39-48/$25.00。
土木工程材料杂志©ASCE/2011年1月/39到2012年，下载0361.178.77.85。
再分配受ASCE许可证或版权。
访问http:
//www.ascelibrary.org当前工作提出有限元_fe_的制定专为粘弹性功能梯度材料的分析，特别是沥青混凝土。
Paulino和金_2001_探索elasticviscoelastic对应范围内的原则_cp_功能梯度材料。
在目前已使用制定基于CP-结合广义的ISO参数制定的研究_gif_金保利诺_2002_。
本文提出了有限元的制定，验证，和沥青的详情路面模拟的例子。
除了模拟沥青人行道，目前的做法也可以被用于其他工程系统表现出梯度的粘弹性分析行为。
这种系统的例子包括金属和在高温_billotte等金属复合材料。
二零零六年;koric和托马斯的2008_;聚合物和塑料的系统，经过氧化和/或紫外线硬化_hollaender等。
1995年海尔等。
1997_和分级纤维增强水泥混凝土结构。
分级粘弹性的其他应用领域分析包括精确的模拟接口层之间的接口，如粘弹性材料之间不同的沥青混凝土升降机或模拟的粘弹性胶层状复合材料的制造中使用的化合物_diab和吴2007_。
功能梯度粘弹性有限元方法
本节描述粘弹性分析的制定梯度功能使用铁框架的问题和弹性-粘弹性的CP。
这一节的初始部分建立了基本的粘弹性本构关系和CP。
随后一节提供了铁配方使用GIF。
粘弹性本构关系
粘弹性材料的基本的应力关系由一些其他作家希尔顿（1964）和克里斯滕森（1982）已提出。
结构性关系为quasi-static，给线性黏弹性各向同性的材料如下所示：
第一个公式
G和K=剪切和散装松弛模量的;_ij=克罗内克δ;T_=积分变量。
标_i，J，K，L=1,2,3_遵循
爱因斯坦求和约定。
时间缩短_有关通过时间-温度叠加实时t和温度T原则
第二个公式
在准静态条件下的非均质粘弹性体，承担与位移的用户界面上的边界值问题体积_U，牵引PI表面__和身体力量音响，平衡和应变位移关系_for小变形如式（3）所示。
第三个公式
其中，UI=位移和_•，J=_•_/_xj。
CP到功能梯度材料及其应用
CP允许容易获得粘弹性的解决方案到现有的弹性解决方案，如简单的替换，梁在弯曲等概念之间的等价转化粘弹性边界值问题可以在读_1950_发现。
这项技术被广泛应用于研究人员分析各种非均质粘弹性问题，包括但不限于梁理论_hilton和piechocki1962_，有限元分析_hilton易1993_和边界元分析_sladek等。
2006_。
CP可以更清楚地解释手段的一个例子。
一个简单的一维_1d_问题，stressstrain
粘弹性材料的关系卷积积分式。
_4_。
第四个公式
如果其中一个兴趣解决应力和材料属性强加的应变条件是众所周知的使用elasticviscoelastic对应原理卷积积分可以减少使用积分变换的下列关系到如拉普拉斯变换中：
第五个公式
注意到上述功能的形式是类似的弹性的问题，从而可弹性解析解问题，可直接应用于粘弹性问题。
“变换应力量，_s_与知名电子解决_s_〜__s_。
逆变换的_〜_s_提供压力__T_。
慕克吉和保利诺_2003_经证明限制在使用功能的情况下对应原理分级_andnonhomogenous_粘弹性边界值问题。
他们的工作建立在功能的限制本构特性的成功和适当的形式CP的使用。
使用对应的原则，得到拉普拉斯变换应力应变关系式中的描述如公式一所示。
第六个公式
其中s=转型变量和上面的符号颚化符___变量的代表，改变了变量。
拉普拉斯由给任何函数f_t_变换
第七个公式
公式三为边界值问题的形式转变为，
第八个公式
其中上标d表示偏的组件数量。
请注意，转换后的平衡方程的非齐次粘弹性问题具有相同的形式作为弹性非齐次边界值问题。
这形成了基础使用基于CP-有限元解决分级粘弹性问题如沥青混凝土路面。
铁的基本框架求解弹性力学问题，可以很容易地通过使用CP，这使它成为有吸引力的替代比更多地参与时间积分计划。
然而，请注意，由于CP的问题不适用，涉及使用时间-温度叠加原理，目前的分析适用于与nontransient热条件的问题。
在路面分析的背景下，这使得目前的程序适用于模拟交通_tire_负载条件对于给定的老龄化水平。
目前的做法是不是非常适合热裂解模拟，这需要不断的模拟
变化和不均匀的温度条件。
铁配方
准静态的线性粘弹性材料的变分原理等温条件下，可以发现在位移型Gurtin_1963_。
泰勒等。
_1970_延长热黏弹性边界值问题。
第九个公式
凡_u=卷的身体；__=表面上哪面力Pi订明；用户界面=位移；Cijkl=相关的时间和空间
材料本构性能；_ij=机械株和_ij_=热株；_ijkl的同时减少了的时间与相关的实时t=和时间-温度叠加原理通过温度T式_2_。
第一变异为FE公式化提供依据。
第十个公式
元素位移矢量UI与节点位移通过形状自由QJ度功能NIJ
第十一个公式
用户界面元素位移向量被有关节点位移通过形状功能新贝自由度qjui_x，t_=Nij_x_qj_t__11_
分化的公式_11_收益率应变的关系_i和节点位移气通过形函数的导数Bij
第十二个公式
等式。
10_和_12_提供每个有限的平衡的方程元素
第十三个公式
凡kij=单元刚度矩阵；fi=机械力向量；和fith=热力的载体，如下所述：
公式14
公式15
公式16、
公式17
凡_系数的热膨胀系数和T==温度更改初始的条件。
对程序集的单个有限元贡献给定的问题域，可以是全球平衡方程作为获得
公式18
其中kij=全球刚度矩阵;UI=全球位移矢量;和FI和FITH=全球机械和热力矢量分别。
解决问题需要解决的卷积如上图所示，以确定节点位移。
希尔顿和义_1993_使用CP-为基础的程序实施铁的制定。
然而，以往的研究努力限制使用传统的有限元，而在目前的纸张梯度有限元素已被用于以高效，准确地捕捉材料nonhomogeneities的影响。
渐变元素有效益比传统的在模拟非均匀各向同性背景和元素_paulino和金2007_各向异性材料。
金及保利诺_2002_提出的gif分级元素，其中的组成材料的性能，在每一个结点和采样插回高斯正交分_gaussian一体化points_使用等参形状功能。
这种类型的制定允许捕捉材料nonhomogeneities不像是同质的传统元素的元素范围内在自然界。
材料的性能，如下公式所示：
公式19
其中ni=形状的功能;GI=剪切模量对应节点i和m=元素结点的数量。
一系列的梯度元素弱修补程序测试已以前建立的_Paulino和金2007_。
这项工作证明存在的两个尺度：
_1_长度规模相关联与元素大小和_2_长度规模与关联材料非均匀。
这两个尺度考虑是为了确保收敛性是必要的。
其他用途的分级在FGMs中的元素包括应力强度因素的评价模式下我热机械加载_Waltersetal.2004_，和梯度的梁_Zhang及2007_·保利诺，动态分析这也说明了使用模拟的梯度的元素不同材料层之间的接口。
在最近的研究_Silvaetal.2007_梯度元素可以扩展多物理应用程序。
使用弹性，粘弹性CP，功能梯度材料的粘弹性可以推断，有一个功能有限元问题形成类似的弹性问题。
拉普拉斯变换全球平衡式所示_18_如下：
公式20
拉普拉斯变换的遗传性的积分_Eq。
_18__的通知这导致关系代数_Eq。
_23__，主要的好处是
使用CP直接集成作为解决遗传性积分将有显著的计算成本。
如先前所述部分中，粘弹性对应原理的适用性FGMs功能的窗体上的限制本构模型。
使用此知识，它有可能进一步铁配方定制的广义Maxwell模型。
广义Maxwell模型材料的本构特性定为_
公式21
其中_cij_h=弹性贡献_springcoefficients_;_ij_h从麦克斯韦个别单位，常用的粘性贡献被称为弛豫时间;及麦克斯韦单元n_number的。
图1说明了简化的广义Maxwell1D形式模型表示式。
_21_。
注意到，广义Maxwell模型本文讨论如下的建议慕克吉和保利诺_2003_为确保成功对应原理。
广义Maxwell模型，整体刚度矩阵该系统的k可以改写为
公式22
其中kij0=刚度矩阵和克拉=时间弹性的贡献依赖部分使用等式_20_和_22_，可以归纳为问题
公式23
铁实施
上一节中所述的铁制定实施了应用于二维平面和轴对称存在的问题。
本节提供了执行情况的详细信息
为选定的简要描述法沿配方的从拉普拉斯域数值反演在时间域。
执行是在商业上可用编码Matlab软件。
共代码分析实施进入如图2所示的五个主要步骤。
第一步是非常相似的时间有限元方法依赖非齐次的问题，即当地的贡献从组装各种元素，以获得力系统的载体和刚度矩阵。
注意到，由于随时间变化的性质，数量评估的问题整个持续时间分析。
下一步就是改造从时间域的拉普拉斯域的数量。
广义Maxwell模型，拉普拉斯变换随时间变化的刚度矩阵，KT，部分可以直接_andexactly_确定使用变换分析给出
公式24
拉普拉斯变换的数量以外的刚度矩阵可以可使用该梯形的规则，假定评估的数量是分段线性函数的时间。
因此，对于某一给定时间从属函数F_t_，F˜_s_的拉普拉斯变换估计作为
公式25
其中t=时间增量，N=总人数的增量;F=在函数f为给定的增量改变。
一旦数量计算变换域线性方程组求解，以确定解决方案，在这种情况下产生的节点位移变换域，U〜_s_。
逆变换提供了在时域问题的解决方案。
应当指出，
图1.广义的麦克斯韦模型
图2.有限元分析程序的轮廓
公式化并且它的实施是相对地平直的使用对应原理基于被变换的方法批转当与数字解决卷积时比较缺一不可。
拉普拉斯变换在更重要的是目前的问题是不适定问题，由于没有一个在假想平面的功能描述。
全面
各种数值反演技术已经比较以前提交1983__beskos和纳拉亚南。
在当前研究中，搭配方法_schapery1962年schapery1965_使用上的建议的基础上，从以往的工作_beskos和纳拉亚南1983年，易1992_。
目前实施的数值逆变换较准确的反演使用广义Maxwell模型_c.f.式_21__作为测试功能。
结果，显示在图3，比较确切的分析与数值反演反演结果。
数值反演进行使用20和100个配置点。
20个配置点，在数值估计的平均相对误差为2.7％，而数值估计接近100个配置点，确切的反转。
验证示例
为了验证目前的提法与实现，进行了一系列的论证。
核查被分割分为两个类别：
_1_核查的实施捕获材料非均匀和_2_GIF元素的捕获制订的粘弹性部分的验证时间和历史的依赖物质反应。
梯度元素的验证
一系列的分析被执行以验证执行梯度的元素。
为进行了核查固定的抱、拉伸和弯曲_moment_加载条件。
"材料属性被假定为弹性与指数空间变化。
数值结果作了比较准确在文学_Kim和保利诺·中可用的解析解2002_。
加载加载，拉伸的固定抱比较的结果，和执行弯曲了。
所有三例的结果显示与解析解验证非常接近的匹配GIF实施分级的元素。
比较弯曲情况载于图4。
粘弹性分析的验证
执行对应的验证结果基于原则功能梯度的粘弹性分析了提供和执行。
第一次验证示例表示功能梯度的粘弹性杆蠕变变形术根据恒定的负载。
为进行分析麦克斯韦的模型。
图5比较分析和数值此验证问题的结果。
解析解Mukherjee和保利诺·2003_被用于这种分析。
它可以数值结果是很好的协议中观察到分析性的解决方案。
第二个验证示例被模拟固定抱条形图呈指数级配的粘弹性的加载。
数值结果是可用的解析解与比较。
图3.使用配置法的数值拉普拉斯反演
图4。
比较确切_line_和数值解_circular的为FGM杆_insert的弯曲markers_说明边界随着材料gradation_价值问题
图5。
比较精确的数值解的蠕变粘弹性栏，穆克吉和保利诺·2003_FGM粘弹性。
图6为此验证的解析和数值结果的比较问题。
图7。
分级粘弹性梁的配置问题
作为功能的时间，结果的通知与此边值问题中的应力在y方向是恒定的宽度超过栏。
优秀数值之间的协议
结果和分析解决方案进一步验证真实性粘弹性的梯度铁制订本协议派生和其成功实施。
应用实例
在本节中，两套仿真实例采用分级本文所讨论的粘弹性分析计划。
第一个例子是一个简单的支持功能梯度
粘弹性梁在三点弯曲配置。
为了证明梯度分析方法，比较利益与分析，进行商业使用可用软件_abaqus_。
的情况下，ABAQUS模拟，物质层次的近似使用分层方法不同的精细化水平。
第二个例子是一个传统的沥青混凝土路面加载卡车轮胎。
结果进一步说明了好处使用更细的网格水平梯度分析方法,需要细化的分层方法开始衔接与分级方法。
结果还表明使用平均产量显著的性能的缺点贫穷时相比的结果分级和分层方法。
同时，值得注意的是，在分级的情况下，粘弹性问题，重要的是要考虑的结果超过完整的时间历程。
在当前的问题，其严重程度随着时间的物质层次提高。
这种效果是明显的结果，地方分级和分层之间的偏差接近随时间的增加。
表1。
针对不同的分析选项的网格属性
图8。
松弛模量梯度梁的顶部和底部
图9。
第五届梁跨度所示网格划分为各种模拟案件_1
传统沥青混凝土路面
沥青路面的仿真例子在本节说明分级粘铁的应用，分析过程。
还进行了模拟同样的问题，采用分层的方法，并从结果分层和分级方法进行了比较。
传统的沥青路面部分是模拟。
部分细节与FE滤网一起都显示图11。
假定路面要持久，因而沥青混凝土层作为分级的粘弹性材料模拟。
apeagyei等人。
_2006;2008_最近研究的影响沥青粘合剂和混合物的抗氧化剂治疗。
他们已经完成短期的粘弹性表征长期老化沥青混合料。
短期和长期老年apeagyei等性能。
2008年用于模拟在这个例子中老年沥青混凝土路面。
剪切要通过线性变松弛模量假设路面厚度，从一个长期的中年条件表面沥青底部短期中年条件混凝土层。
这说明图12。
体积弹性模量被认为是随时间变化。
在分层的情况下模拟，分为6层，沥青混凝土层每一层分配的平均性能。
模拟问题的边界条件图11。
外加荷载，适用于模拟一个40千牛_9，000与700千帕林俊杰_100psi_压力lb_轮胎。
接触压力假设为垂直方向_no水平loading_的。
“沥青混凝土温度被认为是统一的，通过厚度值-10°C。
沥青混凝土路面，案件中强调在水平方向往往是路面工程师，作为他们感兴趣的是采取作为在低临界响应参数和中间温度。
常用链接这些压力疲劳路面开裂、是破坏性最大的之一路面损坏的机制。
直接的水平应力轮胎负荷下进行分层和梯度的粘弹性比较方法。
结果显示在图13在应力加载100·通知，为了夸大的时间分层和分级办法，节点之间的差异讲有个别梯度的方法，而为分层的方法，结讲的平均中分层时尚。
因此，在层接口都发现了不连续性。
请注意，有趣的是拉应力的程度相对于附近的压缩应力相对较低表面。
这种趋势并不出人意料，老年的路面系统，作为材料表面更接近激烈，很，并因此累积更大的压力，而底部附近的unaged的材料是符合标准和展品更大程度的应力松弛。
总结，结论和未来方向
功能梯度材料的粘弹性铁配方的基础上对应已经提出的原则。
制定实施解决二维平面和轴对称问题。
“GIF已扩展为梯度_nonhomogeneous_粘弹性元素。
被选定为执行的搭配方法Laplace逆变换。
已经实施核实案件，以及涉及材料nonhomogeneous粘弹性的影响。
提出了两个应用实例。
第一个例子提供了一个等级之间的比较，平均均匀分层方法。
同时，预测之间的比较使用目前的做法，对那些由商业提供可用的软件。
第二个例子是提供了一个中年配沥青混凝土的反应路面系统。
从这项研究的结果，得出以下结论的基础上可以得出：
1。
为解决非均质粘弹性的铁框架问题是非常类似的非均质弹性问题开发时使用基于CP-配方。
图10。
标准化的跨度偏转光束
图11。
路面部分和FE模拟示例
2。
分级粘弹性分析，提出本产量显著分层分析，但与准确性利益相同的计算成本。
一个更精确的结果
粗网格利用梯度粘弹性的做法，这将是更大的模拟特别的好处，尤其是当的方法扩展到三维。
3。
在第二层接口的响应预测是不现实的采用层次分析方法对非齐次时，粘弹性问题。
梯度分析中的应用
技术绕过这个问题。
这是特别感兴趣当试图模拟接口之间的条件沥青层。
4。
粘弹性的分级系统，从分层的预测系统可能会施加不同程度的误差时间。
这使得它很难预测的错误程度分层近似，从而进一步加强利益使用分级的粘弹性分析程序，如一个开发本。
这项研究，以下的未来方向的过程中确定：
1.这里开发的技术应扩展至3D分析。
这是特别重要的是获得现实从复杂和联合轮胎荷载的路面响应。
2.研究现状应申请逼真的模拟层接口条件。
分级的影响路面性能预测上的接口应该是研究。
3。
目前的分析技术应该被用来评估各种老化的沥青路面和覆盖系统，并研究路面的困扰，如热，反射和
自上而下开裂。
4。
目前的分析过程，应与沥青老化模型来研究沥青的性能变化在使用寿命期间的路面。
5。
本文提出的方法，应结合使用全面的实地研究，以验证其好处超过目前可用的分层分析和设计方法。
6。
本配方适用于静态的温度由于通信不适用的条件原则问题，涉及的时间温度叠加原则。
其他技术，如时间积分配方，应研究开发的技术能力模拟瞬态和不均匀的温度条件。
图12。
松弛模量随深度和时间的沥青混凝土种类
图13。
在水平方向上的应力的_x-direction_直属轮胎负荷
鸣谢
我们对支持是感恩的从美国部门运输的_USDOT_NexTrans研究中心。
其中任一此中表达的观点是那些作家并且不必要反射观点的主办者。
我们也会想要感谢女士SofieLeon为她的帮助在此的准备原稿。
引用
Apeagyei，A.K._2006_。
"抗氧化剂治疗的沥青粘合剂和混合物"。
美国伊利诺伊大学厄本那-香槟分校，厄巴纳，博士论文，伊利诺伊州
Apeagyei，A.K.，布特拉尔W.G.和登普西B.J._2008_。
"调查开裂的抗氧化改性沥青混合料的行为"。
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民主党众议员项目号协作国家公路合作研究计划，最后，民主党众议员1–37A华盛顿哥伦比亚特区
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作用的调查钢增强夹层在减速反射性崩裂在热
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