北京中考数学真题卷含答案解析.docx

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北京中考数学真题卷含答案解析

2016年北京市高级中等学校招生考试

数学试题（含答案全解全析）

（满分:

120分　时间:

120分钟）

第Ⅰ卷（选择题,共30分）

一、选择题（本题共30分,每小题3分）

第1~10题均有四个选项,符合题意的选项

一个.

1.如图所示,用量角器度量∠AOB,可以读出∠AOB的度数为（　　）

A.45°B.55°C.125°D.135°

2.神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一,每小时飞行约28000千米.将28000用科学记数法表示应为（　　）

A.2.8×103B.28×103C.2.8×104D.0.28×105

3.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是（　　）

A.a>-2B.a<-3C.a>-bD.a<-b

4.内角和为540°的多边形是（　　）

5.下图是某个几何体的三视图,该几何体是（　　）

A.圆锥B.三棱锥C.圆柱D.三棱柱

6.如果a+b=2,那么代数式

的值是（　　）

A.2B.-2C.

D.-

7.甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式.下列甲骨文中,

轴对称图形的是（　　）

8.在1~7月份,某种水果的每斤进价与每斤售价的信息如图所示,则出售该种水果每斤利润最大的月份是（　　）

A.3月份B.4月份C.5月份D.6月份

9.如图,直线m⊥n.在某平面直角坐标系中,x轴∥m,y轴∥n,点A的坐标为（-4,2）,点B的坐标为（2,-4）,则坐标原点为（　　）

A.O1B.O2C.O3D.O4

10.为了节约水资源,某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价,水价分档递增.计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%,15%和5%.为合理确定各档之间的界限,随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位:

m3）,绘制了统计图,如图所示.下面有四个推断:

①年用水量不超过180m3的该市居民家庭按第一档水价交费

②年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费

③该市居民家庭年用水量的中位数在150~180之间

④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180

其中合理的是（　　）

A.①③B.①④C.②③D.②④

第Ⅱ卷（非选择题,共90分）

二、填空题（本题共18分,每小题3分）

11.如果分式

有意义,那么x的取值范围是　　　　.

12.下图中的四边形均为矩形.根据图形,写出一个正确的等式:

13.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据:

移植的棵数n

1000

1500

2500

4000

8000

15000

20000

30000

成活的棵数m

865

1356

2220

3500

7056

13170

17580

26430

成活的频率

0.865

0.904

0.888

0.875

0.882

0.878

0.879

0.881

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为　　　　.

14.如图,小军、小珠之间的距离为2.7m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m,1.5m.已知小军、小珠的身高分别为1.8m,1.5m,则路灯的高为　　　　m.

15.百子回归图是由1,2,3,…,100无重复排列而成的正方形数表,它是一部数化的澳门简史,如:

中央四位“19991220”标示澳门回归日期,最后一行中间两位“2350”标示澳门面积,……,同时它也是十阶幻方,其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等,则这个和为　　　　.

16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知:

直线l和l外一点P.

求作:

直线l的垂线,使它经过点P.

作法:

如图,

（1）在直线l上任取两点A,B;

（2）分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径作弧,两弧相交于点Q;

（3）作直线PQ.

所以直线PQ就是所求作的垂线.

请回答:

该作图的依据是　.

三、解答题（本题共72分,第17~26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算:

（3-π）0+4sin45°-

+|1-

18.解不等式组:

19.如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分∠BAD,交DC的延长线于点E.求证:

DA=DE.

20.关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根.

（1）求m的取值范围;

（2）写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.

21.如图,在平面直角坐标系xOy中,过点A（-6,0）的直线l1与直线l2:

y=2x相交于点B（m,4）.

（1）求直线l1的表达式;

（2）过动点P（n,0）且垂直于x轴的直线与l1,l2的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,写出n的取值范围.

22.调查作业:

了解你所住小区家庭5月份用气量情况.

小天、小东和小芸三位同学住在同一小区,该小区共有300户家庭,每户家庭人数在2~5之间,这300户家庭的平均人数约为3.4.

小天、小东和小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查,将收集的数据进行了整理,绘制的统计表分别为表1、表2和表3.

　表1　抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表　（单位:

m3）

家庭人数

用气量

　表2　抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表　（单位:

m3）

家庭人数

用气量

　表3　抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表　（单位:

m3）

家庭人数

用气量

根据以上材料回答问题:

小天、小东和小芸三人中,哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况,并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.

23.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.

（1）求证:

BM=MN;

（2）若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.

24.阅读下列材料:

　　北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位,深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略.“十二五”期间,北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力,已经成为首都经济增长的支柱产业.

2011年,北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元,占地区生产总值的12.1%.2012年,北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势,实现产业增加值2189.2亿元,占地区生产总值的12.3%,是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业.2013年,北京市文化创意产业实现增加值2406.7亿元,比上年增长9.1%.文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位.2014年,北京市文化创意产业实现增加值2794.3亿元,占地区生产总值的13.1%,创历史新高.2015年,北京市文化创意产业发展总体平稳,实现产业增加值3072.3亿元,占地区生产总值的13.4%.

（以上数据来源于北京市统计局）

根据以上材料解答下列问题:

（1）用折线图将2011—2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来,并在图中标明相应数据;

（2）根据绘制的折线图中提供的信息,预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约　　　　亿元,你的预估理由是　.

25.如图,AB为☉O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交

于点D,过点D作☉O的切线,交BA的延长线于点E.

（1）求证:

AC∥DE;

（2）连接CD,若OA=AE=a,写出求四边形ACDE面积的思路.

26.已知y是x的函数,自变量x的取值范围是x>0,下表是y与x的几组对应值.

…

1.98

3.95

2.63

1.58

1.13

0.88

…

小腾根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究.

下面是小腾的探究过程,请补充完整:

（1）如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;

（2）根据画出的函数图象,写出:

①x=4对应的函数值y约为　　　　;

②该函数的一条性质:

27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m-1（m>0）与x轴的交点为A,B.

（1）求抛物线的顶点坐标;

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

①当m=1时,求线段AB上整点的个数;

②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点,结合函数的图象,求m的取值范围.

28.在等边△ABC中,

（1）如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;

（2）点P,Q是BC边上的两个动点（不与B,C重合）,点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.

①依题意将图2补全;

②小茹通过观察、实验,提出猜想:

在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:

想法1:

要证PA=PM,只需证△APM是等边三角形.

想法2:

在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证△ANP≌△PCM.

想法3:

将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK.

……

请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM.（一种方法即可）

29.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为（x1,y1）,点Q的坐标为（x2,y2）,且x1≠x2,y1≠y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.下图为点P,Q的“相关矩形”的示意图.

（1）已知点A的坐标为（1,0）,

①若点B的坐标为（3,1）,求点A,B的“相关矩形”的面积;

②点C在直线x=3上.若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;

（2）☉O的半径为

点M的坐标为（m,3）.若在☉O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.

答案全解全析：

一、选择题

1.B　由题图可知,∠AOB=55°.

2.C　28000=2.8×104.故选C.

3.D　由数轴可知,-3

评析　本题考查了数轴与不等式,需要通过数轴确定a,b的取值范围,再由不等式的基本性质推出数量关系,属容易题.

4.C　由多边形内角和公式得（n-2）×180°=540°,解得n=5,所以该多边形为五边形,故选C.

5.D　由主视图是矩形,知选项A,B不符合题意;由俯视图是三角形,知选项C不符合题意.故选D.

6.A　原式=

=a+b,∵a+b=2,∴原式=2.

7.D　选项A、B、C都是轴对称图形,故选D.

8.B　利润=售价-进价.在题图中,每一个月的两个点间的距离越大,说明利润越大.距离最大的是4月份的两个点,故4月份利润最大.故选B.

9.A　因为点A的坐标为（-4,2）,所以原点在点A右侧4个单位,且在点A下方2个单位处;因为点B的坐标为（2,-4）,所以原点在点B左侧2个单位,且在点B上方4个单位处,如图,只有点O1符合.故选A.

评析　本题考查平面直角坐标系,属中档题.

10.B　由统计图可知:

年用水量不超过180m3的该市居民家庭共有4万户,占总体的80%,按第一档水价交费,故①正确;年用水量超过240m3的该市居民家庭共有0.35万户,占总体的7%,超过5%,故②错误;该市居民家庭年用水量的中位数为120m3左右,故③错误;由统计图可知,该市居民家庭年用水量的平均数为

=134.7m3,134.7<180,故④正确.故选B.

评析　本题考查了学生对统计图的理解.属中档题.

二、填空题

11.答案　x≠1

解析　由分式有意义的条件,可得x-1≠0,所以x≠1.

12.答案　答案不唯一.如:

m（a+b+c）=ma+mb+mc

解析　如图,S矩形ABEF=m（a+b+c）,S矩形ABCH=ma,S矩形HCDG=mb,S矩形GDEF=mc,∵S矩形ABEF=S矩形ABCH+S矩形HCDG+S矩形GDEF,∴m（a+b+c）=ma+mb+mc.

13.答案　0.880（答案不唯一）

解析　由题意可知,移植成活的频率在0.880左右波动.用频率来估计概率,则成活的概率为0.880.

14.答案　3

解析　如图,由题意可知,∠B=∠C=45°,AD⊥BC,∴BC=2AD=BF+FH+HC=1.8+2.7+1.5=6,∴AD=3.即路灯的高为3m.

15.答案　505

解析　1~100这100个数的和是5050,因为百子回归图的每行、每列、每条对角线的10个数的和都相等,所以这个和为5050÷10=505.

16.答案　三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合;两点确定一条直线

解析　连接PA、QA、PB、QB.由题意可知PA=QA,PB=QB,又AB=AB,

∴△PAB≌△QAB（三边分别相等的两个三角形全等）,

∴∠PAB=∠QAB（全等三角形的对应角相等）.

由两点确定一条直线作直线PQ.

∵PA=QA,

∴AB⊥PQ（等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合）.

三、解答题

17.解析　原式=1+4×

-2

-1=

18.解析　原不等式组为

解不等式①,得x<8.

解不等式②,得x>1.

∴原不等式组的解集为1

19.证明　∵四边形ABCD为平行四边形,

∴AB∥CD.∴∠BAE=∠E.

∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.

∴∠E=∠DAE,∴DA=DE.

20.解析　

（1）依题意,得Δ=（2m+1）2-4（m2-1）=4m+5>0,

解得m>-

（2）答案不唯一.如:

m=1.

此时方程为x2+3x=0.

解得x1=-3,x2=0.

21.解析　

（1）∵点B（m,4）在直线l2:

y=2x上,

∴m=2.

设直线l1的表达式为y=kx+b（k≠0）.

∵直线l1经过点A（-6,0）,B（2,4）,

∴

解得

∴直线l1的表达式为y=

x+3.

（2）n<2.

22.解析　小芸的抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况.

小天的抽样调查的不足之处:

抽样调查所抽取的家庭数量过少.

小东的抽样调查的不足之处:

抽样调查所抽取的15户家庭的平均人数明显小于3.4.

23.解析　

（1）证明:

在△ABC中,∠ABC=90°,M为AC的中点,

∴BM=

AC.

∵N为CD的中点,

∴MN=

AD.

∵AC=AD,∴BM=MN.

（2）∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,

∴∠BAC=∠CAD=30°.

由BM=AM,可得∠BMC=2∠BAC=60°.

由MN∥AD,可得∠CMN=∠CAD=30°.

∴∠BMN=∠BMC+∠CMN=90°.

∵AC=AD=2,

∴BM=MN=1.

在Rt△BMN中,BN=

24.解析　

（1）

（2）预估理由需包含折线图中提供的信息,且支撑预估的数据.

评析　本题考查折线统计图,以及借助统计图预估数据,属中档题.

25.解析　

（1）证明:

连接OC,如图.

∵OA=OC,F为AC的中点,

∴OD⊥AC.

∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE.

∴AC∥DE.

（2）求解思路如下:

①在Rt△ODE中,由OA=AE=OD=a,可得△ODE,△OFA为含30°角的直角三角形;

②由∠ACD=

∠AOD=30°,可知CD∥OE;

③由AC∥DE,可知四边形ACDE是平行四边形;

④由△ODE,△OFA为含有30°角的直角三角形,可求DE,DF的长,进而可求四边形ACDE的面积.

26.解析　本题答案不唯一.

画出的函数图象需符合表格中所反映出的y与x之间的变化规律,写出的函数值和函数性质需符合所画出的函数图象.如:

（1）

（2）①x=4对应的函数值y约为1.98.

②当x>2时,y随x的增大而减小.

27.解析　

（1）y=mx2-2mx+m-1=m（x-1）2-1.

∴抛物线的顶点坐标为（1,-1）.

（2）①当m=1时,抛物线的表达式为y=x2-2x.

令y=0,解得x1=0,x2=2.

∴线段AB上整点的个数为3.

②当抛物线经过点（-1,0）时,m=

当抛物线经过点（-2,0）时,m=

结合函数的图象可知,m的取值范围为

28.解析　

（1）∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°.

∴∠APC=∠BAP+∠B=80°.∵AP=AQ,∴∠AQB=∠APC=80°.

（2）①补全的图形如图所示.

②法1:

证明:

过点A作AH⊥BC于点H,如图.

由△ABC为等边三角形,AP=AQ,

可得∠PAB=∠QAC.

∵点Q,M关于直线AC对称,

∴∠QAC=∠MAC,AQ=AM.

∴∠PAB=∠MAC,AM=AP.

∴∠PAM=∠BAC=60°.

∴△APM为等边三角形.∴PA=PM.

法2:

证明:

在BA上取一点N,使BN=BP,连接PN,CM,如图.

由△ABC为等边三角形,可得△BNP为等边三角形.

∴AN=PC,∠ANP=120°.

由AP=AQ,可得∠APB=∠AQC.

又∵∠B=∠ACB=60°,

∴△ABP≌△ACQ.∴BP=CQ.

∵点Q,M关于直线AC对称,

∴∠ACM=∠ACQ=60°,CM=CQ.

∴NP=BP=CQ=CM.

∵∠PCM=∠ACM+∠ACQ=120°,

∴△ANP≌△PCM.∴PA=PM.

法3:

证明:

将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到BK,连接KP,CK,MC,如图.

∴△BPK为等边三角形.

∴KB=BP=PK,∠KPB=∠KBP=60°.

∴∠KPC=120°.

由△ABC为等边三角形,

可得△ABP≌△CBK.∴AP=CK.

由AP=AQ,可得∠APB=∠AQC.

∵AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,∴△ABP≌△ACQ.

∴BP=CQ.∵点Q,M关于直线AC对称,

∴∠BCM=2∠ACQ=120°,CQ=CM=PK.

∴MC∥PK.∴四边形PKCM为平行四边形.

∴CK=PM,∴PA=PM.

29.解析　

（1）①如图,矩形AEBF为点A（1,0）,B（3,1）的“相关矩形”.

可得AE=2,BE=1.

∴点A,B的“相关矩形”的面积为2.

②由点A（1,0）,点C在直线x=3上,点A,C的“相关矩形”AECF为正方形,可得AE=2.

当点C在x轴上方时,CE=2,可得C（3,2）.

∴直线AC的表达式为y=x-1.

当点C在x轴下方时,CE=2,可得C（3,-2）.

∴直线AC的表达式为y=-x+1.

（2）由点M,N的“相关矩形”为正方形,

可设直线MN为y=x+b或y=-x+b.

（i）当直线MN为y=x+b时,可得m=3-b.

由图可知,当直线MN平移至与☉O相切,且切点在第四象限时,b取得最小值,此时直线MN记为M1N1,其中N1为切点,T1为直线M1N1与y轴的交点.

∵△ON1T1为等腰直角三角形,ON1=

∴OT1=2,∴b的最小值为-2.

∴m的最大值为5.

当直线MN平移至与☉O相切,且切点在第二象限时,b取得最大值,此时直线MN记为M2N2,其中N2为切点,T2为直线M2N2与y轴的交点.同理可得,b的最大值为2,m的最小值为1.

∴m的取值范围为1≤m≤5.

（ii）当直线MN为y=-x+b时,同理可得,m的取值范围为-5≤m≤-1.

综上所述,m的取值范围为-5≤m≤-1或1≤m≤5.

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