2课时 直角三角形全等的判定 省优 一等奖教案.docx

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2课时直角三角形全等的判定省优一等奖教案

第2课时　直角三角形全等的判定

1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”；（重点）

2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．（难点）

一、情境导入

舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．

（1）你能帮他想个办法吗？

（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？

二、合作探究

探究点：

直角三角形全等的判定

【类型一】应用“HL”证明三角形全等

如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.

求证：

Rt△ABF≌Rt△DCE.

解析：

由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等．

证明：

∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵

∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．

方法总结：

利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．

【类型二】利用“HL”证明线段相等

如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：

BC＝BE.

解析：

根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.

证明：

∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.

方法总结：

证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．

【类型三】利用“HL”证明角相等

如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：

∠1＝∠2.

解析：

要证角相等，可先证明全等．即证Rt△ABC≌Rt△ADC，进而得出角相等．

证明：

∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD为直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠1＝∠2.

方法总结：

证明角相等可通过证明三角形全等解决．

【类型四】利用“HL”解决动点问题

如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合．那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？

解析：

本题要分情况讨论：

①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．

解：

根据三角形全等的判定方法HL可知：

①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，∴在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP＝BC，PQ＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝10；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．

方法总结：

判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．

【类型五】综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等

如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.求证：

OB＝OC.

解析：

已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平分∠BAC可知∠1＝∠2，然后根据AAS证得△AOD≌△AOE，△BOD≌△COE，即可证得OB＝OC.

证明：

∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2.在△AOD和△AOE中，∵

∴△AOD≌△AOE（AAS），∴OD＝OE.在△BOD和△COE中，∵

∴△BOD≌△COE（ASA）．∴OB＝OC.

方法总结：

判定直角三角形全等的方法除“HL”外，还有SSS、SAS、ASA、AAS.

三、板书设计

1．作直角三角形

2．直角三角形全等的判定

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．

本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识.

3．1　图形的平移

第1课时　平移的认识

1．理解并掌握平移的定义及性质；（重点）

2．能够根据平移的性质进行简单的平移作图．

一、情境导入

观察下列图片，你能发现图中描绘的运动的共同点吗？

二、合作探究

探究点一：

平移的定义

下列各组图形可以通过平移互相得到的是（　　）

A.

　B.

C.

　D.

解析：

根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C，故选C.

方法总结：

本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．

探究点二：

平移的性质

【类型一】利用平移的性质进行计算

如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC＝3

，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1等于（　　）

A．1B.

C.

D．2

解析：

设B1C＝2x，根据等腰直角三角形和平移的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B1C边上的高为x，∴

×x×2x＝2，解得x＝2（舍去负值），∴B1C＝2

，∴BB1＝BC－B1C＝

.故选B.

方法总结：

本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程，求重叠部分的长．

【类型二】平移性质的综合应用

如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的有（　　）

①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为

.

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：

根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积之间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案．①对应线段平行可得AC∥DF，正确；②对应线段相等可得AB＝DE＝8，则HE＝DE－DH＝8－3＝5，正确；③平移的距离CF＝BE＝5，正确；④S四边形HDFC＝S梯形ABEH＝

（AB＋EH）·BE＝

×（8＋5）×5＝

，错误．故选C.

方法总结：

本题考查平移的基本性质：

①平移不改变图形的形状和大小；②对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．

探究点三：

简单的平移作图

将如图方格中的图形向右平移4格，再向上平移2格，在方格中画出平移后的图形．

解析：

按照题目要求：

向右平移4格，再向上平移2格，先作各个关键点的对应点，再连接即可．

解：

方法总结：

作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．平移作图的一般步骤为：

①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．

三、板书设计

1．平移的定义

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．

2．平移的性质

一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．

3．简单的平移作图

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学生经历将实际问题抽象成图形问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.

第2课时　一元一次不等式的应用

1．会在实际问题中寻找数量关系列一元一次不等式并求解；

2．能够列一元一次不等式解决实际问题．（重点，难点）

一、情境导入

如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠？

二、合作探究

探究点：

一元一次不等式的应用

【类型一】商品销售问题

某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小．为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品？

解析：

由题意可知，利润率为20%时，获得的利润为120×20%＝24元；若打x折该商品获得的利润＝该商品的标价×

－进价，即该商品获得的利润＝180×

－120，列出不等式，解得x的值即可．

解：

设可以打x折出售此商品，由题意得：

180×

－120≥120×20%，

解得x≥8.

答：

最多可以打8折出售此商品．

方法总结：

商品销售问题的基本关系是：

售价－进价＝利润．读懂题意列出不等式求解是解题关键．

【类型二】竞赛积分问题

某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2分．小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？

解析：

设小明答对x道题，则答错或不答的题目为（25－x）道，根据得分要超过80分，列出不等关系求解即可．

解：

设小明答对x道题，则他答错或不答的题目为（25－x）道．根据他的得分要超过80分，得：

4x－2（25－x）＞80，

解得x＞21

.

因为x应是整数而且不能超过25，所以小明至少要答对22道题．

答：

小明至少要答对22道题．

方法总结：

竞赛积分问题的基本关系是：

得分－扣分＝最后得分．本题涉及到不等式的整数解，取整数解时要注意关键词如“至多”“至少”等．

【类型三】安全问题

采石场爆破时，点燃导火线后工人要在爆破前转移到400米外的安全区域．导火线燃烧速度是每秒1厘米，工人转移的速度是每秒5米，导火线至少要多少米？

解析：

根据时间列不等式，导火线燃烧时间＞工人要在爆破前转移到400米外的安全区域时间．

解：

设导火线的长度需要x米，1厘米/秒＝0.01米/秒，由题意得

>

，解得x＞0.8.

答：

导火线至少要0.8米．

【类型四】分段计费问题

小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：

若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是多少？

解析：

当每月用水5立方米时，花费5×1.8＝9元，则可知小明家每月用水超过5立方米．设每月用水x立方米，则超出（x－5）立方米，根据题意超出部分每立方米收费2元，列一元一次不等式求解即可．

解：

设小明家每月用水x立方米．

∵5×1.8＝9＜15，

∴小明家每月用水超过5立方米．

则超出（x－5）立方米，按每立方米2元收费，

列出不等式为5×1.8＋（x－5）×2≥15，

解不等式得x≥8.

答：

小明家每月用水量至少是8立方米．

方法总结：

分段计费问题中的费用一般包括两个部分：

基本部分的费用和超出部分的费用．根据费用之间的关系建立不等式求解即可．

【类型五】调配问题

有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？

解析：

设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为（10－x）人．甲种蔬菜有3x亩，乙种蔬菜有2（10－x）亩．再列出不等式求解即可．

解：

设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为（10－x）人．

根据题意得0.5×3x＋0.8×2（10－x）≥15.6，

解得x≤4.

答：

最多只能安排4人种甲种蔬菜．

方法总结：

调配问题中，各项工作的人数之和等于总人数．

【类型六】方案决策问题

为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．

A型

B型

价格（万元/台）

12

10

处理污水量（吨/月）

240

200

年消耗费（万元/台）

1

1

（1）请你设计该企业有几种购买方案；

（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案．

解析：

（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10－x）台，列出不等式求解即可，x的值取整数；

（2）如图表列出不等式求解，再根据x的值选出最佳方案．

解：

（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10－x）台．

12x＋10（10－x）≤105，解得x≤2.5，∵x取非负整数，∴x可取0，1，2，

有三种购买方案：

购A型0台，B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，B型8台；

（2）240x＋200（10－x）≥2040，解得x≥1，

∴x为1或2.

当x＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102（万元）；

当x＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104（万元）．

答：

为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．

方法总结：

此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优方案时，应把几种情况进行比较．

三、板书设计

应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：

―→

―→

本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与，讲练结合，引导学生找不等关系列不等式．在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实际问题的方法来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系.

3．1　图形的平移

第1课时　平移的认识

1．理解并掌握平移的定义及性质；（重点）

2．能够根据平移的性质进行简单的平移作图．

一、情境导入

观察下列图片，你能发现图中描绘的运动的共同点吗？

二、合作探究

探究点一：

平移的定义

下列各组图形可以通过平移互相得到的是（　　）

A.

　B.

C.

　D.

解析：

根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C，故选C.

方法总结：

本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．

探究点二：

平移的性质

【类型一】利用平移的性质进行计算

如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC＝3

，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1等于（　　）

A．1B.

C.

D．2

解析：

设B1C＝2x，根据等腰直角三角形和平移的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B1C边上的高为x，∴

×x×2x＝2，解得x＝2（舍去负值），∴B1C＝2

，∴BB1＝BC－B1C＝

.故选B.

方法总结：

本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程，求重叠部分的长．

【类型二】平移性质的综合应用

如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的有（　　）

①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为

.

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：

根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积之间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案．①对应线段平行可得AC∥DF，正确；②对应线段相等可得AB＝DE＝8，则HE＝DE－DH＝8－3＝5，正确；③平移的距离CF＝BE＝5，正确；④S四边形HDFC＝S梯形ABEH＝

（AB＋EH）·BE＝

×（8＋5）×5＝

，错误．故选C.

方法总结：

本题考查平移的基本性质：

①平移不改变图形的形状和大小；②对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．

探究点三：

简单的平移作图

将如图方格中的图形向右平移4格，再向上平移2格，在方格中画出平移后的图形．

解析：

按照题目要求：

向右平移4格，再向上平移2格，先作各个关键点的对应点，再连接即可．

解：

方法总结：

作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．平移作图的一般步骤为：

①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．

三、板书设计

1．平移的定义

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．

2．平移的性质

一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．

3．简单的平移作图

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学生经历将实际问题抽象成图形问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.