竞赛专题-因式分解.doc

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竞赛专题：

因式分解

一、重要公式

1、a2－b2=（a＋b）（a－b）；an－1=（a－1）（an-1＋an-2＋an-3＋…＋a2＋a＋1）

2、a2±2ab＋b2=（a±b）2；

3、x2＋（a＋b）x＋ab=（x＋a）（x＋b）;

4、a3＋b3=（a＋b）（a2－ab＋b2）;a3－b3=（a－b）（a2＋ab＋b2）;

二、因式分解的一般方法及考虑顺序

1、基本方法：

提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；

2、常用方法与技巧：

换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。

3、考虑顺序：

（1）提公因式法；

（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；

1、添项拆项

[例1]因式分解：

（1）x4＋x2＋1；　

（2）a3＋b3＋c3－3abc

（1）分析：

x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式

解：

x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=（x2＋1）2－x2=（x2＋1＋x）（x2＋1－x）

（2）分析：

a3＋b3要配成（a＋b）3应添上两项3a2b＋3ab2

解：

a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b－3ab2

　　=（a＋b）3＋c3－3ab（a＋b＋c）

=（a＋b＋c）[（a＋b）2－（a＋b）c＋c2]－3ab（a＋b＋c）

=（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2－ab－ac－bc）

[例2]因式分解：

（1）x3－11x＋20；

（2）a5＋a＋1

（1）分析：

把中项－11x拆成－16x+5x分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。

（注意这里16是完全平方数）

解：

x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝x（x2－16）＋5（x＋4）

=x（x＋4）（x－4）＋5（x＋4）=（x＋4）（x2－4x＋5）

（2）分析：

添上－a2和a2两项，分别与a5和a＋1组成两组，正好可以用立方差公式

解：

a5＋a＋1＝a5－a2＋a2＋a＋1=a2（a3－1）＋a2＋a＋1

=a2（a－1）（a2＋a＋1）＋a2＋a＋1=（a2＋a＋1）（a3－a2＋1）

2、待定系数法

[例3]因式分解2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20

解：

∵2x2＋3xy－9y2=（2x－3y）（x＋3y）,故用待定系数法，

可设2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=（2x－3y＋a）（x＋3y＋b），

其中a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得

　　解得

∴2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=（2x－3y＋4）（x＋3y＋5）

[另解]原式=2x2＋（3y＋14）x－（9y2＋3y－20），这是关于x的二次三项式

　常数项可分解为－（3y－4）（3y＋5）,用待定系数法，

可设2x2＋（3y＋14）x－（9y2＋3y－20）=[mx－（3y－4）][nx＋（3y＋5）]

比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2,n=1

∴2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=（2x－3y＋4）（x＋3y＋5）

三、重点定理

1、余式定理：

整系数多项式f（x）除以（x-a）商为q（x），余式为r，则f（x）=（x-a）q（x）+r。

当一个多项式f（x）除以（x–a）时，所得的余数等于f（a）。

例如：

当f（x）=x^2+x+2除以（x–1）时，则余数=f

（1）=1^2+1+2=4。

2、因式定理：

即为余式定理的推论之一：

如果多项式f（a）=0，那么多项式f（x）必定含有因式x-a。

反过来，如果f（x）含有因式x-a，那么，f（a）=0。

四、填空题

1、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2＋ab=99，则a=，b=。

2、计算：

（x＋6）2（x－6）2=（x2－36）2。

3、若x＋y=4，x2＋y2=10，则（x－y）2=。

4、分解因式：

a2－b2＋4a＋2b＋3=。

5、分解因式：

4x3－31x＋15=。

6、分解因式：

x4＋1987x2＋1986x＋1987=。

五、选择题

7、x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz因式分解后的结果是（）。

（A）（y－z）（x＋y）（x－z）（B）（y－z）（x－y）（x＋z）

（C）（y＋z）（x－y）（x＋z）（D）（y＋z）（x＋y）（x－z）

8、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，则这两个整数是（）。

（A）41，48（B）45，47（C）43，48（D）41，47

9、n为某一自然数，代入代数式n3－n中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是（）。

（A）388944（B）388945（C）388954（D）388948

六、将下列各式分解因式

10、x4＋x2y2＋y4　11、x4＋4

12、x4－23x2y2＋y413、x3＋4x2－9

14、x3－41x＋3015、x3＋5x2－18

16、x3＋3x2y＋3xy2＋2y317、x3－3x2＋3x＋7

18、x3－9ax2＋27a2x－26a3　19、x3＋6x2＋11x＋6

20、a3＋b3＋3（a2＋b2）＋3（a＋b）＋2

21、3x3－7x＋10　22、x3－11x2＋31x－21

七、解答题

23、已知x－y＋4是x2－y2＋mx＋3y＋4的一个因式，求m的值。

24、求方程xy－x－y＋1=3的整数解。

解：

原方程可化为（x－1）（y－1）=3

∵x，y整数,

∴原方程可化为四个方程组:

x－1=1x－1=3x－1=－1x－1=－3

y－1=3y－1=1y－1=－3y－1=－1

解得：

（x,y）的解为（2,4）、（4,2）、（0,－2）、（－2,0）

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