又问上式何时等号成立。
6.三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。
在p上任意取三个点A',B',C'，A'',B'',C''设分别是边AA',BB',CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。
问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么
第4届IMO
1.找出具有下列各性质的最小正整数n：
它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。
2.试找出满足下列不等式的所有实数x：
√（3-x）-√（x+1）>1/2.
3.正方体ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。
一点x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。
点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。
求线断XY的中点的轨迹。
4.解方程cos2x+cos22x+cos23x=1。
5.在圆K上有三个不同的点A、B、C。
试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。
6.一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的圆心的距离是√（R（R-2r））。
7.求证：
正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；
反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。
第5届IMO
1.找出下列方程的所有实数根（其中p是实参数）：
√（x2-p）+2√（x2-1）=x.
2.给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。
3.在一个n边形中，所有内角都相等，边长依次是
a1>=a2>=...>=an，
求证：
所有边长都相等。
4.设y是一个参数，试找出方程组xi+xi+2=yxi+1（i=1,...,5）的所有解x1,...,x5。
5.求证
cospi/7-cos2pi/7+cos3pi/7=1/2.
6.五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。
但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）中的任何一种）。
还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。
实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。
试讨论最后的名次如何
第6届IMO
1.（a）求所有正整数n使得2n-1能被7整除；
（b）求证不存在正整数n使得2n+1能被7整除。
2.假设a、b、c是某三角形的三边长，求证：
a2（b+c-a）+b2（c+a-b）+c2（a+b-c）<=3abc.
3.三角形ABC的三边长为别为a、b、c。
分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a,b,c表示）。
4.十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。
在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：
这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。
5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。
6.四面体ABCD的中心是D0，分别过A、B、C作DD0的平行线，这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点A0、B0、C0，求证：
ABCD的体积是A0B0C0D0的三分之一；再问如果D0为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立
第7届IMO
1.试找出所有位于区间[0,2pi]的x使其满足
2cosx≤|√（1+sin2x）-√（1-sin2x）|≤√2.
2.如下方程组的系数aij，
a11x1+a12x2+a13x3=0
a21x1+a22x2+a23x3=0
a31x1+a32x2+a33x3=0
满足：
a.a11、a22、a33是正数，其余是负数；
b.每个方程中的系数之和是正的。
求证：
该方程组的有唯一的解x1=x2=x3=0。
3.四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分，并且该平面到AB边的距离是该平面到CD边距离的k倍。
试求出这两部分的体积比。
4.四个实数，它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2，求出这四个数的所有可能值。
5.三角形OAB中的角O是锐角，M是边AB上任意一点，从M向OA、OB边引垂线，垂足分别为P、Q。
设三角形OPQ的垂心为，求出当M在AB边上移动时点H的轨迹；若M在三角形OAB内部移动是H的轨迹又是什么
6.平面上给定了n>2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：
长度为直径的线断至多有n条。
第8届IMO
1.在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。
在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。
又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。
请问有多少学生只答对B
2.三角形ABC，如果，
BC+AC=tanC/2（BCtanA+ACtanB）.
则该三角形为等腰三角形。
3.求证：
从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和。
4.对任何自然数n以及满足sin2nx不为0的实数x，求证：
1/sin2x+1/sin4x+...+1/sin2nx=cotx-cot2nx.
5.ai（i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4）
|ai-a1|x1+|ai-a2|x2+|ai-a3|x3+|ai-a4|x4=1。
6.在三角形ABC的边BC、CA、AB上分别任选三内点K、L、M，求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四分之一。
第9届IMO
1.平行四边形ABCD，边长AB=a,AD=1,角BAD=A,已知三角形ABD是一个锐角三角形，求证以A,B,C,D为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是
a≤cosA+√3sinA.
2.若四面体有且仅有一边大于1，求证其体积≤1/8.
3.k,m,n是自然数且m+k+1是一个大于n+1的素数，令cs=s（s+1），求证
（cm+1-ck）（cm+2-ck）...（cm+n-ck）
可被乘积c1c2..整除。
4.任意两个锐角三角形A0B0C0和A1B1C1。
考虑所有与三角形A1B1C1相似且外接于三角形A0B0C0的所有三角形ABC（即BC边包含A0，CA边包含B0，AB边包含C0），试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC。
5.a1,...,a8是不全为0的实数，令cn=a1n+a2n+...+a8n（n=1,2,3,...），如果数列{cn}中有无穷多项等于0，试求出所有使cn＝0的自然数n。
6.在一次运动会中，连续n天内（n>1）一共颁发了m块奖牌。
在第一天，颁发了一块奖牌以及剩下m-1个中的1/7；在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的1/7；依此类推。
在最后一天即第n天，剩下的n块奖牌全部颁发完毕。
问该运动会共进行了几天，一共颁发了多少块奖牌
第10届IMO
1.求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的两倍。
2.试找出所有的正整数n，其各位数的乘积等于n2-10n-22。
3.a,b,c是不全为0的实数。
x1,x2,...,xn是满足下述方程组的未知数：
axi2+bxi+c=xi+1,对于i=1,2,...,n-1；
axn2+bxn+c=x1；
若设M=（b-1）2-4ac，求证：
a.若M<0，则方程组无解；
b.若M=0，则方程组恰有一解；
c.若M>0，则方程组不止有一个解。
4.求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。
5.令f是定义在所有实数并取值实数的函数，并且对于某个a>0及任何x>0有
f（x+a）=1/2+√[f（x）-f（x）2]
求证f是周期函数，并且当a=1时请给出一个非常值函数的例子。
6.对任何自然数n，试计算下式的值
[（n+1）/2]+[（n+2）/4]+[（n+4）/8]+...+[（n+2k）/2k+1]+...
其中[x]表示不超过x的最大整数。
第11届IMO
1.对任意正整数n，求证有无穷多个正整数m使得n4+m不是质数。
2.令f（x）=cos（a1+x）+1/2cos（a2+x）+1/4cos（a3+x）+...+1/2n-1cos（an+x）,其中ai是实数常量，x是实数变量。
现已知f（x1）=f（x2）=0，求证x1-x2是π的整数倍。
3.对每一个k=1,2,3,4,5，试找出a>0应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中k个边长均为a，其余6-k个边的长度均为1。
4.以AB为直径的半圆弧，C是其上不同于A、B的一点，D是C向AB作垂线的垂足。
K1是三角形ABC的内切圆，圆K2与CD、DA以及半圆都相切，圆K3与CD、DB及半圆相切。
求证：
圆K1、K2、K3除AB外还有一条公切线。
5.平面上已给定了n>4个点，无三点共线。
求证至少有（n-3）（n-4）/2个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点。
6.给定实数x1,x2,y1,y2,z1,z2,满足x1>0,x2>0,x1y1>z12,x2y2>z22，求证：
8
≤
1
+
1
（x1+x2）（y1+y2）-（z1+z2）2
x1y1-z12
x2y2-z22
并给出等号成立的充分必要条件。
第12届IMO
1.M是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、r1、r2分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q是AB外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的，q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心。
求证：
r1r2q=rq1q2。
2.已知0≤xi0,xn-1>0。
如果a>b，xnxn-1...x0是数A在a进制下的表示、也是B在b进制下的表示，则xn-1xn-2...x0表示了A'在a进制下的表示、B'在b进制下的表示。
求证：
A'B3.实数a0,a1,a2,...满足1=a0<=a1<=a2<=...，并定义
bn=∑（1-ak-1/ak）/√ak
其中求和是k从1到n。
a.求证0≤bn<2；
b.设c满足0≤c<2，求证可找到an使得当n足够大时bn>c成立。
4.试找出所有的正整数n使得集合{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5}可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。
5.四面体ABCD，角BDC是直角，D向平面ABC作垂线的垂足恰好是三角形ABC的垂心。
求证：
（AB+BC+CA）2≤6（AD2+BD2+CD2）.
并问何时等号成立
6.平面上给定100个点，无三点共线，求证：
这些点构成的三角形中至多70%是锐角三角形。
第13届IMO
1.令En=（a1-a2）（a1-a3）...（a1-an）+（a2-a1）（a2-a3）...（a2-an）+...+（an-a1）（an-a2）...（an-an-1）.求证En>=0对于n=3或5成立，而对于其他自然数n>2不成立。
2.凸多边形P1的顶点是A1,A2,...,A9，若将顶点A1平移至Ai时则P1平移成了多边形Pi，求证P1,P2,...,P9之中至少有两个具有一共同内点。
3.求证能够找到一个由形式2n-3（n是正整数）的整数构成的集合并满足任何两个元素互质。
4.四面体ABCD的所有面都是锐角三角形，在线段AB上取一内点X，现在BC上取内点Y，CD上取内点Z，AD上内点T。
求证：
a.如果∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC，则没有一条闭路径XYZTX具有最小值；
b.如果∠DAB+∠BCD＝∠CDA+∠ABC，则有无穷多最短路径XYZTX，它们的长度是2ACsin（k/2），其中k=∠BAC+∠CAD+∠DAB。
5.对任何自然数m，求证存在平面上一有限点集S，满足：
对S中的每一个点A，存在S中的恰好m个点与A的距离为单位长。
6.设A=（aij）,其中i,j=1,2,...,n，是一个方阵，元素aij都是非负整数。
若i、j使得aij=0，则第i行和第j列的元素之和大于或等于n。
求证：
该方阵中所有元素之和大于或等于n2/2。
第14届IMO
1.有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。
2.设n>4，求证每一个圆内接四边形都可以分割成n个圆内接四边形。
3.m,n是任意非负整数，求证下式是一整数。
（2m）!
（2n）!
m!
n!
（m+n）!
4.试找出下述方程组的所有正实数解：
（x12-x3x5）（x22-x3x5）<=0
（x22-x4x1）（x32-x4x1）<=0
（x32-x5x2）（x42-x5x2）<=0
（x42-x1x3）（x52-x1x3）<=0
（x52-x2x4）（x12-x2x4）<=0
5.f、g都是定义在实数上并取值实数的函数，并且满足方程
f（x+y）+f（x-y）=2f（x）g（y），
又已知f不恒等于0且|f（x）|<=1。
求证对所有x同样有|g（x）|<=1。
6.给定四个不相同的平行平面，求证存在一个正四面体，它的四个定点分别在这四个平面上。
第15届IMO
1.OP1,OP2,...,OP2n+1是平面上的单位向量，其中点P1,P2,...,P2n+1都是位于通过点O的一条直线的同一侧，求证
|OP1+...+OP2n+1|>=1.
2.问能否在空间中找到一个不共面的有限点集M使得，对M中的任何两点A、B，都可以再在M中寻找到两点C、D，而直线AB、CD是不相同的并且是互相平行的。
3.考虑所有这样的实数a、b使得方程
x4+ax3+bx2+ax+1=0
至少有一个实根。
试找出a2+b2的最小值。
4.一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径
5.G是具有下述形式且非常值的函数的集合：
f（x）=ax+b，其中a,b,x都是实数。
并且已知G具有这些性质：
如果f,g都属于G，则fg（x）=f（g（x））也属于G；
如果f属于G，则f-1（x）=x/a-b/a也属于G；
对任何f属于G，存在一个实数xf使得f（xf）=xf成立。
求证：
存在实数M使得f（M）=M对所有G中的函数f都成立。
6.a1,a2,...,an是正实数，实数q满足0a.aib.qc.b1+b2+...+bn<（a1+a2+...+an）（1+q）/（1-q）.
第16届IMO
1.三个玩家玩游戏。
在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同。
在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码。
当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多。
假设游戏至少进行了两轮以上。
在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个玩家有10个，第三个玩家有9个。
又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码。
试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码
2.三角形ABC，求证在边AB上存在一点D使得CD是AD、DB的几何平均值的充要条件是
sinAsinB<=sin2（C/2）.
3.试证明对任意非负整数n，下式都不能被5整除：
∑C（2n+1,2k+1）23k，
上式中的求和是k从0到n，符号C（r,s）表示二项式系数r!
/（s!
（r-s）!
）。
4.沿着一个8x8象棋盘（黑白相间）中的线将其分割成p个不相交的长方形，使得每个长方形内的黑白小方格的数目一样，并且每个长方形中小方格的数量也都不一样多。
求出所有可能p值中的最大值；并对这样的最大值求出所有可能的分法（即求出那些长方形的大小）。
5.a,b,c,d是任意实数，判定下式的所有可能值：
a/（a+b+d）+b/（a+b+c）+c/（b+c+d）+d/（a+c+d）。
6.设P（x）是一个指数d>0的整系数多项式，n是P（X）=1或-1的不同整根的个数，则有
n<=d+2.
第17届IMO
1.已知x1>=x2>=...>=xn,以及y1>=y2>=...>=yn都是实数，求证若z1,z2,...,zn是yi的任意排列则有
∑（xi-yi）2<=∑（xi-zi）2
上式中左右两边的求和都是i从1到n。
2.令a1=1，存在无穷多个an可以写成an=rai+saj的形式，其中r，s是正实数且j>i。
3.任意三角形ABC的边上，向外作三角形ABR,BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。
求证角QRP是直角并且QR=RP。
4.令A是将写成十进制数字时的各位数字之和，令B时A的各位数字之和，求B的各位数字之和。
5.判定并证明能否在单位圆上找到1975个点使得任意两点间的距离为有理数。
6.找出所有两个变量的多项式P（x,y）使其满足：
I.对某一正整数n及所有实数t、x、y有P（tx,ty）=tnP（x,y）成立；
II.对所有实数x、y、z有
P（y+z,x）+P（z+x,y）+P（x+y,z）=0;
III.P（1,0）=1。
第18届IMO
1.平面上一凸四边形的面积是32，两对边与一对角线之和为16，求另外一个对角线的所有可能的长度。
2.令P1（x）=x2-2,Pi+1=P1（Pi（x））,i=1,2,3,...，求证对任何一个正整数n，方程式Pn（x）=x的所有根都是互不相同的实数。
3.一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体积为2的正方体来尽量装填，使得每个边都与箱子的边平行，则恰能装满箱子的40％，求所有这种箱子的可能尺寸（长、宽、高）。
4.试将1976分解成一些正整数之和，求这些正整数乘积的最大值，并加以证明。
5.n是一个正整数，m=2n，aij=0、1或-1（1<=i<=n,1<=j<=m）。
还有m个未知数x1,x2,...,xm满足下面n个方程：
ai1x1+ai2x2+...+aimxm=0,
其中i=1,2,...,n。
求证这n个方程有一组不全为0的整数解（x1,x2,...,xm）使得|xi|<=m。
6.一个序列u0,u1,u2,...定义为：
u0=2,u1=5/2,un+1=un（un-12-2）-u1，n=1,2,...
求证
[un]=2（2n-（-1）n）/3,
其中[x]表示不大于x的最大整数。
第19届IMO
1.在正方形ABCD中作等边三角形ABK、BCL、CDM、DAN，证明线段KL、LM、MN、NK的四个中点以及线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八个中点构成一个正十二边形的定点。
2.在一个有限项的实数序列中，任意的相连七项之和为负，任意的相连十一项之和为正。
求出这种序列最多有几项。
3.n>2是一给定整数，Vn是所有1+kn形式的整数构成的集合，其中k是正整数，对于Vn中的一个数m，如果不存在Vn中的两个数p、q使得m=pq，则称m是不可分解的。
求证：
Vn中存在一数r，它可有多于一种的方式表示为Vn中不可分解数的乘积。
（乘积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同一种分解。
）
4.定义f（x）=1-acosx-bsinx-Acos2x-Bsin2x，其中a,b,A,B都是实数常量。
如果f（x）>=0对所有实数x都成立，求证
a2+b2<=2且A2+B2<=1.
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