直角三角形全等的判定.docx
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直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定
教学目标
1、已知斜边和一直角边会作直角三角行。
2、掌握“斜边直角边公理”，回熟练利用这个公理及一般三角形全等的判定方法判定直角三角形全等。
3、熟练使用“分析综合法”探求解题思路。
教学重点和难点
“斜边直角边公理”的掌握和灵活应用。
教学过程设计
一、讨论直角三角形全等的判定方法
1.可用判定一般三角形全等的方法。
练习1判断以下各组直角三角形是否全等，为什么？
（1）两直角边对应相等的两个直角三角形；
（2）一边和一锐角对应相等的两个直角三角形。
分析：
（1）判定两直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件。
（2）由于直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形全等的四种判定方法对直角形都适用。
（3）由于直角三角形与一般三角形相比增辊了一个特殊条件——直角，因此，判定直角三角形全等的条件可减弱到两个，“SSS”对直角三角形来说条件多余。
2．控求判定直角三角形全等的特殊方法。
（1）对直角三角形中的两对对应元素进行分类，控求有无判定全等的其它方法。
除练习1的
（1）和
（2）之外，还有以下两种情况：
①两锐角对应相等；
②余边和一直我有边对应相等。
（2）对第①句，由教师和学生手中的含30°的直角三角板中说明它不成立。
因此，判定直角三角形全等仍然至少需要一边对应相等。
对第②句，通过画图寻找答案。
┗━━━━━━━┛
3．画图得出公理。
ac
例1如图3-80，已知线段，a，c（a＜c），画一个━━━━A
Rt△ABC，使∠C=90°，一直角边CB=a。
斜边
AB=c。
教师应注意启发学生选择合理的画图顺序来确定三角
形的三个顶点：
CB
画直角确定顶点C→在直角一边上截取线段a确定B图3-80
点→以点B为圆心，线段C为半径作弧与另一直角边相交确定点A。
说明：
（1）教师按照教材所述，详细板书画法并作图。
（2）着重说明画出的直角三角形存在且唯一，因此，可以作为判定公理，称为“斜边、直角边公理”，简写为“HL”。
4．叙述公理，强调条件及格式。
教师板书“HL公理”的内容，说明它实际上就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，所以它只对直角三角形适用，对一般
三角形并不一定成立。
因此，在“HL公理”的使用过程中要AA`
突出直角三角形这个条件。
对于图3-81，在Rt△ABC与
Rt△A`B`C`中，
AB=A`B`，
BC=B`C`，（AC=A`C`）BCC`
∴Rt△ABC≌Rt△A`B`C`（HL）图3-81B`
二、应用举例
例2已知：
如图3-82，在△ABC与△A`B`C`中，CD和C`D`分别是高，并且AC=A`C`，CD=C`D`，∠ACB=A`C`B`。
求证：
△ABS≌△A`B`C`。
CC`
ADBA`D`B`
图3-82
分析：
△ABC≌△A`B`C`分
析
┏━━━━━━━━━━━━━━━━┓法
AC=A`C`∠ACB=∠A`C`B`∠A=∠A`
（或∠B=∠B`，或BC=B`C`）
Rt△ACD≌Rt△A`C`D`（HL）
综
┏━━━━━━━┓合
AC=A`C`CD=C`D`法
说明：
请一名学生口述，教师纠正后板书正确过程。
（投影）练习2如图3-83，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF与BE交于H。
求证：
（1）AH平分∠BAC；
（2）CH=BH；（3）AH⊥BC；（4）连结BC与AH的延长线交于D，图中有多少对全等三角形？
为什么？
（5）交换“AB=AC”与“AH平分∠BAC”，以上命题是否成立？
为什么？
说明：
（1）通过二次全等证明所需结论，并培养学生逆向思维能力。
（2）通过此题全面复习直角三角形全等的判定方法（SAS，AAS，ASA，HL）。
（投影）练习3已知：
如图3-84，AB=AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：
DE=DF。
（投影）例3求证：
有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。
说明：
要求学生根据文字叙述礓图，分析已知、未知条件，根据直角三角形的判定方法来证明两次全等。
CA
E
HEF
ABBC
FD
图3-83图3-84
三、师生共同小结
1．一般三角形与直角三角形证明全等的方法有什么区别与联系？
2．灵活选用几种方法来证明两个直角三角形全等，注意分析法与综合法的使用。
四、作业
课本第55页第2，3，4题。
补充题：
1．如图3-85，A，F和B三点在一条直线上，CF⊥AB于F，AF=FH，CF=FB。
求证：
BE⊥AC。
C
说明：
利用三角形全等来说明两直线的垂直关系。
E
2．思考：
两边及其中较长边所对的角对应相等的H
两个三角形是否全等？
为什么？
较短边所对的角对AB
应相等吗？
F
提示：
（1）对较长边所对的角按锐气角、直角、钝角三图3-85
种情况来进行分类讨论，结论成立。
可用尺规作图作出符合条件的唯一确定的三角形。
（2）对较短边所对的角按锐角、直角、钝角古种情况进行分类讨论，发现由“大边对大角”得知直角、钝角时三角形不存在，而锐角时即为表3.1中“SSA”的反例图形，三角形形状不唯一。
课堂教学设计说明
本教学设计需1课时完成。
1．练习1是在复习巩固并运用一般三角形的四种判定方法判寂直角三角形全等的基础上，让学生总结规律：
直角三角形只需再加两个特定条件就能判定全等。
引导学生对两个特定条件进行分类，引出对“斜边、直角边公理”的思考。
2．考也可采用第二种引入新课的方法如下：
（1）复习一般三角形的四种判定方法。
（2）提问：
SSA能否判定一般三角形全等？
能否判定直角三角形全等？
（3）教师用投影演示表3.1中“SSA”的反例图形：
①分解出△ABD与△ABC；
②分别绕点A旋转AD和AC使AB所对的角都变为直角；
③对比发现，当两边及其中一边（较短边）所对的角为锐角时三角形形状不唯一；但当两边及其中一边（较长边）所对的角为直角时，直角三角形形状就唯一被确定。
（结合补充题2可对括号内边、角对应关系理解和更清楚。
）
（4）猜想“SSA”可用来判定两直角三角形全等，但不称为“SSA”，而由边角对应关系称为“斜边、直角边”。
3．练习2与补充题1实际上均是“三角形三条高交于一点”的特殊化形式，如果教师能看到这类题目之间的联系，就可以灵活自由地设计一题多变的题目，在变化与联系中培养学生逻辑思维能力。
4．补充题2让程度较好的学生对“SSA”能否判定两三角形全等有一个更为深刻的认识。
以后学垸正弦定理后，就能对“SSA”问题有一个更全面深刻的认识。
多边形的内角和
教学目标
1．理解多边形及有关概念，掌握多边形内角和定理及推论，理解其推导过程，并能较熟练地使用它们进行有关计算。
2．在多边形内角和定理的推导过程中，培养学生类比、转化、归纳的科学思想方法；在定理及推论的应用过程中培养建立方程的思想。
教学重点和难点
重点是多边形内角和定理及推论的应用。
难点是多边形内角和定理的推导及运用方程的思想来解决多边形内、外角的计算。
教学过程设计
一、多边形及有关要领的教学
1．复习四边形、凸多边形及有关概念。
F
2．通过实例引入多边形、凸多边形及明关概念。
A
（1）举出生活中多边形的实例；
（2）类比定义多边形式、凸多边形的概念，并指出如果BE
没有特别说明，多边形一般指凸多边形；
（3）将四边形的有关概念逐项扩展到多边形情况，如顶CD
点、边、内角、对角线表示方法等；图4-10
（4）简单练习，巩固多边形的表示方法及有关元素的辨认。
（投影）练习1填空：
如图4-10，此多边形应记作
边形，AB边的邻边有、，顶点F处的内角为，画出顶点D处的两个外角，过顶点A画出这个多边形的对角线，共有条，它们把多边形分在了个三角形，这个多边形共有
条对角线。
二、探索凸多边形的内角和的性质并进行推导
1．提出问题。
由三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，猜想多边形的内角和度数与边数有关。
具体是什么关系？
2．启发学生猜想证明的思路。
（1）复习四边形内角和定理的证明过程，强调把四边形分割成三角形，从而“把四边形内角和转化为三角形内角和来研究”这种化归的思想。
（2）引导学生类比联想，用化归的思想和从特殊到一般的方法研究五边形、六边形、七边形……的情况。
①教师应帮助学生分析出解决问题的关键是多边形分割转化成有公共顶点的三角形的方法，以及割成三角形的个数与多边数的关系；
②引导学生认识分割方法的多样性（见设计说明），选择其中较为简单并顺庆大部分学生认识过程的分割方法，推导五边形、六边形……的情况，归纳出n边形内角和的结论。
3．得到定理：
n这形的内角和等于（n-2）·180°。
说明：
（1）多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；
（2）强调凸多边形的内角a的范围：
0°＜α＜180°。
三、凸多边形外角和性质的猜想和推导
1．复习多边形外角和的含义及三角形、四边形外角和的性质，猜想凸多边形的外角和的结论。
2．以六边形为例，推导外角和性质。
3．将推导方法推广到一般情况，得出结论：
任意多边形的外角和等于360°。
4．教师强调“任意”两字，说明书凸多边形的外角和与边数无磁，因此，比内角和定理使用起来更为方便。
四、应用举例、变式练习
例1
（1）22边形的内角和是多少度？
若它的每一个内角都相等，那么它的
每个外角度数是多少？
（3）几边形的内角和是八边形内角和的2倍？
（4）已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求边数。
分析：
①引导学生利用方程的思想，根据多边形的内角和、外角和的性质及题目中提供的等量关系得出关于未知数的方程去求解；
②对于利用多边形内角和公式反求国数的题目，需注意：
只有求出的边数n是大于2的正整数时，问题才有解；
③灵活运用“多边形的我角和与边数无关的性质”简化计算。
例2
（1）已知多边形的每个内角都是135°，求这个多边形的边数；
（2）每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数。
分析：
①每个内角或外角都相等的多边形，它的每个内角为（n-2）·180°/n，从而利用360°/n，利用这两点就可以列出关于边数n的方程，其中第二种方法较为简单。
②对于第
（1）题，可将“每个角都是135°”转达化为“每个外角都为45°”，从而利用360°/n=45°，得出n的值为8。
③若设边数为n，则方程为（n-2）·180°/n=9×360°/n得出n=20。
（选用）例3
（1）某多边形除一个内角a外，其余内角的和是2750°。
求这个多边形的边数。
（2）已知n边形恰有四个内角是钝角。
这种多边形共有多少个？
其中边数最少的是几边形？
边数最多的是几边形？
分析：
利用多边形每个内角a的范围，0°＜α＜180°，以及题目所提供的角度关系列不等式解决问题。
解：
（1）由题意得（n-2）·180°=α+2750°，∴α=（n-2）·180°-2750°。
又∵0°＜α＜180°，∴0°＜（n-2）·180°-2750°＜180°，
∴175/18＜n＜185/18。
因此这个多边形为18边形。
（2）设四个钝角分别为α，β，γ，δ。
则
∵360°＜α+β+γ+δ＜720°。
而另外n-4个内角都是直角或锐角，
∴（n-4）×0°＜其余（n-4）个内角的和≤（n-4）×90°，
∴360°＜（n-2）·180°＜720°+（n-4）×90°，
即360°＜（n-2）·180°＜720°+（n-4）×90°，∴4＜n＜8。
∵4＜n＜8的整数n有5，6，7三个，
∴这样的多边形共有三个，其边数最小的是五边形，边数最多的七边形。
补充练习：
1．几边形的内角和与外角和之比是7∶2？
（答：
9）
2．已知一个多边形的每个内角都是钝角，这样的多边形有多少个？
每个内角都是锐角的多边形有多少个？
是几边形？
每个内角都是直角的多边形有几个？
是几边形？
（答：
无数个；一个，三角形；一个，四边形）
3．多边形最多有几个外角是钝角？
最多有几个内角是锐角？
（答：
3个；3个）
五、师生共同小结
1．多边形内角和定理及外角和性质。
2．多边形的内角和与多边形的大小，形状无关；多边形的外角和与边数无关。
3．三角形的外角和是内角和的2倍，四边形的外角和与内角和相等。
4．利用类比、转化、从特殊到一般及归纳法研究问题的方法，利用方程、不等式的思想解决多边形内、外角和的有关计算。
六、作业
课本第129页第3，4题，第130页A组第5题，B组第1题。
课堂教学设计说明
本教学设计需1课时完成。
1．证明多边形的内角和定理时，教师应注意启发学生将多边形分割为三角形来研究，对学生采取的不同的分割方法，教师应注意进行总结和提高。
（1）强调各种分割方法都应使分割所得的那些三角形不重不漏并具有公共顶点。
（2）各种分割方法的区别在于所先三角形的公共顶点O与多边形的位置关系，分为三种情况：
①点O在多边形的内部（教材所采用的方法）；
②点O在多边形的一边上（其中特殊情况点O在多边形的某一顶点，即连结过一个顶点的对角线，从四边形类比而来）；
③点O在多边形的外部。
这样处理既让采用不同方法的同学感到自己的思维方法受到重视，有利于激发学生的创造性思维，调动他们的积极性，又让全体学生对研究问题的科学方法的认识有所提高，学会科学的学习方法。
教师制作不同分割方法的投影片（列成表格）备用，表格中可包含以下几项：
多边形的边数n、图形（含分割方法）、分割出三角形的个数、多边形的内角和，以帮助学生总结规律。
2．例题、习题教学应注意培养学生思维的灵活性，如灵活运用外角和性质解题，教给学生思考问题的方法，如方程的思想，不等式的思想，以提高计算能力。
平行线等分线段定理
教学目标
1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形。
2．熟练掌握任意等分线段的方法。
3．培养化归的思想、运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法。
教学重点和难点
重点是平行线等分缇段定理及证明；
难点是平行线等分线段定理的证明和灵活运用。
教学过程设计
一、从特殊到一般猜想结论
1．复习提问，学生口答。
（1）如图4-77，在△ABC中，AM=MB，MD∥BC，则AD=DC。
说明：
①应用平行四边形和三角形全等的知识进行证明。
②题中条件DE∥AB与结论没有必然联系，可看成是证明时所添加的辅助线，删去不影响结论的成立，即得到第
（2）题。
AA
MDMD
BECRC
图4-77图4-78
（2）如图4-78，在△ABC中，AM=MB，MD∥BC，则AD=DC。
教法：
1引导学生用语言叙述该命题。
若三角形中一边的平行直线把它的第二边截成两条相等线段，那么它也把第三边边截成两条相等线段。
②对结论进行引伸：
若把两平行直线换成一组平行直线，是否还有这种性质？
2．实验猜想。
让学生用印有横格的作业本，自己动手按教材第176页图4-60进行实验，得到猜想，引出课题，让学生用语言叙述猜想，并画图，写出已知、求证。
二、用化归、特殊化的方法及运动的观点学习定理
1．用化归的方法证明定理。
以三条平行线与被截的两条直线相交成梯形为例来证明定理。
已知：
如图4-79（a），L1∥L2∥L3，AB=BC。
求证：
A1B1=B1C1。
分析：
由于三条平行线与被截的两条直线相交成梯形，怎样利用梯形中常用的辅助线，将梯形分割化归为大家熟悉的三角形和平行四边形去解决？
方法一如图4-79（b），构造基本图形4-78，过A1作AC的平行线交L2于D，交L3于E，利用复习题
（1）的方法来证明。
方法二如图4-79（c），构造基本图形4-79（d），过B1作EF∥AC分别交L1，L3于E，F，利用三角形全等和平行四边形的知识证明。
AA1AA1
L1L1
BB2BEB2
L2L2
CC3CC3
L3L3
F
（a）（b）
AA1
EL1
BB2
L2
CFC3
L3
（c）（d）
图4-79
2．用运动的观点掌握定理的变式图形。
（1）当三条平行线与被截的两直线相交不构成梯形时，以上结论是否成立？
教师制作教具，演示A1C1所在直线运动的各种状态（见图4-80），让学生观察结论，并总结：
可用类似的方法来证明。
AA1（A1）A
L1L1
BB1平移BB1
L2L2
CC1CC1
L3L3
（a）（b）
A1AL1A1AL1
D平移
BB1B（B1）
L2L2
CC1
L3L3
（c）A1A（d）
L1
平移B1B
L2
C1C
（e）L3图4-80
说明：
（1）让学生认识到被平科线组（每相邻两条的距离都相等的平行线组）所截的两条直线的相对位置不影响定理的结论。
（2）强调图4-80（c）中截得的A1B1=B1C1，与AC与A1C1的交点D无关，让学生认清定理的基本图形结构。
（3）以上结论和证明方法对“一组平行线”多于三条的情形同样适用。
3．用特殊化的方法研究推论。
对定理的两种特殊情况，即图4-80（a）、图4-80（b）分解出被截的两条直线与平行线相交构成的梯形、三角形，就得到了定理在梯形和三角形中的特例，得到推论1和推论2，引导学生叙述两种情形下的特殊结论，画图并写出数学表达式如下：
推论1经过梯形一腰的中点与底边平行的直线必平分另一腰。
在图4-81中，∵梯形ABCD中，AD∥BC，AE=EB，EF∥BC，∴DF=FC。
ADA
EFEF
BCBC
图4-81图4-82
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第一线三边。
在图4-82中，∵△ABC中，AE=EB，EF∥BC，∴AF=FC。
让学生熟记基本图形图4-81、图4-82的结构特点以及它们所包含的重要结论，是灵活运用它们解决问题的关键。
三、运用定理解决问题
1．n等分任意一已知线段的作图。
例1已知：
如图4-83，线段AB。
求作线段AB的五等分点。
分析：
引导学生推广图4-83，构造定理的基本图形，进行作图和证明，强调平行线组要分别经过点A和B。
2．分解或构造基本图形，应用定理及推论证明。
H
GCAD
FFN
MEM
DE
ABC
NIJKLB
图4-83图4-84
例2
（1）如图4-84，M，N分别为平行四边形ABCD的边AB，CD的
中点，CM交BD于E，AN交BD于F。
求证：
BE=EF=FD。
（2）如图4-85。
AB⊥L于B。
CD⊥L于C，E为AD中点，求证：
△EBC是等腰三角形。
D
教师指导：
引导学生先分析图中存在哪些基本图形，
然后怎样利用它们的结论解题。
E
例3（选用）
（1）如图4-86，CB⊥AB，DA⊥A
AB，M为CD中点。
求证：
∠MAB=∠MBA。
CDCL
MEBC
ABAB图4-85
D
图4-86A`D`E`B`C`
图4-87
（2）如图4-87，E为平行四边形ABCD对角线的交点，过点A，B，D，E分别向直线L引垂线，垂足分别为A`，B`，C`，D`，E`。
图中能分解出几个基本图形图4-81？
L上的线段之间有何等量关系？
四、师生共同小结
1．平行线等分线段定理及两个推论的内容及证明方法。
2．怎样n等分一条已知线段？
3．指导学生学习方法：
利用化归思想证明问题；利用“特殊→一般→特殊”
的方法研究问题；利用运动的思维方法将问题推广；利用分解，构造基本图形的方法灵活运用定理。
五、作业
课本第184页第2题，第194页第7题。
课堂教学设计说明
本教学过程设计需1课时完成。
1．利用复习题起到两个作用：
（1）研究定理的特殊情况，让学生从特殊到一般接受定理；
（2）启发证明思路准备定理所用的基本图形，分散难点。
2．证明定理的过程，实际上是从特殊——三条平行线，到一般——一组平行线，按照从定理的标准图形（图4-80）（a）到变式图形（图4-80）（b）—（e），分别证明或说明。
这样处理层层深入，符合学生的认知规律，逻辑性较强。
3．本节的两个推论实际上是三角形、梯形的中位线的判定定理，有着非常广泛的应用。
因此课堂上要求学生不仅会用语言叙述它们，还要求熟练掌握它们的基本图形和数学表达式，并通过两个小题进行及进巩固。
4．定理还可用以下方式引入：
（1）利用坐标黑板提出问题（图4-88）一组平行AA`
直线L1，L2，L3，L4，……分别被直线m，n所截得L1
线段AB=BC=CD，那么将n截得的线段A`B`，B`C`，BB`
C`D`是否相等？
L2
（2）得出猜想后，证明上述猜想的最简单情况，CC`
即三条平行直线L1，L2，L3。
引导学生证明时，要L3
强调两点：
DD`
1证明线段相等的基本方法之一是化归为证三L4
角形全等。
图4-88mn
②利用平行四边形的性质平移线段以构造全等三角形。
（3）利用运动观点掌握定理的变式图形（图4-80）。
（4）利用特殊化的方法得出推论2，推论1。
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