因式分解竞赛题含答案.docx

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因式分解竞赛题含答案

2020年因式分解竞赛题含答案

作者：

夏威夷松鼠

二、知识点回顾：

1.运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）a2-b2=（a+b）（a~b）；

（2）a2±2ab+b2=（a+b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）・

下面再补充几个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）"；

（6）aJ+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab~bc-ca）；

（7）an-bn=（a~b）（an_l+an_2b+an'3b24-••+abn_2+bn_1）其中n为正整数;

（8）an~bn=（a+b）（anl-a"2b+an3b2-<**+abn_2-bn*）,其中n为偶数;

（9）an+bn=（a+b）（an*-an2b+an3b2-**—ab"2+b"'）,其中n为奇数.

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.

三、专题讲解

例1分解因式:

（l）-2x5n-lyn+4x3n_,yn+2-2xn_,ynM；

（2）x3-8y3-z3~6xyz；

解⑴原式二-2x”1yn（x1n-2x2ny2+y1）

=-2xnlyn[（x2n）2-2x2ny2+（y2）2]

=-2xnxyn（x2n-y2）2

=-2x"!

yn（xn-y）2（xn+y）2.

（2）原式二x'+（-2y）3+（-z）3-3x（-2y）（-Z）

=（x-2y-z）（x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）・

例2分解因式：

a；!

+b3+c3-3abc・

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）・

分析我们已经知道公式

（a+b）3=a3+3a~b+3ab2+b3

的正确性，现将此公式变形为

a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）・

这个®式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.

解原式=（a+b）'-3ab（a+b）+c3-3abc

=[（a+b）3+c‘]-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）[（a+b）2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）・

说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：

我们将公式（6）变形为

a3+b'+c-3abc

=—Ca+b+c）（2a2+2bJ+2c^-2ab-2bc-2ca）

I

=2

（a十匕+c）

[（a-b）2+（b-c）2十（c.a）勺

显然，当a+b+c二0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c>0时，则a'{+b3+c-3abc

20,即『+b'+d3abc,而且，当且仅当a=b=c时，等号成立.

如果令x二$20,y二b、20,z二c'20,则有

等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.

※※变式练习

1分解因式：

xl5+x14+x13+—+x2+x+l・

分析这个多项式的特点是：

有16项，从最高次项芒开始，X的次数顺次递减至0,由此想到应用公式来分解.

解因为

xl6-l=（x~l）（x"+x"+x"+・・・x2+x+l）,

所以

（^-lXx^+K14+£口4-•七]+h+1）

x-1

十1）0?

十1）広2十1）（%十

%T

=（%8+1）0?

吓1）（龙1十1）（交牛1）

说明在本题的分解过程中，用到先乘以（X-1）,再除以（X-1）的技巧，这一

技巧在等式变形中很常用.

2.拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将

几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对

某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相及的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.

例3分解因式：

x-9x+8.

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.

解法1将常数项8拆成-1+9・

原式二x‘-9xT+9

=（x-l）-9x+9

=（x~l）（x2+x+l）-9（x~l）

=（x-l）（x2+x-8）.

解法2将一次项-9x拆成-x-8x・

原式=x!

-x-8x+8

=（x-x）+（-8x+8）

=x（x+1）（xT）-8（xT）

=（x-l）（x2+x-8）.

解法3将三次项x‘拆成9x-8x3.

原式二9x~8x-9x+8

=（9x'-9x）+（-8x3+8）

=9x（x+1）（x-l）-8（xT）（x'+x+l）

=（x-l）（x2+x-8）.

解法4添加两项-x2+x2・

原式=x3-9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2（x-l）+（x~8）（x-1）

=（x-l）（x2+x-8）.

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.

※※变式练习

1分解因式：

（1）x9+x6+x3-3；

（2）（m-1）（n2-l）+4mn；

（3）（x+l）4+（x2-l）2+（x-l）4；

（4）a3b-ab3+a2+b2+l・

解

（1）将一3拆成一ITT・

原式=x94-x6+x3-1-1-1

二（x"-1）+（x6-l）+（x3-1）

=（x3-l）（x6+x3+l）+（x3-l）（x3+l）+（x3-l）

=（x-l）（x6+2x3+3）

=（x-l）（x2+x+l）（x6+2x3+3）・

（2）将4mn拆成2mn+2mn.

原式=（m2-l）（n2-l）+2mn+2mn

=m"n2-mJ-n2+1+2mn+2mn

=（mJn"+2mn+l）-（m~-2mn+n"）=（mn+l）2-（m-n）2

=（mn+m-n+l）（mn-m+n+1）・

（3）将（x2-l）2拆成2（x2-1）2-（x2-1）2.

原式二（x+1）“+2（x2-l）2-（x2-l）2+（x-1）4

=[（x+1）'+2（x+1）2（x-1）2+（x-1）4]-（x2-l）2

=[（x+l）2+（x-l）2]2-（x2-l）2

=（2x2+2）2-（x-1）2=（3x2+1）（x2+3）.

（4）添加两项+ab-ab・

原式二a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

=（a3b~ab5）+（a2-ab）+（ab+b2+l）

=ab（a+b）（a~b）+a（a~b）+（ab+b2+l）

=a（a~b）[b（a+b）+l]+（ab+b2+1）

=[a（a~b）+l]（ab+b2+l）

=（a2-ab+l）（b~+ab+l）・

说明（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验.

3.换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.

例4分解因式：

（x2+x+1）（x2+x+2）-12.

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难.我们不妨将孑+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.

解设x2+x=y,则

原式二（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10

=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）

=（x-l）（x+2）（x2+x+5）.

说明本题也可将x2+x+l看作一个整体，比如今疋+x+l二U,—样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试.

例5分解因式：

（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90.

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合.

解原式=（x+l）（x+2）（2x+l）（2x+3）-90

二[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+l）]-90

=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2）-90.

令y二2x'+5x+2,则

原式二y（y+1）-90=y2+y-90

二（y+10）（y-9）

=（2x2+5x+12）（2x2+5x-7）

=（2x2+5x+12）（2x+7）（x-1）.

说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元（y）的基础.

※※变式练习

1.分解因式：

（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2・

解设x2+4x+8=y,则

原式=y2+3xy+2x2=（y+2x）（y+x）

=（x2+6x+8）（x2+5x+8）

=（x+2）（x+4）（x2+5x+8）・

说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式.

1.双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f）,我们也可以用十字相乘法分解因式.

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幕排列,并把y当作常数，于是上式可变形为

2x-（5+7y）x-（22y=35y+3）,

可以看作是关于x的二次三项式.

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即：

-22y2+35y-3=（2y-3）（-lly+1）.

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以，原式二[x+（2y-3）][2x+（-lly+1）]

二（x+2y-3）（2xTly+l）・

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十

字相乘图合并在一起，可得到下图：

它表不的是下面三个关系式：

（x+2y）（2x~lly）=2x2-7xy-22y2；

（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；

（2y-3）（-lly+1）=-22y2+35y-3.

这就是所谓的双十字相乘法.

用双十字相乘法对多项式ax'+bxy+cy'+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图（有两列）;

（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx・

例1分解因式：

（1）x2-3xy-10y2+x+9y-2；

（2）x2-y2+5x+3y+4；

（3）xy+y'+x_y_2；

（4）6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2・

解

（1）

原式=（x-5y+2）（x+2y-l）.

原式二（x+y+1）（x-y+4）.

（3）原式中缺F项，可把这一项的系数看成0来分解.

原式=（y+l）（x+y-2）・

（4）

原式=（2x~3y+z）（3x+y-2z）.

说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似.

2.求根法

我们把形如a„xn+anjx"1+•••+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一

元多项式，并用f（x）,g（x）,…等记号表示，如

f（x）=x2-3x+2,g（x）=x5+x2+6,…，

当X二8时，多项式f（X）的值用f（0）表示.如对上面的多项式f（X）

f（l）=l-3X1+2=0；

f（-2）二（-2）2-3X（-2）+2=12.

若f（a）=0,则称0为多项式f（x）的一个根.

定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个因式x-a.

根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根.对于任意多项式f（x）要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式

f（x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是

否有有理根.

若既约分数2是整系数多顶式

P

定理2fW-aoxn十幻汁1十科"2十…十％区十aa

的根，则必有P是皈的约数，q是為的约数.特别地，当a°二1时，整系数

多项式f（x）的整数根均为弘的约数.

我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多

项式进行因式分解.

例2分解因式：

x-4x2+6x-4.

分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个

检验-4的约数：

±1,±2,±4,只有

f

（2）=23-4X22+6X2-4=0,

即x二2是原式的一个根，所以根据定理1,原式必有因式x-2・

解法1用分组分解法，使每组都有因式（x-2）.

原式二（x'-2x2）-（2x2-4x）+（2x~4）

=x2（x-2）-2x（x-2）+2（x-2）

=（x-2）（x-2x+2）.

解法2用多项式除法，将原式除以（x-2）,

x2一2x2

x-2/x3-4x2+6x-4

（I/

-2x?

+6x

-2x?

+4x

2x-4

2x・4

~0

所以

原式二（x~2）（x2-2x+2）・

说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根.因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.

※※变式练习

1.分解因式：

9xl-3x3+7x2-3x-2・

分析因为9的约数有±1,±3,±9；-2的约数有±1,±

2.所以源式的有理根只可能是±1・±2.士》土卜±春・

经栓验.只有£和彳是原式的根.所以原式有因式北+；和_|.又因

为:

仪+£）山~|）=+l）（3x-2）

=1（9x2-3k-2）,

所以，原式有因式9x2-3x~2・

解9x-3x3+7x2-3x-2

=9x'-3x-2x~+9x"-3x-2

=x2（9x3-3x~2）+9x2-3x-2

=（9x2-3x~2）（x2+1）

=（3x+l）（3x-2）（x2+l）

说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

1_22_1_2

（x+-）（x--）=x-尹§可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程.

总之，对一元高次多项式f（X）,如果能找到一个一次因式（x-a）,那么f（x）就可以分解为（x-a）g（x）,而g（x）是比f（x）低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g（x）进行分解了.

3.待定系数法

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用.

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，

但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法.

例3分解因式：

x"+3xy+2y2+4x+5y+3・

分析由于

（x2+3xy+2y2）=（x+2y）（x+y）,

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.

解设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=（x+2y+m）（x+y+n）

=x2+3xy+2y2+（m+n）x+（m+2n）y+mn,

比较两边对应项的系数，则有

|

m+n=4,

m+2a=5,

ran=3・

解之得m二3,n=l.所以

原式=（x+2y+3）（x+y+1）.

说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下.

※※变式练习

1.分解因式：

x"-2x‘一27x'-44x+7・

分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1,±7（7的约数），经检验，它们都不是原式的根，所以,在有理数集内，原式没有一次因式.如果原式能分解，只能分解为（x2+ax+b）（x'+cx+d）的形式.

解设

原式=（x2+ax+b）（x'+cx+d）

二x'+（a+c）x3+（b+d+ac）x~+（ad+bc）x+bd,

所以有

a+c=

b+d+ac=-27,

■

ad+be=~44,

bd=7・

由bd=7,先考虑b二1,d二7有

a+c=-2,

4ac=-35,

7a+c=-44,

fa=-7

解之得{c=5.

所以

原式=（x2-7x+1）（x2+5x+7）・

说明由于因式分解的唯一性，所以对b二-1,d二-7等可以不加以考虑.本题如果b二1,d二7代入方程组后，无法确定a,c的值，就必须将bd二7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止.

本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法，使我们找到了二次因式.由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地.

四、巩固练习：

1.分解因式：

（x2+xy+y2）-4xy（x2+y2）.

分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u二x+y,v=xy,用换元法分解因式.

解原式=[（x+y）2-xy]-4xy[（x+y）-2xy].令x+y二u,xy=v,则

原式二（u2-v）2-4v（u2-2v）

=u4-6u2v+9v2

=（u2-3v）2

=（x2+2xy+y2-3xy）2

二（xJy+y于・